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2. log(x-2y) = logx + logy
log (x - 2y)2 = log (x.y) ---> (x - 2y)2 = x.y
Desenvolvendo o produto notável:
x2 - 4xy + 4y2 = xy
x2 - 5xy + 4y2 = 0
Como queremos a razão x/y , então uma boa alternativa é dividir a equação acima por y2.
(x/y)2 - 5(x/y) + 4 = 0
Agora, fazendo a mudança de variaveis u = (x / y), apenas com o fim de facilitar o entendimento da questão, rsolvemos a equação:
u2 - 5u + 4 = 0
onde obtemos as raízes
u = 4 e u = 1.
Voltemos a condição de existência:
x > 2y <---> (x / y) > 2
Ora, se (x/y) = u e (x/y) > 2, então u tem que ser maior que 2.
Logo:
u = (x/y) = 4
GABARITO D
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Partindo-se de equação x² - 4xy + 4y² = xy podemos chegar a resposta da questão utilizando algebrismo (manipulação formal da equação), veja:
x² - 4xy + 4y² = xy ----> x² - xy = -4y² + 4xy
x (x - y) = 4 (-y² + xy) ----> (x/4) = (-y² + xy)/(x - y)
x/4 = y(-y + x) / ( x - y) (veja que temos termos iguais sendo divididos)
logo, temos x/4 = y ----> x = 4y ----> x/y = 4
Gabarito D
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Efraim, de onde você tirou essa condição de existência ?
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Vamos resolver esta questão passo a passo:
1) Realizar os cálculos de acordo com a propriedade dos logarítmos:
2 log(x-2y) = logx + logy,
(x – 2y)^2 = xy;
X2 – 4xy + 4y2 = xy;
X2 + 4y2 = 5xy;
X2/XY + 4Y2/XY = 5
X/Y + 4Y/X = 5
2) Substituir X/Y = a
X/Y = a
a + 4/a = 5 ;
a2 + 4 = 5a
a2 – 5a + 4 = 0
3) Sendo as raízes da equação acima a1= 1 e a2= 4, vamos testá-la na equação do enunciado:
X/Y = a (sendo a = 1)
X/Y = 1; X = Y
2 * log (-X) = 2 * log X; log (-X) = log X (F)
Observem que substituindo a = 1, a equação torna-se FALSA. Portanto, X/Y não pode ser igual a 1.
X/Y = 4; então: X= 4Y
2 * log (2Y) = log 4Y + log Y;
Log 4Y2 = log 4Y * Y;
Log 4Y2 = log 4Y2 (V)
Sendo a = 4, a equação fica verdadeira. Portanto, X/Y = 4
GABARITO: D
"DESISTIR NUNCA; RETROCEDER JAMAIS. FOCO NO OBJETIVO SEMPRE."
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Mano, eu fui testando os valores. Eliminei a A pq os números não podiam ser iguais, pois o log ia dar negativo. Testei com 2 (ex: 4/2), mas aí o log daria 0, ou seja, indefinido. Tentei com 3 (ex: 9/3, 27/9) mas não deu. Tentei com 4, fiz 8/2 e os resultados bateram. Da mesma forma fiz 16/4, deu certo tbm. Eu preferi usar a lógica, mas vai de cada um. Vlw!
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Questão do Capiroto!
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EXCELENTE CANAL RESOLUÇÃO BEM EXPLICADA
https://www.youtube.com/watch?v=b4KmhR0RvI8&t=1068s
RUMO A APROVAÇÃO CONCURSO BANCO DO BRASIL!!!
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2 log(x-2y) = logx + logy
log (x - 2y)2 = log (x.y) ---> (x - 2y)2 = x.y
x2 - 4xy + 4y2 = xy
Isolando o 4y
x² - 4xy + 4y² = xy ----> x² - xy = 4xy - 4y²
x (x - y) = 4y (x - y) -----> x = 4y
x/y = 4
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(X/2y)^2=xy
X^2/4y=xy
X^2=4xy^2
X^2-4xy^2
Xy(x-4y^2)
Xy=0
X-4y=0
X=4y=x/y=4