Questão 2708743

• Banca: Marinha
• Órgão: CEM
• Ano: 2018
• Provas: Marinha - 2018 - CEM - Primeiro Tenente - Para todas as Engenharias
• Disciplina: Física
• Assuntos: Cinemática; Dinâmica; Força Gravitacional e Satélites; Fundamentos da Cinemática; Gravitação Universal; Leis de Newton

Dois pontos materiais de massa m movem-se num eixo horizontal Ox sujeitos apenas à força de atração gravitacional Newtoniana. No instante t₀ = 0 um dos pontos estava na posição x=1 com velocidade v₀ > 0 e o outro ponto encontrava-se no ponto x= -1 com velocidade -v₀. Suponha que todos os dados acima estão com unidades no S.l. e denote por G a constante gravitacional. Qual o menor valor possível de v₀ para que esses pontos materiais não se choquem em um instante t₁ > 0? 

• A.
  
• B. √Gm
• C.
  
• D.
  
• E. 2√Gm

Gabarito: D

Comentários

• Conservação da energia mecânica:

  Ei = 1/2 m v0^2 + 1/2 m vo^2 - G m m / 2 .: Energia potencial entre 2 partículas é U = - G m1 m2 / r12 (Moysés)

  Ef = 0 .: no infinito K = 0 (assume-se velocidade zero lá) e U = 0 (distância infinita)

  Ei = Ef => v0 = sqrt(2 G m ) / 2

• x: distância do corpo à origem do sistema

  Por simetria: Fg = G*m^2/(4*x^2)

  Fr = Fg = m*a, logo: a = G*m/(4*x^2)

  Logo: v*dv = a*dx, limites de integração:

  lado esquerdo: de v0 a 0 (após o choque os corpos estarão em repouso)

  lado direito: de 1 a 0 (por causa da simetria)

  Resolvendo v0 = raiz(G*m/2) = 0,5*raiz(2*G*m)

• Essa é aparentemente uma questão de velocidade de escape, fazendo-se necessário estudar a energia associada. Podemos comparar a energia potencial gravitacional com a energia cinética dos corpos, ou simplesmente dizer que EC + EPG = 0.

  Observe que se afastam <-(-vo) ___ ->(vo), porém existe uma força de atração gravitacional FG-> ____ <-FG.

  Para encontrar o menor valor para que não se choquem:

  EC + EPG = 0 => (mvo²)/2 + (m(-vo²))/2 = (Gmm)/2 ; multiplica ambos os lados por (2/m)

  Com o efeito,

  2vo²=Gm => vo=sqrt(2GM)/2