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Para responder esse exercicio é necessário saber que o e^(ln x) = x.
Então,
f(x) = a^x
f(x) = e^ ln (a^x)
f(x) = e^( x lna)
gabarito correto
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Acrescentando ...
f(x) = e ^ (x.lna) [ Usando propriedade de logaritmo, x.lna = ln a^x ]
f(x) = e ^ (ln a^x)
Usando novamente propriedades de logaritmos, podemos simplificar e obter f(x) = a^x.
Podemos fazer essa simplificação, pois o logaritmo natural ou neperiano possui a base "e".
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Como os amigos a cima disseram:
f(x) = e^( x*ln a)
f(x) = e^ ln (a^x) ----------- devido a propriedade dos log. x*ln a= ln a^x
f(x) = a^x ---------------------- pois ln e o exponencial são funções inversas
Exemplo de função inversa:
sen (arcsen (a^x)) = a^x
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Para descobrirmos que eles são iguais, temos que igualar os dois termos:
a^x = e^xlna
já que temos x nos dois lados, podemos cortá-los:
a = e^lna ou a = e^log de a na base e
existe uma propriedade dos logaritmos que comprova essa igualdade:
b^log de a na base b = a
portanto, a afirmativa está correta.
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Para resolver essa questão precisa saber da seguinte propriedade: e^lnx = x.
Assim, igualando f(x) = f(x), tem-se:
a^x = e^xlna
passando o ln dos dois lados, tem-se:
lna^x = lne^xlna
pela propriedade do logaritmo, o expoente passa à frente multiplicando, assim:
xlna = xlna*lne, porém lne = 1.
logo.: xlna =xlna.
Portanto a igualdade foi confirmada.
Gabarito "C".