Questão Q313131

Considere as funções g (x) = log₂ x e h (x) = log_b x , ambas de domínio R*₊.

Se h (5) = 1/2, então g (b + 9) é um número real compreendido entre

Alternativas

5 e 6

4 e 5

3 e 4

2 e 3

1 e 2

Comentários

Não consigo ver a imagem da questão.
Se h (5) = 1/2
log de 5 na base b = 1/2
b^1/2 = 5
√b = 5

(√b)² = 5 ²
b = 25

Se g(b + 9),
g(25 + 9) = log de (34) na base 2
2 ^x = 34
2 ^x = 2⁵ + 2

Logo, 5 < x < 6, ou simplesmente, x é um número real compreendido entre 5 e 6
Sei que h(x) = log (x) na base b. E foi dado que h(5) = 1/2. Portanto -> h(5) = log (5) na base b = 1/2.
Assim temos que, por definição:
b^(1/2) = 5.
Ou seja, b = 5^(2).
-->> b = 25.
Já temos o valor de b. Mas a questão pediu o valor de g(b+9), que é g(25 + 9) --->> g(34).
Prosseguindo... obtemos:
g(34) = log(34) na base 2 = "y".
Onde y será a resposta (y deverá ser um número real compreendido entre um determinado valor e outro),
Dando continuidade temos:
2^(y) = 34
daí é só lembrar que:
2^(1) = 2;
2^(2) = 4;
2^(3) = 8;
2^(4) = 16;
2^(5) = 32 <<--- opa, está bem perto de 34...
2^(6) = 64 <<--- opss, passou.. portanto o valor de y está entre 5 e 6 (ALTERNATIVA "A").
Se h (5) = 1/2 então:

h (x) = log_b x
h (5) = log_b 5
1/2 = log_b 5 (aplicando a propriedade dos logaritmos)
b^1/2 = 5 (Elevando ambos os lados ao quadrado)
b = 25

Assim:

g (b + 9) = log₂ (b + 9) = y

Aplicando mais uma vez a propriedade dos logaritmos:

2^y = (b + 9) = (25 + 9) = 36
2^y = 36

Assim, quais os números inteiros que podemos substituir em y que chega mais próximo de 36? sabemos então que esses números serão 5 e 6, pois 2⁵ = 32 e 2⁶ = 64. Logo g (b + 9) é um número real compreendido entre 5 e 6.

Resposta: Alternativa A.
log de 5 na base b = 1/2

b^1/2 = 5

b= 25

g(9+25)

g(34) = log de 34 na base 2

2^5 = 32 e 2^6 = 64

5<x<6
b^1/2 = 5
bases diferentes, vamo tentar igualar os expoentes
(b^1/2)^2 = (5 )^2
b = 25
g(9+25)
g(34) = log de 34 na base 2
2^5 = 32 e 2^6 = 64
5<x<6

SóProvas

Se h (5) = 1/2

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