PRIMEIRA PARTE:
Atribuindo valores de x em ambas as funções, devemos encontrar os valores de x para os quais a função y=x+3 terá valores de y(imagem) maiores que a exponencial y=2^x+1.
O enunciado traz que os valores de x devem ser maiores ou iguais a zero.
1º) x=0
y=x+3 ------ y=3
y=2^x+1 ---- y=2
2º) x=1
y=x+3 ------ y=4
y=2^x+1 ---- y=3
3º) x=2
y=x+3 ------ y=5
y=2^x+1 ---- y=5
4º) x=3
y=x+3 ------ y=6
y=2^x+1 ---- y=9
Assim notamos que, no primeiro e segundo caso, os valores de y para a função afim (y=x+3) são maiores que os valores de y para a função exponencial.
Esse comportamento se repete até o terceiro caso, quando x alcança o valor de 2 e os valores de y em ambas as funções se equiparam.
A partir desse ponto a reta da função afim continuará crescendo apenas de uma em uma unidade, e a exponencial, como o próprio nome sugere, crescerá exponencialmente, obtendo valores de y cada vez maiores.
SEGUNDA PARTE:
a questão pede o comprimento da reta em que os valores de y são maiores para a função afim, portanto queremos achar o comprimento da reta no intervalo entre o 1º e 3º caso, até o momento que os valores de y ficam iguais para as duas funções.
Se puder, imagine no plano cartesiano a reta da função afim, saindo do ponto (0,3), passando pelo ponto (1,4) e terminando no ponto (2,5).
Logo, você perceberá que a reta forma com os eixos x e y um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é justamente o comprimento de reta que a questão pede.
Assim temos:
no eixo y (cateto) = 5 - 3 = 2
no eixo x (outro cateto) = 2 - 0 = 2
Esses são os comprimentos dos catetos.
Aplicando o teorema de Pitágoras:
hipotenusa^2 = cateto^2 + cateto^2
h^2 = 2^2 + 2^2
h^2 = 8
h = raiz quadrada (8)
h = raiz quadrada (4x2)
tirando o 4 de dentro da raiz ficamos com:
h = 2x raiz(2)
que é o comprimento pedido na questão.
Espero ter ajudado...
AVANTE
É uma ótima questão para ser resolvida com auxilio da representação gráfica de funções. A estratégia é montar um esboço gráfico, encontrar as interseções de acordo com as condições dadas e assim calcular p comprimento do segmento de reta.
1º.
- y=x+3 é a reta y=x deslocada de 3 unidades "para cima" (eixo y);
- y=2^x+1 é a y=2^x (função exponencial), deslocada de 1 unidade "para cima" (eixo y);
→ junte as duas em um só plano cartesiano.
2º.
Notemos que no domínio x>0, em determinado intervalo, as imagens da y=x+3 são maiores que as da y=2^x+1. Isso ocorrer até determinada interseção.
Para encontrar as interseções, bastaria solucionar x+3=2^x+1 [tenta aí rsrs]. Entretanto, se nos atentarmos ao domínio x>0, observaremos apenas uma interseção entre as curvas; como o objetivo da questão objetiva é resolver o problema de forma mais objetiva [sem trocadilho], podemos testar valores...
x+3=2^x+1;
buscaremos um x>0 que o satisfaça. Testando os clássicos: x=0, x=1, x=2. pronto!
Resta agora observar que o segmento de reta com as condições dadas é a distancia entre o ponto (0,3) e (2,y), onde o y é a imagem de x=2 na interseção, ou seja, y=5.
3º.
Pode calcular aí, é só usar a 'fórmula' da distância entre 2 pontos. "Ou" desenhar um triangulo retângulo com as informações; e aplicar o teorema de Pitágoras (a hipotenusa será o valor procurado).
→ Ironicamente, o teorema de Pitágoras que é usado para a construção desse algoritmo (ou fórmula) para encontrar a distância entre dois pontos.
→ Me desculpe por não fazer as contas, a resposta é "2 raiz[2] de 2".