SóProvas


ID
2836078
Banca
IF-SP
Órgão
IF-SP
Ano
2018
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Seja ƒ = ℝ3 → ℝ dada por ƒ(x,y,z) = x sen(yz) + zexy. O gradiente de ƒ é:

Alternativas
Comentários
  • alguém me explica isso :'(

  • Pai Nosso que estais no céu...

  • Isto é de nível superior, não se preocupe... provavelmente não cai na prova de vcs.


    (Bom, se tiver no edital, ae sim se preocupem, :P)

  • Isso é o capeta disfarçado de questão, Deus me dibre

  • Melhor pegar descendo pra o Direito.

  • Que nada, parece assustador, mas aposto que é mais fácil que português...

  • Oremos !

  • isso é algum tipo de ritual ??

  • Parece os textos que minha filha Blue faz no word.

  • Quantas almas eu tenho que ofertar pra resolver essa questão? Pra mim Gradiente era marca de TV lol

  • Mano, entrei no QC para fazer aquela maratona da noite e vejo isso. Estou até com taquicardia aqui. Deus abençoe àqueles que precisam estudar isso.

  • Primeira parte (Não coube tudo em um comentário só).


    Há a função F (X,Y,Z)

    vou chamar D de derivada. (Já que não tem como fazer simbolo aqui)

    Vou chamar o gradiente de G.


    Formula para achar o gradiente de F:

    G(F) = ((DF/X) . I) + ((DF/Y) . J) + ((DF/Z) . K)


    Traduzindo: O gradiente de F é a DERVIADA da função F sobre X, multiplicado pelo vetor I. Somada à DERIVADA da função F sobre Y, multiplicado pelo vetor J. somada à DERIVADA da função F sobre Z, multiplicado pelo vetor K.


    O exercicio nos dá que F = Xsen(yz) + ze^xy (Obs: essa letra "e" é o numero de Euler.


    Como a função é Xsen(yz) + ze^xy primeiro a gente resolve "Xsen(yz)" e depois "ze^xy" para cada letra (X, Y e Z)


    Primeira parte por X:

    "Xsen(yz) / X" seno é a constante. Sen(yz) . (X)/(X)

    Eliminamos o X e resta "Sen(yz)"


    Segunda parte por X:

    ze^xy

    Derivando uma exponencial. Vamos separar os termos da "ze^xy"

    a derivada disso será a fórmula (u´v) + (u v´) "o tracinho significa U linha e V linha"

    z = U

    e^xy = V


    o "linha" significa a derivada de cada parte da função.

    Então fica:

    "ze^xy" 

    u = simplesmente copiamos o primeiro termo "z"

    v´ = derivada de e^xy em relação a X

    u´ = derivada de z em relação a X (zero)

    v = simplesmente copiamos o segundo termo "e^xy"


    (u´v) + (u v´)

    Derivada de u´ = z/(x) = 0

    Derivada de v´ = e^xy / (x)

    para derivar e^xy a gente copia o termo e multiplica pela derivada dos elementos do expoente, ou seja, v´ = e^xy . y 


    v´ = ye^xy 


    Agora que temos os 4 elementos vamos voltar ao (u´v) + (u v´)

    (0.ze^xy) + (z.ye^xy)

    0 + yze^xy


    Achamos os 2 elementos em relação a X:

    Sen(yz) + yze^xy

    multilicamos isso pelo vetor I

    (Sen(yz) + yze^xy) . I

    Fim da primeira parte (que é e relação a X)




    Primeira parte por Y:

    "Xsen(yz) / (Y)"

    se chamarmos Xsen(yz) de F, teremos que, se F é o seno de u, então a derivada de F é o cosseno de u multiplicada pela derivada de u.


    Ou seja:

    derivada de Xsen(yz) em relação a Y = Xcoss(yz) . Z! Pois a derivada do elemento u "yz" em relação a y é z!


    Xsen(yz) . z = XZcoss(yz)

    Achamos o primeiro elemento.


    Com o segundo "ze^xy" vamos usar o mesmo raciocínio de quando fizemos por X.


    "ze^xy"

    (u´.v) + (u.v´)

    (0.e^xy) + (z.xe^xy)

    (0) + (xze^xy)

    o segundo elemento é (xze^xy)

    agora vamos juntar os dois e multiplicar pelo vetor J


    (XZcoss(yz) + xze^xy) . J

  • Segunda parte (Não coube tudo em um comentário só)


    Primeira parte por Z:

    "Xsen(yz) / (Z)"

    se chamarmos Xsen(yz) de F, teremos que, se F é o seno de u,

    então a derivada de F é o cosseno de u multiplicada pela derivada de u.


    Ou seja:

    derivada de Xsen(yz) em relação a Z = Xcoss(yz) . Y! Pois a

    derivada do elemento u "yz" em relação a z é y!


    Xsen(yz) . y = XYcoss(yz)

    Achamos o primeiro elemento.



    Com o

    segundo "ze^xy" vamos usar o mesmo raciocínio de quando

    fizemos por X e Y.


    "ze^xy"

    (u´.v) + (u.v´)

    a derivada do primeiro elemento agora (z) será 1, e não mais

    zero, pois agora temos z/(z)


    (1.v) + (u.v´)

    o "v" e "u" a gente simplesmente copia

    (1.ze^xy) + (z.v´)

    Agora precisamos achar "v´"

    v´ = (ze^xy) . (0)

    poiz a derivada de xy em relação a z é zero!


    Então temos que: (1.e^xy) + (z.0)

    o segundo elemento é (e^xy)


    Juntando os dois e multiplicando pelo vetor K:


    (XYcoss(yz) + e^xy) . K


    Juntando tudo:

    gradiente de ƒ: (Sen(yz) + yze^xy) . I + (XZcoss(yz) + xze^xy) .

    J + (XYcoss(yz) + e^xy) . K

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