Questão 3222904

• Banca: FCC
• Órgão: SEDU-ES
• Ano: 2018
• Provas: FCC - 2018 - SEDU-ES - Professor MaPB Ensino Fundamental e Médio - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Geometria Analítica; Pontos e Retas

    Uma reta passa pelos pontos (0, 0) e (6, 2) de um plano cartesiano. No mesmo plano cartesiano, uma circunferência de centro (3, 1) e raio igual a 1, corta essa reta em dois pontos, chamados de A e B, sendo que a ordenada de B é maior que a de A. 

A abscissa do ponto B é

• A.
  
• B.
  
• C.
  
• D.
  
• E.
  

Gabarito: A

Comentários

• Equação da reta: 

  y = x/3

  Equação da circunferência:

  (x-3)^2 + (y-1)^2 = 1

  Substituí o "y" da primeira equação na segunda equação e cheguei na seguinte:

  x^2 - 6x + 81/10 = 0

  As raízes dessa junção de equações representam os pontos das abscissas onde tem encontro da reta com a circunferência: (30 + 3 raiz de 10)/10 e (30 - 3 raiz de 10)/10

• Bora usar Vetores!?

  Ao notar (e comprovar) que o centro da circunferência está contido na reta dada; além de observar que a distância entre esse ponto [C=(3,1)] e o ponto B é igual ao raio [r=1]; basta pegar o centro (C) da circunferência e somar com o vetor de módulo 1 direcionado pela reta dada, que chegaremos nas coordenadas de B.

  Ou seja, temos

  → C=(3,1);

  → Vetor unitário direcionado pela reta dada: v=(6,2):(srqt{6^2+2^2}) = (6,2):(srqt{40}) = (6,2):(2•srqt{10}) = (6,2):(2•srqt{10})

  Assim,

  B=(3,1)+[(6,2):(2•srqt{10})]

  Como o que importa é a abscissa, basta pegar o 3 e somar com 6:(2•srqt{10}).

  Se racionalizar o 6:(2•srqt{10}), temos (3•sqrt{10}):10

  Assim, 3+(3•sqrt{10}):10 = (30+3•sqrt{10}):10