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Questão moleza.
A vantagem desta questão é que ela é dotada de abstração matemática, ou seja, podemos inventar qualquer progressão aritmética para aplicar no exercício, já que Sn pode ser qualquer progressão aritmética.
Vamos inventar um PA(progressão aritmética) qualquer:
1,2,3,4,5,6,7 - Essa vai ser a minha PA.
Agora vamos escolher algum termo da PA para ser o meu Sn . Eu vou escolher o 4º termo, pois assim consigo "avançar" ou "regredir" na PA, mas você poderia escolher outro, de preferência um que permita você avançar, nesse caso, 3 termos à frente do escolhido. Então S4 = 1+2+3+4 = 10 (soma dos termos até quatro)
Com base nessa escolha, agora podemos descobrir os demais termos:
Sn+1 = S4+1 = S5
S5 = 1+2+3+4+5 = 15.
Sn+2 = S4+2 = S6
S6 = 1+2+3+4+5+6 = 21.
Sn+3 = S4+3 = S7
S7 = 1+2+3+4+5+6+7 = 28.
Agora é só substituir Sn Sn+1 Sn+2 Sn+3 pelos seus valores.
Resolvendo:
28 - 3*21 + 3*15 - 10 o resultado será igual a 0.
Ou seja, não importa a PA que você invente sempre o resultado será igual a 0.
Caso a resposta fosse outra, por exemplo a C, o nosso resultado final teria que ser igual a Sn, no nosso caso, 10. E assim por diante.
GAB. LETRA E
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Sn+3-3Sn+2 + 3Sn+1-Sn
-2Sn+1 + 2Sn+1
0
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Eu fiz assim:
S1= (a1+a1)*1/2=a1
S2=(a1+a2)*2/2=a1+a2
S3=(a1+a3)*3/2
Lembrando: a2=(a1+a3)/2 ,então, a3=2a2-a1
Voltando, S3=(a1+2a2-a1)*3/2=3a2
S4=(a1+a4)*4/2
a3=(a2+a4)/2
a4=2a3-a2 ,então a4=2(2a2-a1)-a2 , assim, a4=3a2-2a1
Voltando, S4=(a1+3a2-2a1)*4/2= 6a2-2a1
Substituindo na expressão:
6a2-2a1-3(3a2)+3(a1+a2)-a1
6a2-2a1-9a2+3a1+3a2-a1
A expressão = 0.
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Sn+1 = Sn + an+1
Sn+1 = Sn + an + r
...
Sn+2 = Sn + an+1 + an+2
Sn+2 = Sn + an + r + an + 2r = Sn + 2an + 3r
Sn+3 = Sn + an+1 + an+2 + an+3
Sn+3 = Sn + an + r + an + 2r + an + 3r = Sn + 3an + 6r
Sn+3 - 3Sn+2 + 3Sn+1 - Sn
Sn + 3an + 6r - 3Sn - 6an - 9r + 3sn + 3an + 3r - Sn
Todos os termos se anulam.... = 0
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se n=4 (você pode escolher qualquer numero para n, escolhi 4)
S7 - 3S6 + 3S5 - S4
substitui 7, 6, 5 , 4 na formula da soma do termo geral, voce consegue construir uma expressão onde (a1+an) é o termo comum, especie de "x" de uma equação.
Fórmula Sn=(a1+an).n/2
Aplicacacao da formula + equacao do enunciado:
(a1+an)7/2 - 11(a1+an) + 15(a1+an) - (a1+an)2
7/2 - 11 + 15 - 2
0/2
0
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Forma simples de resolver:
Crie uma PA, por exemplo: 1, 2, 3, 4.
A soma dos elementos dessa PA é: 1 + 2 +3 + 4 = 10
Logo Sn+1 = 11 Sn+2 = 12 e Sn +3 = 13
Substituindo os elementos na expressão temos:
Sn+3 - 3Sn+2 + 3Sn+1 - Sn
13 - 3x12 + 3X11 - 10
13 - 36 + 33 - 10 = 0
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Sn=a1+a2+a3
Sn=a1+3r
Sn+3=S6=a1+6r
Sn+2=S5=a1+5r
Sn+1=S6=a1+4r
[Sn+3]-3[Sn+2]+3[Sn+1]-Sn
[a1+6r]-3[a1+5r]+3[a1+4r]-[a1+3r]
3r-[3a1+15r]+[3a1+12r] --> 0