Questão 600376

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: BNDES
• Ano: 2011
• Provas: CESGRANRIO - 2011 - BNDES - Engenheiro
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Covariância, Correlação; Estatística descritiva (análise exploratória de dados); Medidas de Dispersão (Amplitude, Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação); Variável aleatória contínua

As variáveis aleatórias X e Y têm variâncias iguais e possuem coeficiente de correlação igual a 0,2. O coeficiente de correlação entre as variáveis aleatórias X e 5X – 2Y é

• A. – 0,35
• B. – 0,2
• C. 0,1
• D. 0,56
• E. 0,92

Gabarito: E

Comentários

• O exercício pede para calcular: C(x, 5x-2y) = COV(x, 5x-2y)/(DP(x) * DP(5x-2y))
  
  Como C (x,y) = 0,2, C(x,y) = COV (x,y)/ DP(x) * DP (y) e DP(X) = DP(Y), pois Var(X) = Var(Y), temos que: COV (x,y) = 0,2 DP(x)² = 0,2Var(X)
  
  1º Passo: calcular  DP(5x-2y)
  A variância da soma de duas VA (a e b) quaisquer é dada por:
  Var(ax + by) = a² Var(x) + b² Var(y) + 2ab * COV(x,y)
  Assim, temos: Var (5X-2Y) = 5² Var(x) + (-2)² Var(y) + 2 * 5 * (-2) COV(x,y) = 25 Var(x) + 4 Var (y) - 20 Cov(x,y). Como Var(X) = Var(Y) e COV(x,y) = 0,2Var(X), a fórmula resulta em: 29Var(x) - 20*0,2*Var(x) = 25 Var(x)
  Se Var (5x-2y) = 25 Var(x), então DP (5x-2y) = raiz quadrada da Variância = 5 DP(x).
  
  2º Passo: calcular COV (x, 5x-2y)
  Sabemos que COV(x,y) = E(xy) - E(x) * E(Y)
  Portanto, COV(x, 5x-2y) = E[(x)*(5x-2y)] - E(x)*E(5x-2y) = E(5x² - 2xy) - E(x)*(5E(x)-2E(y)) = 5E(x²) - 2E(xy) - 5 (E(x))² + 2E(x)E(y) = 5[E(x²)-(E(x))²] - 2[Cov(x,y) + E(x)*E(y)] + 2E(x)E(y) = 5Var(x) -  2COV(x,y) = 5Var(x) - 2*0,2Var(x) = 4,6Var(x).
  
  C(x,5x-2y) = COV(x, 5x-2y)/(DP(x) * DP(5x-2y)) = 4,6Var(x) / (DP(x) * 5DP(x) = 4,6Var(x)/5Var(x) = 0,92
  
  Resposta: letra e
  
  
  
  
  
• Devemos Lembrar que foi dado do problema que Var_(x) = Var_(y), ou seja, d.p_(x) = d.p_(Y) 
  Para calcularmos a Cov_(x,5x-2y), devemos saber o valor da Cov_(x,5x-2y) e do d.p_(x) e o d.p_(5x-2y)
  
  Cor_(x,y) = Cov_(x,y) / d.p_(x)*d.p_(y)
  0,2 = Cov(x,y) / Var
  Cov_(x,y) = 0,2 Var
  
  Var_(5x-2y) = 5² Var_(x) + 2*5*(-2) Cov_(x,y) + 2² Var^_(y)
  Var_(5x-2y) = 25 Var - 20 Cov_(x,y) + 4 Var
  Var_(5x-2y) = 25 Var - 20*0,2 Var + 4 Var
  Var_(5x-2y) = 25 Var - 4 Var + 4 Var
  Var_(5x-2y) = 25 Var
  d.p _(5x-2y) = 5 sigma
  
  Cov_(x,5x-2y) = E_(x,5x-2y) - E_(x) * E_(5x-2y)
  Cov_(x,5x-2y) = E(5x²-2xy) - E_(x) * [5 E^_(x) - 2 E_(y)]
  Cov_(x,5x-2y) = 5 E(x²) - 2 E_(x,y) - 5 (E_(x))² - 2 E^{_{(x) *}}E_(y)
  Cov_(x,5x-2y) = [5 E(x²) - 5 (E_(x))²] - [2 E_(x,y)  - 2 E^{_{(x) *}}E_(y)]
  Cov_(x,5x-2y) = 5 Var_(x) - 2 Cov_(x,y)
  Cov_(x,5x-2y) = 5 Var_(x) - 2*0,2 Var_(x)
  Cov_(x,5x-2y) =  4,6 Var_(x)
  
  Cor_(x,5x-2y) =  Cov_(x,5x-2y) /d.p_(x) * d.p_(5x-2y)
  Cor_(x,5x-2y) = 4,6Var / Sigma * 5 Sigma
  Cor_(x,5x-2y) = 4,6Var / 5Var = 0,92