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An = A(n-1) + 9 (Fórmula 1) => A5 = A4 + 9 = A3 + 9 + 9 = A2 + 9 + 9 + 9 = A2 + 27 (Equação 1)
Bn = B(n-1) x (-1/2) (Fórmula 2) => B8 = B7x(-1/2) = B6x(-1/2)x(-1/2) = B5x(-1/2)x(-1/2)x(-1/2) = B5x(-1/2)^3 = B5x(-1/8) => B5 = - 8xB8 (Equação 2)
Da questão :
A2 = B8 (Equação 3)
A5 = B5 (Equação 4)
Substituindo 1 e 2 em 4: A2 + 27 = - 8xB8 (Equação 5)
Substituindo 3 em 5: B8 + 27 = - 8xB8
Logo B8 = -3
A partir daqui poderia ser feito de 2 maneiras, a primeira para quem lembrava da fórmula da soma dos infinitos termos de uma PG e na sequência a resolução por lógica.
Resolução 1:
Sn = B1 / (1 - q),
onde 'B1' é o primeiro elemento da pg e 'q' é a razão.
Da Fórmula 2 temos: B8 = B1x(-1/2)^7 => B1 = 384.
Assim, Sn = 384/[1 - (-1/2)] = Sn = 384/1,5 = 256
Resolução 2:
A partir de B8 e da Fórmula 2 é possível encontrar os outros termos da série geométrica b:
B1 = 384
B2 = -192
B3 = 96
B4 = -48
B5 = 24
B6 = -12
B7 = 6
B8 = -3
B9 = -3/2 = -1,5
B10 = -0,75
...
Somando-se os termos temos: Soma = 255,75.
Portanto o valor tende a 256.
Caso quisesse confirmar, bastava encontrar mais termos da progressão.
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A2=A1+r
A2=A1+9
A5=B5
A1+36 = 1/16.B1
A1 = 1/16B1-36
B8=B1.(-1/2)^7
B8=-1/128.B1
Se A2=B8
A2 = A1+9 e A1 = 1/16.B1-36
A2= 1/16.B1-36+9
A2=B8
1/16.B1-36+9 = 1/128.B1
1/16.B1-27 = -1/128.B1
1/16.B1+1/128B1 = 27
8B1+B1/128 = 27
9B1=27 x 128
B1 = 3x128
B1 = 384
Se a soma dos termos infinitos de uma PG = B1/1-q
Sn = 384/ /1+1/2
Sn = 384/3/2
Sn= 384 x 2/3
Sn = 128 x 2
Sn= 256
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Tipica questão que olho e ja da vontade de morrer, porem vamos aprender isso ai !
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Não sei se foi coincidência, mas eu primeiro procurei o quinto valor das duas sequências usando Sistema Linear,
depois completei a PG e usei a fórmula de Sn. Alguém tentou fazer assim?
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Esse é o tipo da questão que na hora da prova eu pularia pra ganhar tempo e voltaria nela só depois...trabalheira danada!
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Gab. B
Dados da questão:
Razão da PA (r) = 9
Razão da PG (q) = -1/2
a2(PA) = b8(PG)
a5(PA) = b5(PG)
A questão pede a Soma infinita da PG: Sn = a1 / 1 - q.
A soma infinita da PG (S = b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...,), dada pela fórmula acima, só é possível de ser aplicada em PG decrescente (razão negativa). Então precisamos achar o valor de b1 na PG - que equivale a a1 na fórmula - usando as igualdades dadas pela questão através da fórmula do termo geral de cada uma das progressões.
Termo Geral da PA: an = a1 + (n-1)r. Para a2 temos: a2 = a1 + r => a1+9; e para a5 temos: a5 = a1 + 4r => a1+36.
Termo Geral da PG: bn = b1*q^(n-1). Para b5 temos: b5 = b1*(-1/2)^4 => b1/16; e para b8 temos: b8 = b1*(-1/2)^7 => -b1/128
Obtemos assim um sistema de equações do 1o grau.
Equação 1: a2(PA) = b8(PG) => a1+9 = -b1/128 => b1 = -128a1 -1152
Equação 2: a5(PA) = b5(PG) => a1+36 = b1/16
substituindo b1 na Equação 2 encontramos o valor de a1: a1+36 = (-128a1 - 1152)/16 => a1 = -12
Com a1 podemos achar o valor de b1 na Equação 1: b1 = -128a1 -1152 => b1 = -128*(-12) - 1152 => b1 = 384
Agora que temos b1 podemos encontrar a Soma Infinita da PG pela fórmula Sn = b1/1-q = > 384/1-(-1/2) => 384 / 3/2 => (384*2)/3 => 256
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essa questão seria uma daquelas puláveis (chutáveis), ja que na hora da prova vc nao tem tempo nem de marcar o gabarito, imagina se vc vai perder 15 minutos preciosos com uma questão dessas de matematica//rlq que é peso 1. ta de brincadeira ne? kkk. principalmente provas de fisco.
