Questão Q916434

Seja A um ponto situado no topo de uma torre perpendicular a um terreno plano, e B, a projeção ortogonal do ponto A nesse terreno. Dois amigos, Alexandre e Renato, se encontram nesse terreno plano e observam a torre. Alexandre, situado no ponto C, ao sul da torre, visualiza o ponto A sob um ângulo de 45°. Já Renato, situado no ponto D, a leste da torre, visualiza o ponto A sob um ângulo de 30°. Sabe‐se que a distância entre Alexandre e Renato é de 10 metros. O volume do tetraedro de vértices A, B, C e D é, em metros cúbicos, igual a

Alternativas

125.

Comentários

O esquema a seguir representa a situação descrita no enunciado:

Vamos aplicar o conceito de tangente:
tg 30º = AB/BD
√3/3 = AB/BD
BD = 3AB/√3

tg 45º = AB/BC
1 = AB/BC
BC = AB
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
CD² = BC² + BD²
10² = AB² + (3AB/√3)²
100 = AB² + 9AB²/3
100 = 12AB²/3
300/12 = AB²
AB² = 25
AB = 5 m
Os outros dois lados, portanto, serão:
BC = 5 m
BD = 3.5/√3 = 15√3/3 = 5√3 m
O volume de um tetraedro é dado por:
V =
V =
V = m³
Resposta: A

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