Poder do teste = probabilidade de rejeitar h0 dado que h0 é falsa
Outra forma de obter o Poder é: 1 - prob do erro tipo 2
onde prob do erro tipo 2 = prob de não rejeitar h0 dado que h0 em falso
no caso em tela, sai direto pela primeira forma
Não rejeitar h0 = P(x = 0) + P(x=1) na distribuição binomial, assumindo p = 2/3 e n = 4, ou seja assumindo a hipótese nula falsa, o que é o mesmo que assumir que hipótese alternativa p = 2*k = 2*1/3 = 2/3
Galera, o exercício pede a potência do teste. A potência do teste nada mais é que probabilidade de se rejeitar a hipótese nula, quando ela é, de fato, falsa.
Matematicamente, pode ser representada como 1 - β, sendo que β é justamente a probabilidade de se aceitar a hipótese nula, quando ela for falsa (erro do tipo II).
Pois bem, o examinador nos afirma que a hipótese nula (H₀) ocorrerá se e somente se o sucesso ocorrer mais que uma vez em uma série de 4 experiências independentes executadas.
Ou seja, em um experimento com quatro realizações, eu considero a minha hipótese nula verdadeira quando houver 2 sucessos ou mais. Apenas para ilustrar, se eu realizasse o experimento 4 vezes, eu poderia ter as seguintes possibilidades:
SSSS
SSSF
SSFF
SFFF
FFFF
Como o que queremos é a POTÊNCIA DO TESTE, vamos partir do princípio de que a hipótese nula é falsa, consequentemente, devemos rejeitá-la.
Mas Vitorino, como eu considerado a hipótese nula falsa?
Se o exercício falou que ela é verdadeira se e somente se dois ou mais sucessos ocorrerem, para ela ser falsa, então houve 1 ou nenhum sucesso.
Basta calcular a probabilidade desses dois eventos ocorrem:
O exercício afirma que a chance de sucesso é igual a p e que k = 1/3. A hipótese alternativa nos diz que p = 2k, logo, minha chance de sucesso será igual a 2/3, complementarmente, a de fracasso será de 1/3.
Probabilidade de um só sucesso:
SFFF = 2/3 x 1/3 x 1/3 x 1/3 x 4 = 8/81
Lembre-se que esse 4 decorre de uma probabilidade binomial, pois não sabemos ao certo como a ordem de sucessos e fracassos se dará. Logo, devemos permutar os quatros elementos com a repetição de três deles.
Probabilidade de nenhum sucesso:
FFFF = 1/3 x 1/3 x 1/3 x 1/3 = 1/81
Somando as duas probabilidades teríamos 9/81. Simplificando esse valor por 9, chegaríamos a 1/9.
Gabarito: B