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Bom gente, essa é uma questão bem difícil, pois além de não dar o valor que será amortizado, ela não nos dá os juros que serão cobrados, cabe-nos deduzir algum valor e verificar se dá certo. Eu tentei com um valor de 8.000 R$ e verifiquei uma possível taxa de juros que na segunda prestação os juros dessem 300 reais e na quarta prestação tivéssemos uma prestação de 2.100 reais, então ficou assim:
| mês | Saldo devedor | amortização | juros | prestação |
| 0 | 8000 | 00 | Saldo devedor x taxa de juros | 00 |
| 1 | 6000 | 2000 | 8000x0,05= 400 | 2400 |
| 2 | 4000 | 2000 | 6000x0,05= 300 | 2300 |
| 3 | 2000 | 2000 | 4000x0,05= 200 | 2200 |
| 4 | 00 | 2000 | 2000x0,05= 100 | 2100 |
então a resposta está correta pois o valor a ser amortizado é inferior a 9100...
Espero ter ajudado... bons estudos
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olá pessoal, boa tarde.
essa sim é uma questão decente. vamos pra o que interessa.
toda questão de amortização pelo sistema SAC pode ser resolvido seguindo as seguintes etapas:
1) dividiremos o total a ser amortizado (T) pelo número de parcelas (n), e chamaremos esse resultado de A (quota de amortização);
2) multiplicaremos o total (T) a ser amortizado pela taxa (i);
3) somaremos os resultados dos dois passos acima, e chegaremos ao valor da primeira parcela (P1);
4) multiplicaremos a taxa (i) pelo resultado do primeiro passo (quota de amortização A);
5) calcularemos os valores das demais parcelas, tomando-se sempre o valor da parcela anterior e subtraindo-se dela o valor encontrado no 4º passo.
OBS: mais algumas considerações: o valor da última parcela será sempre o resultado do primeiro e do quarto passo; cada parcela é composta de parcela = cota de amortização + juros.
pronto, de posse disso, podemos seguir a questão.
Dados:
P4=2100;
J2=300.
1) PASSO: T/n = A
2) PASSO: T*i = Ti
3) PASSO: P1= A(T/n) + Ti
4) PASSO: A(T/n) * i
temos então? - 2100= T/n + T/n * i (primeira expressão)
- J = P2 - T/n , donde, 300 = P2 - T/n (segunda expressão)
- P4 = P3 - T/n * i , P4 = P2 - T/n * i - T/n * i , 2100 = 300 + T/n -2(T/n * i), 1800 = T/n - 2(T/n * i) (terceira expressão)
agora temos um sistema de equações, vejamos:
2100 = T/n + T/n * i
1800 = T/n - 2(T/n * i)
multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda expressão eliminamos a variável com a taxa e no lugar do n substituimos por 4, que é o número de parcelas, e agora é só conta. chegamos a um resultado de T= 8000.
espero que consigam entender.
um abraço.
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Pensemos
Prestação Amortização Juros Total
T
P1 A J1 T1
P2 A 300 T2
P3 A J2 T3
2100 A J4 0
Em uma SAC, as prestações e os juros formam uma P.A. (progressão aritmética) decrescente. Então, P4 = P3 - r e P3 = P2-r. Com isso, concluímos que P2-2r = P4. A mesma coisa se aplica aos juros. Então, J2-2r=J4.
Vamos igualar as fórmulas, pois há um denominador comum, que é o "2r":
J4-J2 = P4-P2
2100-P2=300-J4
J4+P2=2400
Observem, e lembrem-se de que o último juros pagos em uma SAC é exatamente igual ao "r". Ou seja, vamos trocar por miúdos:
P2 = P1-r
então:
J4+P1-r=2400
J4+P1-r = 2400
ora, se o "r" é igual ao último juros pagos em uma SAC, então:
J4+P1-J4=2400
P1=2400
aplicando a fórmula da PA, temos:
A4 = A1+(n-1).r
2100=2400+3r
r= -100
Com isso, temos que as prestações são:
P1=2400
P2=2300
P3=2200
P4=2100
Os juros são:
J1=400
J2=300
J3=200
J4=100
A amortização é igual a 2000. Então, o capital foi de 8000
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Interessante o raciocínio dos colegas. Vejo que este tipo de questão (ótima por sinal) na hora da prova demanda um toque de "velhaquice". No SAC os juros decrescem e a amortização se repete mês a mês. Qdo montei a tabelinha o primeiro que fiz foi decrescer o juros de 100 em 100. Naturalmente na quarta prestação a amortização seria 2000. Assim, o empréstimo de 8mil, pagar-se-ia um total de 9000. Os juros totais são 1mil. (400+300+200+100).
