Questão 2810452

• Banca: Colégio Pedro II
• Órgão: Colégio Pedro II
• Ano: 2018
• Provas: Colégio Pedro II - 2018 - Colégio Pedro II - Professor - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Álgebra; Problemas

O problema a seguir explora uma ideia recorrente no estudo de processos de contagem:

Em um grupo de 3 professores e 8 estudantes, deseja-se formar comissões de 5 pessoas. Quantas comissões podem ser formadas com pelo menos um professor?

Um estudante selecionou um dentre os três professores e, a seguir, quatro dentre as 10 pessoas restantes. A resposta que apresentou foi 3 ∙ C_10,4.

Na sua resolução, o estudante contou mais de uma vez algumas comissões.

Para chegarmos à solução correta do problema proposto com base na resposta desse estudante, devemos subtrair do resultado apresentado por ele a expressão

• A. 2 ∙ C_8,2 + C_8,3.
• B. 3 ∙ C_8,2 + C_8,3.
• C. 3 ∙ C_8,2 + 2 ∙ C_8,3.
• D. 2 ∙ C_8,2 + 3 ∙ C_8,3.

Gabarito: D

Comentários

• I)

  Começando por P1, temos EX: P1,P2,E1,E2,E3

  Começando por P2 temos EX: P2,P1,E1;E2;E3

  De onde vem que ambos são a mesma comissão. logo, precisamos tirar uma dessas comissões..

  Mantendo já fixo na comissão P1,P2, combinamos os 8 estudantes em comissões de 3. portanto temos que tirar C_8,3

  II)

  Começando por P1, temos EX: P1,P3,E1,E2,E3

  Começando por P3 temos EX: P3,P1,E1;E2;E3

  De onde vem que ambos são a mesma comissão, logo, precisamos tirar uma dessas comissões.

  Mantendo já fixo na comissão P1,P3, combinamos os 8 estudantes em comissões de 3. portanto temos que tirar C_8,3

  III)

  Começando por P2, temos EX: P2,P3,E1,E2,E3

  Começando por P3 temos EX: P3,P2,E1;E2;E3

  De onde vem que ambos são a mesma comissão, logo, precisamos tirar uma dessas comissões.

  Mantendo já fixo na comissão P2,P3, combinamos os 8 estudantes em comissões de 3. portanto temos que tirar C_8,3.

  Logo precisamos tirar 3XC_8,3 = 3C_8,3

  Seguindo, temos ainda que:

  P1,P2,P3,E1,E2 = P2,P1,P3,E1,E2 = P3,P1,P2,31,E2.

  Logo, temos que tirar 2X a comissão formada por P1,P2,P3,E1,E2.

  Mantendo fixo na comissão P1,P2,P3, combina os 8 estudantes em comissões de 2. Portanto temos que tirar 2XC_8,2 = 2C_8,2

  Por fim concluímos que tem que ser retirado 2C_8,2 + 3C_8,3.

  LETRA D