Questão 67534

• Banca: ESAF
• Órgão: Receita Federal
• Ano: 2009
• Provas: ESAF - 2009 - Receita Federal - Auditor Fiscal da Receita Federal - Prova 1
• Disciplina: Raciocínio Lógico
• Assuntos: Raciocínio Matemático

Se um polinômio f for divisível separadamente por (x - a) e (x - b) com a ? b, então f é divisível pelo produto entre (x - a) e (x - b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a:

• A.
• B.
• C.
• D.
• E.

Gabarito: C

Comentários

• Tópico: Questão de Álgebra Resolvida pelo professor Sérgio AltenfelderResolução: chamando de ax+b o resto da divisão, temos:f(1) = 5 f(-3) = -2ax + b = 5 ax + b = -2a(1) + b = 5 a(-3) + b = -2a + b = 5 -3a + b = -2Com as duas equações resultantes (a + b = 5 e -3a + b = -2), resolve-se um sistema.Somando as duas equações temos: 4a = 7, logo a = 7/4substituindo a = 7/4, na primeira equação temos:a + b = 57/4 + b = 5 b = 5 – 7/4 b = (20-7)/4 b = 13/4Logo a resposta é a letra C:7x/4 + 13/4
• O grande lance da questão é que na divisão de um polinômio qualquer, de grau maior ou igual a 1, por outro de grau 1 do tipo (x-a), o resto é encontrado pela substituição da varíavel do primeiro pela raiz deste último. Analisemos e supomos: P(x) = D(X).Q(X) + R, sendo P(X) o polinômio dividendo, D(X) o polinônio divisor, Q(x) o quociente e R o resto. Sendo o Q(x) do tipo (x-a), sua raiz (valor que anula este polinômio) logicamente será "a".
  Assim, substituindo o Q(x) por (x-a), temos P(x) = D(X).(x-a) + R. Logo, quando x=a temos: P(a) = D(a).(a-a)+R =>  P(A)= 0 + R= R. Ou seja, P(a) resulta no resto da divisão. Voltando a questão, a divisão exigida tem como divisor um polinômio do tipo (x-a)(x-b), ou seja, o divisor tem grau 2 (1+1) e consequentemente, se o resto não for nulo, ele será de grau 1 (próximo grau menor que 2) do tipo (ax-b). Aplicando o conceito "de encontra o resto confirme acima" (calculando P(1)= 5 e P(-3)= -2 ), teremos um simples sistema de equação de 1 grau como a seguir:
  
  a+b = 5
  -3a+b=-2
  
  Daí vocês já sabem em que resto isso vai dar.
  
  Alternativa c 

• Boa tarde. Alguém poderia me ajudar nessa questão? Não consigo de jeito nenhum entender os caminhos que devo tomar para se chegar ao resultado.

• Um caso muito comum é a divisão de um polinômio P(x) por um divisor na forma (x - a), onde “a” é uma constante qualquer. Como o
  divisor é um polinômio de grau 1, o resto certamente terá grau zero, ou seja, será um valor constante. O teorema do resto nos diz que o resto dessa divisão é o próprio P(a). Entenda isso através do exemplo abaixo:

  
  Sendo P(x) = 5x4 + 8x3 - 2x + 3, qual é o valor do resto da divisão
  de P(x) por (x - 1)?

  
  Observe que o divisor é na forma (x - a), onde a = 1. De acordo com o teorema acima, o resto é o próprio P(1), ou seja:
  Resto=P(1)=5.14+8.13-2.1+3=5+8-2+3=14

  
  E se quiséssemos saber o valor do resto da divisão deste polinômio por (x+2)? Temos novamente um divisor na forma (x - a), porém neste
  caso a = -2. Afinal, [x - (-2)] = (x + 2). O resto da divisão é justamente P(a), ou seja, P(-2):
  Resta = P(-2) = 5.(-2)4 + 8. (-2)3 - 2. (-2) + 3 = 80 - 64 + 4 + 3 = 23

   

  Com base nesta breve introdução, SEGUE A RESOLUÇÃO DESTA QUESTÃO:

   

  Pelo teorema do resto que vimos acima, se f dividido por (x - 1) tem resto igual a 5, isto significa que f(1) = 5. E se f dividido por (x + 3)
  tem resto igual a -2, isto indica que f(-3) = -2.

  
  O polinômio (x - 1).(x + 3) terá grau 2. Assim, ao dividir f por este polinômio, o grau do resto será, no máximo, igual a 1. Genericamente,
  podemos representar este resto por R(x) = ax + b, sendo que á e/ou b podem ser iguais a zero.

   

  Assim, lembrando que P(x) = Q(x).D(x) + R(x), temos que:
  f(x) = Q(x).(x - 1).(x + 3) + ax + b

  
  Como f(1) = 5, substituindo x por 1 temos:
  f(1) = Q(1).(1 - 1).(1 + 3) + a.1 + b
  5 = Q(1).(0).(1 + 3) + a + b
  5 = a + b

   

  E como f(-3) = -2, podemos substituir x por -3:
  f(-3) = Q(-3).(-3 - 1).(-3 + 3) + a.(-3) + b
  -2 = Q(-3).(-3 - 1).(0) + -3a + b
  -2 = -3a + b

   

  Portanto, temos um sistema linear com 2 equações e duas variáveis (a e b):

  
  5 = a + b

  -2=-3a+b

  
  Da primeira equação temos que b = 5 - a. Substituindo na segunda:
  -2=-3a+(5-a)
  -2 = -4a + 5
  4a = 5 + 2
  a = 7/ 4

   

  Logo,
  b=5-a=5-7/4=13/4

   

  Portanto,
  R(x) = ax + b = (7/4)x + 13/4

• Pelo teorema do resto que vimos acima, se f dividido por (x – 1) tem resto igual a 5, isto significa que f(1) = 5. E se f dividido por (x + 3) tem resto igual a -2, isto indica que f(-3) = -2.

         O polinômio (x – 1).(x + 3) terá grau 2. Assim, ao dividir f por este polinômio, o grau do resto será, no máximo, igual a 1. Genericamente, podemos representar este resto por R(x) = ax + b, sendo que a e/ou b podem ser iguais a zero.

          

         Assim, lembrando que P(x) = Q(x).D(x) + R(x), temos que:

  f(x) = Q(x).(x – 1).(x + 3) + ax + b

         Como f(1) = 5, substituindo x por 1 temos:

  f(1) = Q(1).(1 – 1).(1 + 3) + a.1 + b

  5 = Q(1).(0).(1 + 3) + a + b

  5 = a + b

         E como f(-3) = -2, podemos substituir x por –3:

  f(-3) = Q(-3).(-3 – 1).(-3 + 3) + a.(-3) + b

  -2 = Q(-3).(-3 – 1).(0) + -3a + b

  -2 = -3a + b

         Portanto, temos um sistema linear com 2 equações e duas variáveis (a e b):

  5 = a + b

  -2 = -3a + b

         Da primeira equação temos que b = 5 – a. Substituindo na segunda:

  -2 = -3a + (5 – a)

  -2 = -4a + 5

  4a = 5 + 2

  a = 7 / 4

         Logo,

  b = 5 – a = 5 – 7/4 = 13 / 4

         

         Portanto,

  R(x) = ax + b = (7/4)x + 13/4

  Resposta: C