O Cespe não faria uma questão desse nível com valores quebradinhos.
Por isso entendo que, antes de sair fazendo uma algebreira danada, é sempre bom bater o olho alguns segundos na questão pra ver se não há uma lógica bem mais simples e direta de "matar".
É evidente que isso demanda que tenhamos feito umas quantas questões de SAC.
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colegas
nós temos as seguintes informações:
n= 4
J2 = 300
P4 = 2100
sendo n = numero de parcelas
J2 = juros na segunda parcela
P4 = quarta prestação
Sabemos que no SAC o Saldo deverdor na penúltima parcela é igual a Amortização, que é constante então temos
D3 = A
A = D/ n
D1 = D
D1 = A.n
J2 = D1. i
D1 = o saldo devedor inicia
300 = D1. i
300 = A . n . i
300 = A . 4 . i
A. i = 75
Como já temos a o valor da quarta Prestação podemos substituir
P4 = A + J4
P4 = A + (D3.i)
P4 = A + (A.i)
2100 = A + 75
A = 2025
Agora já temos o valor da Armotização, podemos descobrir a Taxa (i) e D1 (saldo devedor inicial)
A = D/n
Sabemos que a formula do Juros é Jt = A. (n-t +1) . i
J2 = 2025 ( 4 - 2 +1 ) . i
300 = 2025 (2 + 1) . i
300/ 6075 = i
i = 0,05 = 5 %
Juros na Primeira prestação
J1 = 2025 (4 - 1 + 1) 0,05
J1 = 405
P1 = A +J1
P1 = 2025 + 405
P1 = 2430
Juros na Segunda parcela
J2 = 300 (informação dada no problema)
P2 = A +J2
P2 = 2025 + 300
P2= 2325
Juros na terceira parcela
J3 = 2025 (4 - 3 + 1) 0,05
J3 = 202,5
P3 = A +J3
P3 = 2025 + 202,5
P3 = 2227,5
P4 = 2100 ( informação dada)
Somátorio das quantias pagas = P1 + P2 + P3 + P4 = 9082, 5 - que é inferior a 9100.
Resposta Correta
Deus nos abençoe!!
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Essa é uma questão trabalhosa.
Chamemos o valor do empréstimo de "X" , logo a amortização é " X/4 ".
Sabemos que o Valor da parcela é calculado da seguinte maneira VP = A + J , onde VP é o valor da parcela, A é a amortização e J é o Juros.
Sabe-se que o Saldo devedor da Parcela número 3 é igual ao valor da Amortização, ou seja, SD3=A , onde "SD3" é o saldo devedor na terceira parcela.
Do enunciado tem-se que 2100(valor da última parcela) é igual a: X/4 + X.i/4 , onde " i " é a taxa de juros praticada, que incide sobre o saldo devedor na terceira parcela, que é igual a Amortização, ou seja X/4.
Chamemos 2100=X/4 + X.i/4 de equação (I)
Ok, agora vamos usar o outro dado do problema. Nos é informado de que o valor do juros da segunda parcela é igual a 300.
Sabe-se que o saldo devedor da primeira parcela, ou seja SD1= 3X/4 , pois o Saldo devedor do período O = X. Para, se achar o SD1 basta diminuir o Saldo devedor do período 0 (X) da amortização(X/4), logo SD1 = X-X/4. resultando 3X/4.
Para se encontrar o Juros da segunda parcela é suficiente incidir(multiplicar) a taxa "i" de juros sobre o SD1. Logo, 300(valor do juros) é igual a: 3X.i/4. Ou 300=3X.i/4.
