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Resposta : Letra a )
10 moedas de 5 centavos
10 moedas de 10 centavos
10 moedas de 25 centavos
Possibilidades :
2 moedas de 25 centavos e 10 de 5 centavos
1 moeda de 25 centavos , 4 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 5 centavos
4 moedas de 5 centavos e 8 moedas de 10 centavos
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Muito fácil. Só resolver o sistema:
x + y + z = 12
5x + 10y + 25z = 100
Sendo:
x : moedas de 5
y: moedas de 10
z: moedas de 25
Só dá 3 combinações possíveis no mundo dos naturais.
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Sejam a, b e c as quantidades de moedas de R$ 0,05, R$ 0,10 e R$ 0,25 usados no troco de R$ 1,00, respectivamente. Essas quantidades devem obedecer às seguintes condições:
i) a + b + c= 12 -> a = 12 - b - c
ii) 0,05*a + 0,10*b + 0,25*c = 1,00 -> Escrevendo em fração e simplificando, temos: a + 2*b + 5*c = 20
A restrição ii pode ser reescrita como
( 12 - b - c ) +2* b + 5*c= 20
Susbtituindo i temos
b + 4*c = 8
de onde tiramos:
b =8 - 4c ( e b deve ser maior ou igual a 0. Monte uma inequação e descubra que c< ou = a 2 )
ou
c = 2 - b/4
Como as quantidades são inteiras, b só pode assumir os valores 0, 4, 8 (note que há apenas 10 moedas de cada tipo, pois temos 30 moedas no total). Com isso, as soluções são:
(a, b, c) = (10, 0, 2)
(a, b, c) = (7, 4, 1)
(a, b, c) = (4, 8, 0)
Temos apenas três modos.
Essa resolução é cola (modificada) do Prof OPUS PI.
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Até agora eu não entendi nenhum comentário.
Eu entendi que tem 10 moedas de cada valor: 5, 10 e 25 centavos.
Não sei se interpretei errado o comando da questão. Mas o que eu entendi é que ele quer usar somente 12 moedas para o troco, e devemos considerar (ou não?) que se retirarmos as moedas do caixa teremos que usar, para o próximo troco, as moedas restantes, certo?
Fiquei confusa... Por favor quem puder esclarece melhor, me deixe um recado. Obrigada
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3 tipos de moedas --> 5 centavos, 10 centavos e 25 centavos
Se a quantidade de moedas de cada valor são iguais, temos 10 moedas de cada valor no total de 30 moedas.
Deverão ser usadas 12 moedas para dar um troco (exatamente).
A= quantidade de 5 centavos; b = quantidade de 10 centavos; c= quantidade de 25 centavos
0,05a + 0,10b + 0,25c= 1 (x12) --> 0,6a + 1,2b + 3c=12
a +b+c=12
a+b+c = 0,6a + 1,2b + 3c --> 0,2b + 2c = 0,4a (x5) -->b + 10c –2a = 0
Considerando a, b e c pertencentes aos Naturais menores que 13, e por não termos as 3 equações para descobrir as 3 incógnitas, atribuiremos valores do 0 ao 12 para a equação com 1 incógnita com valor pré-fixado:
b + 10c –2a = 0 (Tendo em mente que a+b+c=12)
Se b= 12 -->10c -2a= -12 --> não há raízes atribuindo o valor 0 / a+c=0
Se b= 11 -->10c -2a= -11 --> não há raízes atribuindo os valores 0 e 1 / a+c=1
Se b= 10 -->10c -2a= -10 --> não há raízes atribuindo os valores 0, 1 e 2 / a+c=2
Se b= 9 -->10c -2a= -9 --> não há raízes atribuindo os valores 0, 1 e 2 / a+c=3
Se b= 8 --> 10c -2a= -8 --> c=0 para a=4 / a+c=4
Se b= 7 --> 10c -2a= -7 --> não há raízes atribuindo os valores 0,1,2,3,4 e 5 / a+c=5
Se b= 6 --> 10c -2a= -6 -->c=0 para a=3; c=1 para a=8 / a+c=6
Se b= 5 --> 10c -2a= -5 --> não há raízes atribuindo os valores 0,1,2,3,4,5,6 e 7 / a+c=7
Se b= 4 --> 10c -2a= -4 --> c=0 para a=2; c=1 para a=7 / a+c=8
Se b= 3 --> 10c -2a= -3 --> não há raízes atribuindo os valores 0,1,2,3,4,5,6 ,7,8 e 9 / a+c=9
Se b= 2 --> 10c -2a= -2 --> c=0 para a=1; c=1 para a=6 /a+c=10
Se b= 1 --> 10c -2a= -1 --> não há raízes atribuindo os valores 0,1,2,3,4,5,6 ,7,8,9,10 e 11/ a+c=11
Se b= 0 --> 5c=a --> c=0 para a=0; c=1 para a=5; c=2 para a=10 / a+c=12
Obtemos 3 possíveis modos.
Perdão se tiver confuso meu raciocínio.
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Usando a fórmula da combinação com repetição: Cn,k n!
(n-k)! k!
n = total de elementos (3 grupos de moedas = de 5, 10 e 25 centavos), que formam 30 moedas.
k = total de combinações possíveis (2 combinações = de 30 moedas só pode ser feita 2 combinações de 12 moedas ( 12x2= 24 "ainda restaria 6 moedas", não sendo possível fazer a terceira combinação)
3! = 3 . 2! = corta 2! com 2!, e 3 dividido por 1! = 3.
(3-2)! 2! 1! . 2!
Acho que é dessa maneira que se resolve...
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No link abaixo tem uma ótima explicação do professor PH:
http://sejogagalera.blogspot.com.br/2015/07/ph-responde-duvida-da-aluna-adriana.html
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LETRA A
duas moedas de 25 + dez moedas de 5 centavos
quatro moedas de 10 + oito moedas de 5 centavos
sete moedas de 5 + quatro moedas de 10+ uma moeda de 25
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Pessoal acho que não tem fórmula não... O jeito é fazer na guerra bem rápido.
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Total= 30 moedas (R$0,05; R$0,10; 0,25).
1° modo: 8.0,10 + 4.0,05 -> 8+4 = 12 moedas.
2° modo: 1.0,25 + 7.0,05 + 4.0,10 -> 1+7+4 = 12 moedas.
3° modo: 2.0,25 + 10.0,05 -> 2+10 = 12 moedas.