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Essa questão exige conhecimento de potenciação, vamos lá:
2^a * 3^b = 18 * 6^c
2^a * 3^b = 3*6* 6^c
2^a * 3^b = 3*2*3* 6^c
2^a * 3^b = 3*2*3* (2*3)^c
2^a * 3^b = 2*3^2*(2*3)^c
(2*3) * 2^(a-1) * 3^(b-1) = 2 * 3^2 * (2*3)^c
Agora temos igualdades nos dois lados, ou seja:
c = 1 ; a-1 = 1 ; b-1 = 2
c = 1 ; a = 2 ; b = 3
b - a = 3 - 2 = 1
Acho que ficou meio confuso de entender... É meio limitado explicar por aqui.
Qualquer coisa posso fazer um vídeo explicando como resolvi.
Bons estudos! FOCO.
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Vamos relembrar a regra da multiplicação de potências de mesma base: repete a base e somam-se os expoentes.
2^a . 3^b = 18 . 6 ^c ;
2^a . 3^b = 2 . 3^2 . 2^c . 3^c;
2^a . 3^b = 2 ^(c + 1) . 3 ^ (c + 2);
a = c + 1 (1) (-1)
b = c + 2 (2)
Montei um sistema de duas equações. Como ele quer o valor de (b - a), vou multiplicar a primeira equação por (-1) e aplicar o método da adição e subtração do sistema de equações:
-a = -c - 1 (1)
b = c + 2 (2)
(2) + (1)= b - a = c - c + 2 - 1 = b - a = 1
GABARITO: E
"DESISTIR NUNCA; RETROCEDER JAMAIS. FOCO NO OBJETIVO SEMPRE."
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2^a . 3^b = 18 . 6^c
fazendo 2^a = (6/3)^a, teremos que:
6^a . (3^b)/(3^a) = 18 . 6^c
6^a . 3^(b-a) = 18 . 6^c
(6^a . 3^(b-a))/6^c = 18
6^(a-c) . 3^(b-a) = 18
fazendo 18 = 6 . 3 e dividindo em ambos os lados:
{[6^(a-c)]/6} . {[3^(b-a)]}/3 = 1
6^(a-c-1) . 3^(b-a-1) = 1
Ln [6^(a-c-1) . 3^(b-a-1)] = Ln (1)
Ln [6^(a-c-1) . 3^(b-a-1)] = 0
Ln [6^(a-c-1)] + Ln [3^(b-a-1)] = 0
(a-c-1).Ln (6) + (b-a-1).Ln (3) = 0
Aqui eu diria que fica mais fácil a análise, tendo em vista que, caso fizéssemos a equivalência de que (a-c-1).Ln (6) = -(b-a-1).Ln (3) e, posteriormente, [(a-c-1)/(b-a-1)] = Ln (3) - Ln (6), sem que (a-c-1) e (b-a-1) seja 0, não faria sentido que a,b e c fossem naturais, uma vez que uma fração composta por números naturais não retornaria um valor igual ao Ln (1/3) (basta fazer as operações de logaritmo para entender o porquê do 1/3).
Loooogo, tanto (a-c-1) quanto (b-a-1) deve ser igual a 0
Portanto, temos a resposta imediatamente: b-a-1 = 0; b-a = 1
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https://www.youtube.com/watch?v=BloBDN-Yxww
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2^a x 3^b = 18 x 6^c
FATORA 18 = 2^1 x 3^2
FATORA 06 = 2^1.3^1 , OU SEJA C = 01
Aplicação da propriedade das potências, base igual soma-se os expoentes.
2^a x 3^b = 2^1 x 3^2 x 2^c x 3^c
Sendo c = 1, pois só existe apenas um c, e o valor dele ficou conhecido pela fatoração, cada qual com expoente igual a 01.
Na base 2 o expoente a = 1 + c = 1 + 1; a = 2
Na base 3 o expoente b = 2 + c = 2 + 1; b = 3
b - a = 3 - 2 = 1
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Eu fiz da seguinte forma:
2^a * 3^b = 18 * 6^c
(2^a * 3^b) / 6^c = 18
(2^a * 3^b) / (2^c * 3^c)
-> Potenciação com mesma base, subtrai-se os expoentes
(2^a-c * 3^b-c) = 18
-> Pelas alternativas eu sei que b>a, e pela lógica eu sei que b>a>c, então chutei b=3, a=2, c=1
2^1 * 3^2 = 18
2 * 9 = 18
18 = 18
Sendo b=3 e a=2, a resposta é 1.
Gab. E
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GAB [E] AOS NÃO ASSINANTES .
#ESTABILIDADESIM.
#NÃOÀREFORMAADMINISTRATIVA.
''AQUELES QUE , PODENDO FAZER SE OMITEM , SERÃO CÚMPLICES DA BARBÁRIE.''
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Fiz assim se ( b - a) então b > a.
Substituir a = 2 e b=3
2^2 . 3^3 = 4.27 = 108
E substituir c = 1
18 . 6^1 = 18 . 6 = 108
então b - a = 3 - 2 = 1
Esse foi o raciocínio que utilizei para chegar a resposta.
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Solução:
2^a * 3^b = 18 * 6^c
Vamos transformar o número 18 e o 6^c em base de 2 e 3 , para compararmos com o outro lado da igualdade:
2^a * 3^b = (3^2 * 2) * (3 * 2)^c
2^a * 3^b = 3^2 * 2 * 3^c * 2^c
2^a * 3^b = 2^(1+c) * 3^(2+c)
Comparando os dois lados da igualdade, temos que 2^a * 3^b é igual a 2^(1+c) * 3^(2+c) , quando a for igual a 1+c e b for igual 2+c
Assim:
a = 1 + c
b = 2 + c
E o exercício nos pede b - a , então:
b - a = (2 + c ) - ( 1 + c ) = 2 + c - 1 - c = 2 - 1 = 1
Alternativa E.
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Resposta: alternativa E.
Comentário do professor Ivan Chagas no YouTube:
https://youtu.be/nTcKqZC2z8o
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Resposta: Letra E. 1.
2^a . 3^b = 18 . 6^c
Vamos fatorar 18: 2 . 3²
2^a . 3^b = 2 . 3² . 6^c
2^a . 3^b = 2 . 3² . 2^c . 3^c
2^a . 3^b = 2^1+c . 3^2+c
Logo:
a = 1 + c
b = 2 + c
b – a = (2 + c) - (1 + c)
b – a = (2 – 1) + (c – c)
b – a = 1.
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2^a . 3^b = 18 . 6 ^c ;
2^a . 3^b = 2 . 3^2 . 2^c . 3^c;
2^a . 3^b = 2^(c + 1) . 3^(c + 2)
Como as bases são iguais em ambos os lados da igualdade, temos que:
2^a = 2^(c + 1) .: a = c + 1
3^b = 3^(c + 2) .: b = c + 2
b - a = (c + 2) - (c + 1)
b - a = 1
Gab: E
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Resolução no vídeo: https://youtu.be/bLpYfFgHUD4
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A-B OU 2-3 =1 , ACHO QUE ERA SO LER O ENUNCIADO