Chamemos 300=3X.i/4 de equação (II)
Temos agora um par de equações (I) e (II) , resolvendo-as por sistema, tem-se que:
i= 5% P1= 2400 Soma das parcelas ; 9000
X= 8000 P2= 2300
A = 4000 P3= 2200
P4= 2100
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Fiz assim....
A = E/n => A = E/4 => E = 4A
J(2) = S(1) x i S(1) = E - A
J(2) = (E - A) x i
300 = (4A - A) x i
300 = 3A x i
100 = A x i Equação 1
Última prestação =(A x i) + A substituindo,
2100 = 100 + A
A = 2000
Se A = 2000 => i = 5%
1 prestação = E x i + A => 4A x 5% +A => 1,2A => 1,2 x 2000 = 2400
2 prestação = (E - A) x i + A => 1,15A => 1,15 x 2000 = 2300
3 prestação = (E - 2A) x i + A => 1,1A => 1,1 x 2000 = 2200
Somando tudo = 2400 + 2300 + 2200 + 2100 = 9000
Bons estudos!!
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Vamos adotar as seguintes legendas:
P1 = 1ª Prestação
P2 = 2ª Prestação
P3 = 3ª Prestação
P4 = 4ª Prestação
C = Capital emprestado
i = Taxa
Sabemos que o juros da segunda parcela são 300,00, então temos que P2 = C/4 + 3/4C(três quartos do capital) *i.
Logo temos que, 3/4C*i = 300→ 3Ci/4 = 300 → 3Ci = 4*300 → Ci = 1200/3→ Ci = 400.
Sabemos também que o valor total pago na ultima prestação foi R$ 2.100,00, P4 = C/4 + Ci.
Logo temos que, 2.100 = C/4 + 400(valor encontrado anteriormente)/4 → C/4 = 2.100 - 100 → C/4 = 2.000 → C = 2.000*4 → C = R$ 8.000,00.
Percebe-se que agora podemos achar o valor das parcelas, logo temos o valor do Capital emprestado e a sua mutiplicação pela taxa, temos
P1 = C/4 + Ci → P1 = 2000 + 400 → P1 = R$ 2.400,00
P2 = C/4 + 3Ci/4 P2 = C/4 + 300 → P2 = 2000 + 300 → P2 = R$ 2.300,00
P3 = C/4 + 2Ci/4 → P3 = 2000 + 200 → P3 = 2.200,00
P4 = C/4 + Ci/4 → 2100 = C/4 + Ci/4 → 2100 = C/4 + 100 → C/4 = 2000 → n =8000 → P4 =2000 + 100 → P4 = R$ 2.100,00.
Então a soma das parcelas P1 + P2 + P3 + P4 = 2400 + 2300 + 2200 + 2100 = R$ 9.000,00
A soma das quantias, que é de R$ 9.000,00 é inferior a R$ 9.100,00, resposta CORRETA.
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bom galera, eu resolvi e o meu resultado de um pouco diferente, mas acertei:
P = A + J
2.100 = A + 300
A = 1.800
A = F / N
1.800 = F / 4
F = 7.200
CERTO
espero ter ajudado.
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n = 4
sistema SAC
J2 = 300
P4 = 2100
1º passo = Amortização= dívida/nº de parcelas
A=D/n
A=D/4, então D=4A
2º passo - calcular a razão ( é o resultado de (D/n)*i = Ai - será usado na progressão aritimérica)
J1 = D*i
J2 = D*i - A.i
300=4Ai-Ai
Ai=100
3º passo - encontrar o valor de P1 pela progressão aritimética.
P4=P1+(4-1)*-100
2100=P1 - 300
P1 = 2400
Se P1 = 2400 e Ai = 100, é só diminuir um pelo outro que acharemos a P2
P2 = 2400-100=2300
P3= 2300-100=2200
P4=2200-100=2100
P1+P2+P3+P4=9000
Certo.
