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As equações de 2º grau têm a seguinte estrutura: ax+ bx + c = y
Na questão temos a equação y = - x² + 2x + 15
Pela relação de Girard temos:
a = -1 (parábola com cavidade voltada para baixo portanto o seu vértice é o ponto máximo)
a soma das raízes = -b/a = 2
o produto das raízes = c/a = -15
podemos deduzir, portanto, que as raízes (ou valores de x quando y = 0) são 3 e -5
quando x = 0 temos o vértice da parábola 15 (maior imagem de J)(como “a” é negativo tem-se, portanto o ponto máximo ou maior imagem)
a menor imagem de K é encontrada no valor “x” mais distantes das raízes que fariam y ser negativo. As valores que x pode assumir para que y seja negativo são {4,5,6,7} e a mais distante da raiz 3 é o valor 7.
Substituindo 7 na equação para encontrar qual seria, então, o valor da menor imagem dentro de K temos:
y = -(7)² + 2(7) + 15 que nos retoma ao valor y = -20 (menor imagem dentro de K)
a questão pede a diferença da maior imagem de J (y = 15) e a menor imagem de K (y = -20) que nos retornaria ao valor 35 e não 36 como o gabarito sugere.
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Henry Samuel, as raízes da equação são: -3, 5. Você trocou o sinal de ambas raízes.
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Simples para quem tem o conhecimento em derivadas.
Sabe-se que a derivada de uma função quadrática é nula em pontos de máximo ou mínimo.
y= -x² + 2x + 15
y' = -2x + 2 = 0 -> x = 1 (ocorre a inversão da curva quadrática y)
Como o coeficiente a<0 em y, sabe-se que x=1 temos o y máximo.
y = - (1²) + 2(1) +15 = 16 (maior imagem).
A menor imagem do conjunto domínio {-4,-3,-2,3,4,5,6,7} ocorre com x =7, logo y = -20 (menor imagem).
Maior - Menor = 16 - (-20) = 3.
gabarito: C
Observa-se que é uma questão destinada ao cargo de professor de matemática, logo conhecem derivadas e integrais.
Quero dizer que se você não estudou isso na sua vida, pode passar direto amigo porque são assuntos, em regra, aplicados no nível de graduação em ciências "exatas" !
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Lembrar:
Imagem = F(x) = Y
Domínio = valores de X
Quando "a" for negativo, parábola triste = boca para baixo = existe valor máximo de Y
Quando "a" for positivo, parábola feliz = Boca para cima = Existe valor mínimo de Y
Enunciado: "A diferença entre a maior imagem da função J e a menor imagem da função K"
significa: (Ymaxj) - (Ymink)
Ymaxj = usa fórmula ou vai testando
Fórmulas:
Xvértice = -b/2a (achando x substitui para achar a imagem Y)
Yvértice = -Delta/4a (já é a imagem)
Yvj=16
Ymink = Usa os valores determinados pelo enunciado para x (domínio)
Ymink = -20
(Ymaxj) - (Ymink) = (16) - (-20) = 36