Eu tentei fazer da melhor forma possível, assim que cheguei no gabarito, se caso eu estiver errado peço por favor que me corrijam.
https://ibb.co/rpYmy2Z ( ver a imagem nesse link pois não conseguir upá-la no comentário)
Primeiro vamos encontrar o valor de Y. Como temos um triângulo retângulo, utilizaremos o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de Y. Sendo assim, temos:
(2X)² = X² + Y²
4X² = X² + Y²
3X² = Y² (aplica-se raiz quadrada dos dois lados para eliminar o expoente)
X√3 = Y (guardar essa igualdade)
O Triangulo BCD é um triangulo isósceles, uma vez que possuem dois lados de mesmo tamanho (ver figura inicial), além de dois ângulos de mesmo valor.
A altura do triangulo BCD pode ser encontrada ligando o ponto B ao ponto médio da reta Y formando dois triângulos retângulos. Como trata-se do ponto médio, o valor destacado na imagem vai ter o valor de Y/2. Portanto, utilizando novamente o teorema de Pitágoras podemos encontrar o valor de h, sendo assim, temos:
X² = (Y/2)² + h²
lembra que encontramos o valor de Y ali em cima, pois bem, vamos substituir nesse ponto.
X² = [(X√3)/2]² + h²
X² = (3X²)/4 + h² (fazemos o mmc entre 1 e 4)
4x² = 3X² + 4h²
X² = 4h² (Novamente, aplica-se raiz quadrada dos dois lados para eliminar o expoente)
X = 2h
h = X/2
Com os valores de h e Y encontrados, podemos prosseguir pro cálculo da área de cada triângulo pedido no exercício.
Devemos lembrar que a área do triângulo é (base x altura) / 2
Para o triângulo ACD:
A1 = (Y * X)/2
A1 = [(X√3)*X]/2
A1 = (X²√3)/2
Para o Triângulo BCD:
A2 = (Y*h)/2
A2 = (X√3 * x/2)/2
A2 = (X²√3)/4
Sabemos que a razão é a área do triângulo ACD / área do triângulo BCD
A1/A2 = [(X²√3)/2] / (X²√3)/4 (podemos multiplicar o primeiro pelo inverso do segundo)
A1/A2 = [(X²√3)/2] * [4 / (X²√3)] (aqui podemos dividir em cima e embaixo por X²√3)
A1/A2 = 4/2
A1/A2 = 2
GABARITO C
O triângulo equilátero possui os 3 lados iguais, considerando que a medida de cada lado é x, temos o seguinte desenho:
O lado prolongado (BD) vai possuir a mesma medida dos demais lados do triângulo equilátero, conforme o enunciado, ou seja, x
A fórmula para cálculo da área de um triângulo equilátero é:
(L²√3)/4
L= lado
Assim, a área do triângulo ABC será: (x²√3)/4
A fórmula para cálculo da área dos demais triângulos é:
(b.h)/2
b= base e h= altura
Temos o valor da base do novo triangulo ACD = x, a hipotenusa = 2x e precisamos calcular a altura dele para saber a área:
hip ² = base² + h²
(2x)² = (x)² + h²
h = x√3
Assim, a área do triângulo ACD será:
(b.h)/2
(x.x√3)/2 = (x²√3)2
Por fim, a razão entre a área do triângulo ACD e a área do triângulo BCD é:
(x²√3)2 / (x²√3)/4 = 2