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Dados: n = 4 ; J2 = 300 ; P4 = 2.100 considerando SDo = T
A = SDo / n => SDo = 4 A J1 = SDo * i => J1 = 4 Ai
razão da PA => r = A * i J2 = J1 -r
300 = 4 Ai -Ai => Ai = 100 , logo r = 100
Termo de uma PA: an = a1 + (n-1)*r (como se trata de SAC a razão do juros é negativa)
2.100 = P1 + (4-1)*(-100) => P1 = 2.400
P2 = P1 - r = 2.400-100 = 2.300
P3 = P2 -r = 2.300 - 100 = 2.200
P4 = 2.100
Pn = P1+P2+P3+P4 = 9.000
Se J2 =300 e a razão dos juros é 100, temos a seguinte tabela de juros:
0 ---
1 400
2 300
3 200
4 100
Total juros = 1.000
P4 = A + J4 => A = 2.100 - 100 =>. A = 2.000 (constante)
A = T / n => T = SDo = 2.000*4 = 8.000
J1 = SDo * i => i = 400 / 8.000 = 5 %
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Para os que se sentem à vontade com a matemática:
Não existe a necessidade de se calcularem todas as parcelas, como em outros comentários. Só a primeira e a última bastam. Caso fossem muitas parcelas, digamos, 30, seria uma economia de 28 equações na hora de resolver. Isso acontece porque o sistema de amortização constante (SAC) é uma progressão aritmética (p.a.), e portanto a soma de todas as parcelas (que é o montante) pode ser calculada com a fórmula da soma de uma p.a.:
M = (P1 + Pn)*n/2
onde M é o montante, Pn é a última parcela e n é o número de parcelas.
Neste caso n = 4, e precisamos então dos valores da primeira e da quarta parcela. De acordo com o enunciado P4 = 2100, então nos resta descobrir P1. De acordo com a fórmula dos termos da p.a., temos:
Pn = A + C*i - (n-1)*A*i
onde i é a taxa de juros.
Pela definição de amortização, A = C/4, e, lembrando que P4 = 2100:
2100 = C/4 + C*i - 3*C*i/4
Além disso, o enunciado nos diz que no mês 2 os juros são de 300 reais. Os juros são a parte da parcela P além da amortização, ou seja:
C*i - (2-1)*A*i = 300
e então:
C*i - C*i/4 = 300
o que nos dá:
(3/4)*C*i = 300
substituindo isso na equação para a parcela P4, temos:
2100 = C/4 + (4/3)*300 - 300
e assim, resolvendo para C:
C = 8000
Agora podemos calcular i. Havíamos encontrado a relação:
(3/4)*C*i = 300
logo:
(3/4)*8000*i = 330
e então:
i = 0,05
Além disso, temos A:
A = C/4 = 2000
Finalmente, de posse de C, A e i, calculamos a primeira parcela:
P1 = 2000 + 8000*0,05 = 2400
e agora encontramos o montante pago, pela fórmula da soma da p.a. (citada no começo da resolução):
M = (2400 + 2100)*4/2
M = 9000
ou seja, a soma das quantias pagas é inferior a 9100
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O colega Daniel Ramos elucidou muito bem a questão, acrescentaria apenas a possibilidade de já utiliza C*i = 400 direto na formula da P1, ( P1 = A + C*i), já que é possível encontrar o valor de C (o valor a ser quitado), não sendo necessário descobrir a taxa que consequentemente resultaria em menos perda de tempo.
uma vez que a soma de todas as parcelas, como disse o colega é igual a ((P1 + P2)*N)/2
não é preciso saber da taxa pois a ultima parcela P4 já é dada: 2100, daí é só colocar na fórmula que resulta em 9000, portanto menor que 9100
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Informações da questão:
n= 4 meses
j2= 300
p4=2100
Conceitos fundamentais:
m= Sdo/n Logo, Sd0= mxn
onde, m (amortização) Sd0 (Saldo devedor inicial) e n(número total de parcelas)
*Percebe-se que não foram informadas a taxa e nem a amortização. Mas por meio de substituição de valores as obteremos.
