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ID
3222862
Banca
FCC
Órgão
SEDU-ES
Ano
2018
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Considerando apenas valores reais de x tais que x ≥ 0 , o comprimento do segmento de reta sobre a reta de equação y = x + 3 , para a qual as imagens da função y = x + 3 são maiores do que as imagens da função y = 2x + 1 é igual a

Alternativas
Comentários
  • PRIMEIRA PARTE:

    Atribuindo valores de x em ambas as funções, devemos encontrar os valores de x para os quais a função y=x+3 terá valores de y(imagem) maiores que a exponencial y=2^x+1.

    O enunciado traz que os valores de x devem ser maiores ou iguais a zero.

    1º) x=0

    y=x+3 ------ y=3

    y=2^x+1 ---- y=2

    2º) x=1

    y=x+3 ------ y=4

    y=2^x+1 ---- y=3

    3º) x=2

    y=x+3 ------ y=5

    y=2^x+1 ---- y=5

    4º) x=3

    y=x+3 ------ y=6

    y=2^x+1 ---- y=9

    Assim notamos que, no primeiro e segundo caso, os valores de y para a função afim (y=x+3) são maiores que os valores de y para a função exponencial.

    Esse comportamento se repete até o terceiro caso, quando x alcança o valor de 2 e os valores de y em ambas as funções se equiparam.

    A partir desse ponto a reta da função afim continuará crescendo apenas de uma em uma unidade, e a exponencial, como o próprio nome sugere, crescerá exponencialmente, obtendo valores de y cada vez maiores.

    SEGUNDA PARTE:

    a questão pede o comprimento da reta em que os valores de y são maiores para a função afim, portanto queremos achar o comprimento da reta no intervalo entre o 1º e 3º caso, até o momento que os valores de y ficam iguais para as duas funções.

    Se puder, imagine no plano cartesiano a reta da função afim, saindo do ponto (0,3), passando pelo ponto (1,4) e terminando no ponto (2,5).

    Logo, você perceberá que a reta forma com os eixos x e y um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é justamente o comprimento de reta que a questão pede.

    Assim temos:

    no eixo y (cateto) = 5 - 3 = 2

    no eixo x (outro cateto) = 2 - 0 = 2

    Esses são os comprimentos dos catetos.

    Aplicando o teorema de Pitágoras:

    hipotenusa^2 = cateto^2 + cateto^2

    h^2 = 2^2 + 2^2

    h^2 = 8

    h = raiz quadrada (8)

    h = raiz quadrada (4x2)

    tirando o 4 de dentro da raiz ficamos com:

    h = 2x raiz(2)

    que é o comprimento pedido na questão.

    Espero ter ajudado...

    AVANTE

  • É uma ótima questão para ser resolvida com auxilio da representação gráfica de funções. A estratégia é montar um esboço gráfico, encontrar as interseções de acordo com as condições dadas e assim calcular p comprimento do segmento de reta.

    1º.

    - y=x+3 é a reta y=x deslocada de 3 unidades "para cima" (eixo y);

    - y=2^x+1 é a y=2^x (função exponencial), deslocada de 1 unidade "para cima" (eixo y);

    → junte as duas em um só plano cartesiano.

    2º.

    Notemos que no domínio x>0, em determinado intervalo, as imagens da y=x+3 são maiores que as da y=2^x+1. Isso ocorrer até determinada interseção.

    Para encontrar as interseções, bastaria solucionar x+3=2^x+1 [tenta aí rsrs]. Entretanto, se nos atentarmos ao domínio x>0, observaremos apenas uma interseção entre as curvas; como o objetivo da questão objetiva é resolver o problema de forma mais objetiva [sem trocadilho], podemos testar valores...

    x+3=2^x+1;

    buscaremos um x>0 que o satisfaça. Testando os clássicos: x=0, x=1, x=2. pronto!

    Resta agora observar que o segmento de reta com as condições dadas é a distancia entre o ponto (0,3) e (2,y), onde o y é a imagem de x=2 na interseção, ou seja, y=5.

    3º.

    Pode calcular aí, é só usar a 'fórmula' da distância entre 2 pontos. "Ou" desenhar um triangulo retângulo com as informações; e aplicar o teorema de Pitágoras (a hipotenusa será o valor procurado).

    → Ironicamente, o teorema de Pitágoras que é usado para a construção desse algoritmo (ou fórmula) para encontrar a distância entre dois pontos.

    → Me desculpe por não fazer as contas, a resposta é "2 raiz[2] de 2".