Questão 77176

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: BACEN
• Ano: 2010
• Provas: CESGRANRIO - 2010 - BACEN - Analista do Banco Central - Área 3
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Estimativa de Máxima Verossimilhança; Inferência estatística; Intervalos de confiança

De uma população infinita X, com distribuição normal, com média µ e variância 9, extraiu-se, aleatoriamente, a seguinte amostra de 4 elementos: {x: 1,2; 3,4; 0,6; 5,6}. Com base no estimador de máxima verossimilhança de µ, para um grau de significância de α, estimou-se o intervalo de confiança para a média em [-0,24; 5,64]. Da mesma população, extraiu-se uma amostra 100 vezes maior que a anterior e verificou-se que, para essa nova amostra, a estimativa da média amostral era igual à obtida com a primeira amostra. Com o mesmo grau de significância α, o intervalo de confiança estimado, com base na nova amostra, foi

• A. [2,406; 2,938]
• B. [2,406; 2,994]
• C. [2,435; 2,965]
• D. [2,462; 2,938]
• E. [2,462; 2,965]

Gabarito: B

Comentários

• Comentário objetivo:
  
  1) CALCULAR A MÉDIA AMOSTRAL X:
  
  X = (1,2 + 3,4 + 0,6 + 5,6) / 4 = 2,7
  
  2) CALCULAR O ERRO:
  
  E = L_SUP - X = 5,64 - 2,7 = 2,94
  
  3) CALCULAR O NOVO INTERVALO DE CONFIANÇA:
  
  E = z x ? / ? n
  
  Como a amostra aumentou 100 vezes de tamanho, temos que o novo "n" é igual a 100 vezes o "n" anterior. Assim, o denominador na fórmula do erro aumentará em 10 vezes ( raíz quadrada de 100) e, consequentemente, o erro dimiunuirá em 10 vezes. Portanto o novo erro será 0, 294.
  
  Assim, o novo intervalo de confiança será:
  
  IC = [2,7 - 0,294 ; 2,7 + 0,294]
  IC = [2,406 ; 2,994]
• Fiz assim:
  
  n=4
  Var = 9 => dp=3
  
  1) Achar média
  E(x)= (1,3+3,4+0,6+5,6)/4 = 10,8/4 = 2,7 (tambem pode-se achar via IC)
  
  2)Calcular Erro
  IC= (E(x) - Erro ; E(x) + Erro)  => Erro= 5,64 - 2,7 = 2,94
  
  3) Calcular Z
  Z= Erro/ (dp/ raiz de n)
  Z= 2,94/ (3/2) => Z=1,96
  
  4) Achar novo E usando a  formula acima com mesmo Z e n=400
  1,96- Erro' / ( 3/20) => Erro'= 0,294
  
  5) Calcular novo IC
  IC= (2,7 - 0,294 ; 2,7+ 0,294)
  IC= (2,406 ; 2,994)
  
  LETRA B
• Forma alternativa de resolução, considerando que o ponto médio do IC equivale à média amostral X.
  
  Amplitude do IC: 5,64 - (- 0,24) = 5,88
  
  Erro (ou ponto médio): 5,88 dividido por 2 = 2,94
  
  Cálculo alternativo da média amostral: (LSup menos o ponto médio): 5,64 - 2,94 = 2,7
  
  São dados que: a nova amostra é 100 vezes maior que a primeira; a estimativa da média amostral e o grau de significância não se alteram.
  
  1ª amostra: raiz de n = 2; 2ª amostra: raiz de n = 20, aumentando 10 vezes.
  
  Sabendo-se que a amplitude do IC e a raiz de n são grandezas inversamente proporcionais, a amplitude (e por conseguinte o erro) diminuiram 10 vezes.
  
  O erro passou de 2,94 para 0,294.
  
  Logo: 2,7 - 0,294 = 2,406 e 2,7 + 0,294 = 2,994