1º Passo
Temos que utilizar a fórmula jn=Sd(n-1) X i
jn = é o juros de determinada parcela
Sd(n-1)= é o saldo devedor da parcela anterior ao de jn
i= taxa
aplicando:
jn=Sd(n-1) x i
j2=Sd(2-1) x i
300=Sd1 x 1 Feito isso pensamos: Como vamos sair disso já que não temos o saldo devedor? Mas o SAC nos fornece outra fórmula:
Sdk=m X (n-k)
sendo:
Sdk= saldo devedor da parcela desejada.
m= amortização
n-k= n é o número total de parcelas e k é a parcela que queremos. Então
300= m x 3 x i logo, m x i= 100
Vamos guardar essa IMPORTANTÍSSIMA informação e pegar outra fórmula. Lembra-se do valor da parcela dada pela questão? P4= 2100. Existe uma fórmula para calculá-la:
Rk= m[1 x (n-k) x i]
onde: Rk= o valor da parcela
m= amortização
n-k= o número total de parcelas menos a parcela desejada, então:
2100=m[1(4-4+1)x i]
2100= m x (1+i) -------------- multiplicamos o m pelos elementos dentro dos parenteses.
2100= m + m x i
Pronto! E agora como saímos daqui? Lembram-se que lá atrás encontramos o valor de "m x i"? m x i = 100. Vamos substituir:
2100=m + 100
m = 2000.
Até que em fim achamos a amortização.
Agora para encontrar o saldo devedor? Lá vamos buscar outra fórmula já apresentada: Sd0 = m X n
m=2000,00
n=4
Sd0= 2000,00 X 4= 8000,000
A questão afirma que a soma das quantias pagas pelo tomador do empréstimo será inferior a R$ 9.100,00. Logo, como 8000,00 é inferior a 9.100,00 a questão está CORRETA.
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djaina você não pode fazer isso porque a prestação no SAC varia com o mês. E você utilizou uma prestação do 4 mes com Juros do 2
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CERTO
>>> VP = nA => VP = 4A (valor do empréstimo)
>>> J2 = 300 = SD2 x j = (VP - A) x j = 3A x j >>> A x j = 100
>>> P4 = 2100 = A + SD4 x j = A + A x j = A + 100 >>> A = 2100 - 100 = 2000
>>> VP = 8000
>>> A x j = 100 >>> j = 0,05
>>> Pn = A + Jn
>>> P1 + P2 + P3 + P4 = 2400 + 2300 + 2200 + 2100 = 9000
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kkkkk, Geroge Rex, você chegou na cara do gol e chutou pra fora. Seu raciocínio está perfeito, mas vc não entendeu o que a banca está cobrando. Ela não está cobrando o valor do principal somente, ela quer o valor total pago incluindo o juros.
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Essa questão não precisa de cálculos, mas pra quem gosta, fica a critério pra desencargo de consciência. Como sabemos, no sistema SAC, as prestações são decrescentes e os juros também. Então desconsiderando essas informações, e se utilizarmos o valor da prestação 4 dado na questão e multiplicado por 4 meses, 2.100 x 4= 8400. Logo, observa-se que o valor será menor que o mencionado 9.100. Questão correta.
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Eu utilizei a logica nessa questão
sabe-se que a ultima prestação é sempre a amortização mais o juros e no SAC a amortização é constante,
se a ultima prestação foi de 2100 e o juros da segunda prestação foi de 300 e juros decresce conclui que o juros de uma forma mais rapida seria 100 na ultima prestação como são somente 4 prestações de forma nenhuma o juros poderia ser alto, então conclui que o valor de cada prestação ficaria da seguinte forma
4= 2100
3= 2200
2= 2300
1 = 2100
somando obtemos o valor de 9000 menor que 9100
:) esse foi o meu raciocio não sei se está correto mais como a questão pergunta se o valor é inferior a 9100 então estamos quites.
