Questão 89377

• Banca: FUNRIO
• Órgão: PRF
• Ano: 2009
• Provas: FUNRIO - 2009 - PRF - Policial Rodoviário Federal
• Disciplina: Raciocínio Lógico
• Assuntos: Raciocínio Matemático

Os motoristas que cometeram as infrações A, B e C foram contabilizados em sete conjuntos: X1, X2, X3, X4, X5, X6 e X7. Os conjuntos X1, X2 e X3 são compostos pelos motoristas que cometeram, respectivamente, a infração A, B e C; os conjuntos X4, X5 e X6 são formados pelos que cometeram, respectivamente, as infrações A e B, A e C, e B e C. Finalmente, o conjunto X7 é composto pelos que cometeram as três infrações; seja N o número mínimo de motoristas que cometeram apenas uma infração. Sabendo que os números de motoristas desses sete conjuntos são todos diferentes e divisores de 30, o valor de N é

• A. 6.
• B. 22.
• C. 18.
• D. 14.
• E. 10.

Gabarito: D

Comentários

• Ora, os divisores de 30 são: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30 (8 divisores).
   
                 Seja x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 respectivamente o número de elementos de X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7.
  
                 O número de motoristas (N) que cometeram apenas 1 infração, será dado por: N = x1+x2+x3-2*(x4+x5+x6)+3*x7 (x7 é descontando 2 vezes quando tiro cada par de intersecção X4, X5 e X6 de cada conjunto X1, X2 e X3, por isso devo colocar de volta 3*x7, uma vez para cada par retirado (X4,X5);(X5,X6)e(X4,X6).
  
                 Como N deve ser mínimo, vou trabalhar com os 7 menores divisores de 30, i.e., vamos deixar de lado o próprio divisor 30 e trabalhar somente com os divisores 1; 2; 3; 5; 6; 10 e 15.
  
                 Como x7 é o número de elementos das 3 intersecções; x4,x5 e x6 o número de elementos das intersecções A^B; A^C e B^C respectivamente, devemos ter necessariamente x4, x5, x6 > x7.
  
                 Então fica também óbvio que x7=1, pois o número de elementos das 3 intersecções deve ser menor do que o número de elementos das intersecções 2 a 2 ou dos números de elemento dos conjuntos A, B e C.
  
                 Seguindo o mesmo raciocínio acima, também fica óbvio que o número de elementos das intersecções 2 a 2 deve ser igualmente menor do que o número de elementos dos conjuntos A, B e C. Logo, (x4,x5,x6) devem ser menores do que (x1,x2,x3). Assim (x4,x5,x6) devem ter números tirados do conjunto (2,3,5) e (x1,x2,x3) devem ter números tirados do conjunto (6,10,15). Como não importa saber exatamente os números de elementos de cada conjunto, apenas a soma do número de elementos destes grupos de 3 conjuntos, N será igual a:
   
  N = 15+10+6-2*(2+3+5) +3*1 = 14 => (alternativa D)
• Não entendi uma coisa. O enunciado pede o número mínimo de motoristas que cometeram apenas uma infração, não o número de motoristas que cometeram a infração. Assim sendo, entendo que é pedido o menor número de elementos possível num dos sub-conjuntos X1, X2 ou X3. É dito também que este número tem que ser divisor de 30 e que não pode ser repetido. Desta forma, tirando-se os quatro primeiros divisores de 30, pois os sub-conjuntos não podem ter um número de elementos maior que o do conjunto, o menor número possível que atende a estes critérios é 6 ...
• QUESTÃO DEVE SER ANULADA !!!
  Fundamentação:
  Os valores assumidos pelos conjuntos: X1, X2, X3, X4, X5, X6 e X7, serão {1,2,3,5,6,10,15} que são os 7 menores divisores de 30 (excluindo o próprio 30, pois estamos buscando o menor valor para motoristas que cometeram uma única infração). Está é uma questão típica de  "olimpíada de matemática". Deve ser resolvido por raciocínio por meio do diagrama de Venn. Observe que os valores das interseções estão contidos no valor total dos conjuntos X1, X2 e X3, por exemplo: o número de infratores que cometeram as infrações A e B simultaneamente está computado no conjunto que cometeu a infração A(X1) e também a infração B(X2).Vide esquema da figura abaixo:
  