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Por favor, alguém me explica o que o André Rodrigues fez pra trocar o sinal de B1*1/128 para -B1*1/128??
Essa parte foi a única que eu não entendi da resolução dele que, pra mim, pareceu mais simples.
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LETRA B
DADOS:
R, Q : razões
PA: R= 9
PG: Q = -1/2
a2 = b8
a5 = b5
-> a2= a1 + r
a2 = a1 + 9
-> a5= b5
a1 + 4r = b1 . q^(n-1)
a1 + 4 . 9 = b1 . (-1/2)^4
a1 + 36 = b1 . 1/16
a1 = 1/16b1 - 36
-> a2 = a1 + 9
a2 = 1/16b1 - 36 + 9
a2 = 1/16b1 - 27
-> a2=b8
1/16b1 - 27 = -1/128b1
1/16b1 + 1/128b1 = 27
8b1/128 + b1/128 = 3456/128
9b1 = 3456
b1 = 384
-> Soma dos termos da PG
Sn = b1/ 1 - q
Sn = 384/ 1 - (-1/2)
Sn = 384/ 3/2
Sn= 384 . 2/3
Sn = 256
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Questãozinha porreta, parece vestibular do ITA
começando com as informações simples
a5 = b5 e a2 = b8
Razões PA: 9 PG: -1/2
a5 = a2 + 3*9
a5 = a2 + 27 Podemos substituir o a5 por b5, já que ambos são iguais b5 = a2 + 27 > a2 = b5 - 27
b8 = b5*(-1/2)^3
b8 = b5*(-1/8) = -b5/8
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b8 =-b5/8
a2 = b5 - 27
a2 = b8
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podemos substituir a2 por b5 - 27 e b8 por b5*(-1/8) a2=b8
b5 - 27 = -b5/8
b5 + b5/8 = 27
9b5/8 = 27
b5 = 27*8/9
b5 = 24
Precisamos achar o b1 para usarmos a fórmula da soma dos infinitos termos de uma P.G
b5 = b1*(-1/2)^4
24 = b1*1/16
b1 = 24*16 = 384
soma dos infinitos termos de uma P.G = b1/ 1 - (-1/2)
384/ 1 - (-1/2)
384/ 3/2
384 * 2/3 = 256
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Essa é igual pra vestibular, kkkk
termos ele disse a2 = b8 E a5 = b5
PA - A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10....RAZÃO 9
PG - B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10..... RAZÃO -1/2
TEMOS QUE NA PA QUE A5=A2+9+9+9 OU A5 =A2+27
TEMOS QUE NA PG QUE B8=B5*-1/2*-1/2*-1/2 OU B8 =B5*-1/8 OU B8 =-B5/8
AI VAMOS SUBSTITUIR --- A5 = B5=A2+27 = B8+27
B8 =-B5/8 OU B8 =-A5/8 OU B8 =-(A2+27)/8 OU B8 =-(B8+27)/8
LOGO TEMOS
B8 =-(B8+27)/8
8B8+B8=-27 ------- 9B8=-27------ TEMOS B8=-3
TEMOS ENTÃO QUE B8=A2=-3 OU SEJA A2=-3
A5=B5 =A2+27 LOGO -3+27 ---- A5=B5=24
TEMO GERAL DA PG = aN = a1 * q^N-1 OU 24= a1*-1/2^5-1
RESOLVENDO a1= 384
SOMA DE PG INFINITA -
A1/1-q - LOGO 384/1-(-1/2)
TEMOS 384 * 2/3 = 256
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Essa é pra chutar com força.
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Questão resolvida no vídeo do link abaixo.
https://www.youtube.com/watch?v=qYeS2QOZpd4
Bons estudos.
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MEU PAI
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resolva em funcaão do a5 da PA e PG pois são iguais.
Voce tem as razões, depois sai de boa....
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PA PG
- 0 576
- 9 -288
- 18 144
- 27 -72
- 36 36
- 45 -18
- 54 9
- 63 -4,5
TOTAL 252 382,5
Na teoria é uma coisa, na prática vejam, caso alguém consiga explicar isso, ajuda aí; porque no caso concentro o 2 termo coincide com o 7.