Já que 2/raiz(2) = raiz(2)
Temos:
E = sen(x) + raiz(2)*cos(x);
Para achar o valor máximo da função, pode-se derivar e igualar a 0:
0 = cos(x) - raiz(2)*sen(x) => cos(x) = raiz(2)*sen(x);
Substituindo a equação acima em E:
E = sen(x) + raiz(2)*raiz(2)*sen(x) = 3*sen(x)
Como o maior valor para sen(x) é 1, tem-se que o maior valor para E = 3;
Gab: C
Giulia!
Para achar o ponto máximo você precisa derivar a expressão e igualar a sua derivada a zero (Relação I)
Em seguida você pode substituir o que encontrou em I na Identidade trigonométrica fundamental:
sen²x + cos²x = 1 (Relação II).
E = sen(x) + 2raiz(2)cos(x)
E' = 0 => cos(x) = 2raiz(2) sen(x)
elevando ambos os termos ao quadrado temos: cos²(x) = 8sen²(x) (Relação I)
Pela Ident. Trigon. Fund. temos: cos²(x) = 1 - sen²(x) (Relação II)
(II) - (I) temos: sen(x) = 1/3
Emáx = 9sen(x)
Emáx = 3 Alternativa C
Ps. apesar de sen(x) ter valor máximo igual a 1, a expressão E assume valor máximo quando sen(x) é igual a 1/3. Pois quando sen(x) = 1, cos(x) = 0 e E = 1.
I) TRUQUE DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Sabe-se que: f(x) = asenx+bcosx (É uma identidade harmônica onde tem fórmulas onde vc pode gravar, mas como concurso é abrangente demais, melhor usar o truque do retângulo que dá no mesmo).
Onde a=cateto; b=outro cateto; R=Hipotenusa; θ=ângulo qualquer
Na questão temos: a=1 e b=2√2; R = 3 (pitágoras)
cosθ = (2√2)/3 ; senθ=1/3
Vamos multiplicar a equação por 3/3:
f(x) = 3/3 (senx + 2√2cosx)
f(x) = 3 (1/3 senx + 2√2/3 cosx)
f(x) = 3 (senθsenx+cosθcosx)
f(x)= 3 (cos(θ-x)) ; onde o valor máximo de cos = 1
f(x) = 3(1)
f(x)máx = 3
II) iDENTIDADES HARMÔNICAS(Daria pra fazer a questão por esse método, porém deixo a cargo de vcs fazerem)
i) asenx+bcosx = Rsen(x+a) ; onde R é um número real, no caso acima é o 3.
ii) asenx-bcosx=Rsen(x-a);
iii) acosx+bsenx = Rcos(x-a);
iv) acosx-bsenx = Rcos(x+a)
III) DERIVADAS (Daria pra fazer, pois quando deriva uma função e iguala a zero, acha o valor máximo, mas já há a resolução da questão abaixo).
Abraços e bons estudos! Paz & Bem!