   Agora vamos a análise de possibilidade de construções para o caso:
  X7: só pode assumir o valor "1", pois se colocar  o "2" ou maior, o "1" ficará sem uso, já que os outros valores estão todos com o X7 englobado.
  X6: pode assumir sem problemas o valor "2", 1 do X7 + 1.(vide diagrama abaixo)
  X5: valor "3", sem problemas. 1 do x7 + 2.
  X4: pode assumir o valor  "5" ou "6", vamos escolher o "6", pois queremos o mínimo de valores para sobrar para os conjuntos X1, X2 e X3.
  X3: ficará: X7+ só X5 + só X6 + só X3 = X3 ;  Logo: 1+2+1+1=5( Só X5= X5-X7,ou X5 exclusivo).
  X2:ficará: X7+ só X4 + só X6 + só X2 = X2 ;  Logo: 1+5+1+8=15
  X1:ficará: X7+ só X4 + só X5 + só X1 = X1 ;  Logo: 1+5+2+2=10
  RESPOSTA: OS VALORES EM VERMELHO SOMADOS SÃO OS MOTORISTAS QUE COMETERAM SÓ UMA INFRAÇÃO: LOGO
  N = 1 + 8 + 2 = 11 motoristas. Que é um valor menor que 14 encontrado pelo elaborador da questão. Portanto, esta questão é NULA.
  As figuras ficaram com problemas.
  
• Colegas, 
  Ao resolver a questão pela primeira vez eu também a errei. Contudo, após ler os comentários do colega acima, eu a compreendi melhor e consegui resolvê-la. Vamos lá então:
  1º) comece desenhando os três conjuntos (A, B e C);
  2º) encontre todos os sete menores divisores de 30: 1,2,3,5,6,10,15;
  -> ATENÇÃO:  os conjuntos X1, X2, X3 englobam todos os elementos das interseções; assim como X4, X5 e X6 contém o elemento da interseção comum a todos, o X7;
  -> ATENÇÃO²: o número - quantidade - de elementos não podem repertir-se, e eles que são divisores de 30, muito cuidado nessa parte;
  3º) comece distribuindo os valores para cada interseção/conjunto, respeitando as regras;
  -> aqui percebemos o seguinte:
  -->X7: só pode ser "1" (inutilize esse elemento dos divisores de 30, já foi "usado");
  OBS.: a ordem para começar a distribuição dos próximos três não é importante;
  -->X4: considerando que seja o segundo menor divisor, temos "2". Obs.: o nº de elementos de X4 - X7 = 1;
  -->X5: considerando que seja o terceiro menor divisor, temos "3". Obs.: o nº de elementos de X5 - X7 = 2;
  -->X6: considerando que seja o quarto menor divisor, temos "5". Obs.: o nº de elementos de X6 - X7 = 4;
  OBS.: mais uma vez  a ordem para começar a distribuição dos próximos conjuntos três não é importante;
  -->X1: considerando que seja o quinto menor divisor, temos "6". Obs.: o nº de elementos de X1 desconsiderando todas as interseções é de 2;
  -->X2: considerando que seja o sexto menor divisor, temos "10". Obs.: o nº de elementos de X2 desconsiderando todas as interseções é de 4;
  -->X3: considerando que seja o sétimo menor divisor, temos "15". Obs.: o nº de elementos de X3 desconsiderando todas as interseções é de 8;
  
  Conclusão: a questão está perguntando o número mínimo de motoristas que cometeram apenas uma infração, logo devemos somar o número de elementos de X1, X2 e X3 desconsiderando-se todas as interseções: 2+4+8=14;
  Questão boa e de um nível bem alto, que demanda uns minutinhos para ser resolvida.

• D(30) = {1,2,3,5,6,10,15,30}

  Como é pedido o menor nº de motoristas, colocamos:

  (Sabendo que os números de motoristas desses sete conjuntos são todos diferentes, não pode repetir os divisores).

  X7 = 1.

  X4 = (A∩B) = 2 (01 cometeu 03 infrações e 01 cometeu 02 infrações).

  X5 = (A∩C) = 3 (01 cometeu 03 infrações e 02 cometeram 02 infrações).

  X6 = (B∩C) = 5 (01 cometeu 03 infrações e 04 cometeram 02 infrações).

  X1 = A = 6 (01 cometeu 03 infrações, 03 cometeram 02 infrações, 02 cometeram apenas 01).

  X2 = B = 10 (01 cometeu 03 infrações, 05 cometeram 02 infrações, 04 cometeram apenas 01).

  X3 = C = 15 (01 cometeu 03 infrações, 06 cometeram 02 infrações, 08 cometeram apenas 01)

   

  nº |N = 2+4+8 = 14 motoristas

• alguém poderia novamente explicar isso diferente, não consegui entender, e cheguei a uma resposta 20, nada a ver com a dos colegas, nem com alguma alternativa do gabarito!

• Resolvo essa questão aqui nesse vídeo

  https://youtu.be/KYjnsShoGRQ

  Ou procure por "Professor em Casa - Felipe Cardoso" no YouTube =D