A face em questão é retangular (o problema diz). Se uma das arestas mede a terça parte da outra aresta, então isso corresponde a um retângulo de lados X e X/3. Chamemos este de retângulo original.
Com a ampliação, teremos um novo retângulo (vamos nomeá-lo desta maneira), que possui 21% a mais de área que o retângulo original.
A área do retângulo original é X * (X/3) = X²/3.
Logo, a área do novo retângulo precisa ser 1,21 * (X²/3) = (1,21X²)/3 (isso é, 121% do retângulo original).
O problema diz que a proporção dos lados no novo retângulo precisa se manter igual à proporção dos lados do retângulo original (isso é, um lado é a terça parte do outro). Percebam que a única diferença entre a área do retângulo original para a área do novo retângulo é o acréscimo do 1,21 no numerador, todo o resto da proporção (um ser a terça parte do outro) se mantém.
Dessa maneira, basta que façamos a raiz de 1,21 para saber qual número deve ter no numerador de cada lado do novo retângulo para que essa área seja alcançada.
Como raiz de 1,21 é = 1,1, então sabemos que os lados do novo retângulo medem 1,1X e (1,1X)/3.
Agora, basta calcular o perímetro dos dois retângulos e ver qual a porcentagem do novo em relação ao original:
X + (X/3) + X + (X/3) = 8X/3
1,1X + (1,1X/3) + 1,1X + (1,1X/3) = 8,8X/3
Se dividirmos 8,8X/3 por 8X/3, teremos 1,10, ou 110%. Isso quer dizer que o novo retângulo terá seu perímetro 10% maior que o retângulo original.
Não é tão fácil explicar escrevendo, espero que tenha ficado claro.
Eu fiz assim: No retângulo original o maior lado vale 3 e o menor vale 1, um terço do maior.(OBS: 3 e 1 são valores que eu atribuí aos lados para ficar mais fácil o entendimento, ok?) Portanto, a área desse retângulo original é 3 cm². Na nova peça ampliada, a área da face retangular deve ser 21% maior que a área do retângulo original, certo? Então, eu vou pegar o 3, que é a área da face retangular da peça original e vou multiplicar por 1,21, que é o mesmo que acrescentar 21% ao valor original. Isso vai dar 3,63, que será a nova área da peça ampliada. Como a questão disse que nessa nova peça os lados têm que manter a mesma proporção dos lados da peça original, ou seja, de 1 para 3, então nessa nova peça, o maior lado medirá 3X e o menor, X. Portanto, ficará assim: 3X.X= 3,63, que é igual a: 3X²=3,63. Passando o 3 dividindo: X²= 3,63/3. X²=1,21. Tirando a raiz quadrada do 1,21 ficará 1,1. Logo, o menor lado dessa nova face retangular valerá 1,1 e o maior lado: 3,3 Agora é só dividir o perímetro da face ampliada pelo perímetro da face original: 8,8/80=1,1. Portanto, o perímetro da nova face aumentará em 10% em relação ao perímetro da face original. Espero que tenham entendido o meu raciocínio!!!