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Seja j a taxa de juros e A o valor da amortização mensal (que é constante). Como foram pagas 4 prestações, podemos dizer que o valor inicial da dívida é dado por:
A = VP / n
A = VP / 4
VP = 4A
No início do segundo mês, já foi amortizado o valor “A” da dívida, restando o saldo devedor igual a 3A. Os juros incorridos neste segundo mês (300 reais) são calculados por:
J = SD x j
Assim,
300 = 3A x j
A x j = 100
No início do último mês, o saldo devedor é igual à amortização mensal:
SD = A
Os juros devidos no último mês são, portanto:
J = SD x j = A x j
Assim, a última prestação é:
P = A + J = A + Axj
Como esta última prestação é de 2100 reais, e vimos que Axj = 100, então:
2100 = A + 100
A = 2000 reais
Podemos encontrar agora o valor de j:
Axj = 100
2000 x j = 100
j = 0,05 = 5%
Veja ainda que a dívida inicial era VP = 4A = 8000 reais.
Com isso em mãos, vamos julgar o item:
A primeira parcela é dada por:
P = 2000 + 8000 x 5% = 2400 reais
A segunda é dada por (veja que agora o saldo devedor é 6000 reais):
P = 2000 + 6000 x 5% = 2300 reais
A terceira é:
P = 2000 + 4000 x 5% = 2200 reais
E a última é de 2100 reais, como já vimos. Ao todo, o tomador do empréstimo pagou 9000 reais.
Item CORRETO.
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bela questão
em uns alguns poucos minutos, com um bom algebrismo, dá de matar as 4 assertivas referentes a esse enunciado
Chame o valor emprestado de X
Amortização = X/4 (em 4 parcelas, disse a questão)
Juros da segunda parcela (J2)= ((3x)/4)*i, onde i é a taxa de juros mensal (não confunda com os juros da segunda parcela)
O (3x/4) acima é o saldo devedor, já q uma parcela foi paga (se uma parcela foi paga, ocorreu apenas uma amortização, sendo q cada amortização é X/4
Mas J2 = 300
Então, J2 = (3X/4)*i = 300
Logo, X*i = 400
P4 (Parcela4 = quarta parcela) = A + J4 (juros referente à quarta parcela)
P4 = A + J4
Mas A = X/4, então P4 = (X/4) + J4
lembre-se de q os juros só incidem sobre o respectivo saldo devedor. Se eu quero o valor dos juros da quarta parcela, J4, sobre qual valor ele vai incidir? O q significa? Significa q três parcelas já foram pagas e amortizadas. Então, já ocorreram 3 das 4 amortizações. Logo, como só sobra uma amortização, J4 irá incidir sobre essa amortização q falta, X/4
J4 = (X/4)*i
Jogando esses valores em P4
P4 = A + J4
P4 = (X/4) + (X*i/4)
A questão diz q P4 = 2100 e já achamos o valor de X*i = 400
P4 = (X/4) + (400/4) = 2100
Resolvendo:
X = 8000
Se X*i = 400, então i = 400/X
Mas X = 8000
Então i = 400/8000
i = 5%
O valor pago, ao total, significa a soma entre X e os valores dos juros q incidem sobre os valores a serem amortizados em 4 parcelas (A = 2000. Ou seja, o saldo devedor começa sendo 8000 e vai decrescendo de 2000 à medida em q as 4 parcelas vão sendo pagas)
Valor total pago = X + i*(8000 + 6000 + 4000 + 2000)
Vtotal = 8000 + 1000
Vtotal = 9000
Gabarito: Certo
Espero ter ajudado
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Certamente, o q o Alexandre falou é vdd. É sempre bom ganhar um tempo na prova, tentando fugir do algebrismo, mesmo q esse se trate de uma arte. Porém, nem sempre isso é possível e acredito q esse seja o caso. Baixe a prova e veja q há outras 3 questões q se baseiam nesse mesmo texto da assertiva. No final das contas, o aluno teria q fazer todas as contas dessa mesma forma...
E nem digam q foi muita conta, pq já vi várias questões de múltipla escolha em q é preciso q se faça mt mais contas para resolver apenas uma única questão.
Minha dica: ao olhar a questão, pense se realmente é necessário q se faça as contas; pense se dá de resolver sem fazer as contas; e lembre q se houver mais de uma questão pra ser resolvida com um único enunciado, vc dificilmente - pra não dizer nunca - conseguirá resolver todas sem fazer nenhuma conta
Abraços
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O total dos juros foi de 1000, o montante inicial de 8000. O total pago foi 9000.