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Formulei 2 soluções ALGÉBRICAS para o problema, mas tem como resolver de maneiras mais simples.
seja M o montante total que é arrecado pela instituição e p quantidade de pessoas. Temos aqui uma função em que o montante(M) depende da quantidade de pessoas(p).
Assim, montando a função:
M(p) = 80p + 4p(100-p)
M(p) = 80p + 400p - 4p^2
M(p) = -4p^2 + 480p
Temos aqui uma função de segundo grau e seu gráfico é uma parábola. Como o termo que acompanha x^2 é negativo, ela tem concavidade virada para baixo. Com isso, concluímos que ela tem um ponto máximo(vértice), que, nesse caso, nos dará o montante total(M) e a quantidade de pessoas para se obter esse montante (X).
Conclui-se que M = Y do vértice e P = X do vértice.
se você se lembra bem das suas aulas de ensino médio, saberá que:
X do vértice = -b / 2a
Y do vértice = -delta / 4a
X do vértice nos dará a quantidade de pessoas (p) e Y do vértice nos dará o dinheiro arrecadado (M).
Como só queremos saber a quantidade de pessoas, não precisamos calcular o Y do vértice, só o X do vértice, portanto, basta achar o valor de a e b e jogar na fórmula de você mata a questão.
Temos que:
a = -4 (termo que acompanha x^2)
b = 480 (termo que acompanha x)
X do vértice = - 480 / 2 * (-4)
X do vértice = -480 / -8
X do vértice = 60
Essa era a maneira mais difícil.
A maneira mais fácil é só pra quem já fez pelo menos calculo 1:
Resolvendo Pelo Calculo:
Derive a função M e iguale-a a 0
Assim:
M' = -8x + 480
-8x + 480 = 0
-8x = -480
x = 480/8
x = 60
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Testei o menor número, depois o maior...
Notei que o maior número totalizava menos, comecei a fazer testes com os menores.
Foi um trabalho meio braçal (caso alguém tenha uma fórmula melhor, falar-me!), mas cheguei na seguinte conclusão:
60 inscrições = 40 vagas restantes.
40 vagas x 4 reais - R$ 160,00.
Portanto, os 60 inscritos pagariam R$ 80,00 + R$ 160,00 = R$ 240,00.
240 reais x 60 inscrições = R$ 14.400,00 -> MAIOR VALOR!
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Questão fácil, porém díficil!
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Se vc não conseguir entender a lógica então vai no braço mesmo...
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Questão tipo NASA, mas bora lá:
1º - você tem que entender como funciona a questão -> Note que você desconhece o número de inscritos, portanto, vamos fazer uma função;
2º - Como descubro a função? primeiro e o mais importante é saber que você tem que atribuir uma variável...
Pessoas que faltaram = X
Faturamento = f(X)
faça o raciocínio de como seria o faturamento...
faltou 1 pessoa = 99(presentes)*80(reais) + 99(presentes)*4(reais - por cada que faltou)
faltaram 2 pessoas = 98*80+98*4*2 (pq duas pessoas faltaram)
faltaram 3 pessoas = 97*80+97*4*3
....
agora dá para montar a função -> f(X) = [100(total)-X(pessoas que faltaram)]*80(entrada fixa)]+[100(total)*4(r$ extra para cada um que faltou)*X(pessoas que faltaram)
simplificando... f(X) = (100-X)*80+(100-X)*4*X
desenvolve... f(X) = -4X² + 320X + 8000
ainda não sei de nenhum ponto, mas sei que no ponto X=0 a f(X)=0
logo, -4X² + 320X + 8000 = 0
3º - vejo se minha função vai me dar o ponto máximo ou o ponto mínimo
aX²+bX+C=0
a>0 - Ponto mínimo
a<0 - ponto máximo
4º - descubro o X em que o ponto é máximo (derivada)
desço o expoente do X², o 2, para multiplicar o número que vem junto com o X; X sozinho = Desço o 1 e multiplico pelo número e o X desaparece e se não tem X fica sempre 0 (explicação porca de derivada, mas vc não precisa mais que isso)
Logo, -4*2X+320 = 0
-8X - 320 = 0
X = 40
O X é o número que faltou, então o número que foi = 100 - 40 = 60.
A mão da CESPE coça em cobrar uma questão dessa na PCDF. FLWS!
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O Eredin "apelou" para o cálculo difeferencial fazendo derivação, porém, claro que muitos dos candidatos e estudantes não sabem fazer isso pois não é abordado no ensino médio, mais comum para aqueles que seguem a área de exatas.
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a questão pode se respondida de varias formas, visto que esta mau formulada!
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1° - Quanto cada pessoa vai pagar = 80 + 4(100-x); sendo "x" a quantidade de inscritos.
2° - Quanto será arrecadado = x[80+4(100-x)];
3º - Fazendo a distributiva = -4x²+480x;
4º - Agora é só achar o X do vértice = -b/2a;
=60 ingressos.
IMP.: se você fizer o Y do vértice, achará o valor arrecadado.
Bons estudos!
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PESSOAL, O SEGREDO ESTÁ NAS PALAVRAS "CADA"
Sem muito cálculo e nem fórmulas. Acompanha o raciocínio se colocando nesse evento:
a) Se 95 se inscreverem você terá que pagar R$80,00 (inscrição) + R$20,00 (R$4,00 por CADA vaga não preenchida)
b) Se 90 se inscreverem você terá que pagar R$80,00 (inscrição) + R$40,00 (R$4,00 por CADA vaga não preenchida)
c) Se 84 se inscreverem você terá que pagar R$80,00 (inscrição) + R$64,00 (R$4,00 por CADA vaga não preenchida)
d) Se 60 se inscreverem você terá que pagar R$80,00 (inscrição) + R$160,00 (R$4,00 por CADA vaga não preenchida)
e) Se 50 se inscreverem você terá que pagar R$80,00 (inscrição) + R$200,00 (R$4,00 por CADA vaga não preenchida)
Entendeu?
Aí eu pensei assim:
a) Inscrição: R$100,00 mas serão 95 pessoas pagando isso, então o lugar vai arrecadar R$9500,00
b) Inscrição: R$120,00 mas serão 90 pessoas pagando isso, então o lugar vai arrecadar R$10800,00
c) Inscrição: R$144,00 mas serão 86 pessoas pagando isso, então o lugar vai arrecadar R$12096,00
d) Inscrição: R$240,00 mas serão 60 pessoas pagando isso, então o lugar vai arrecadar R$14400,00
e) Inscrição: R$280,00 mas serão 50 pessoas pagando isso, então o lugar vai arrecadar R$14000,00
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que questao fuleiraaaaaaaaa afff kkk
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Tinha forma rápida de resolver? fiz um por um
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X=Quantidade de pessoas
Valor que cada um paga=80+4*(100-X)
Receita=X*(80+4(100-X)), pois são x inscritos vezes o que cada um paga
Em seguida, usar o YV
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Gab D Questão trabalhosa....
Os valores abaixo são os números de vagas preenchidas, logo façamos as diferenças..
100 - 95 (número de inscritos) = 5 (vagas ñ preenchidas)
100- 90 ( '' ) = 10 ( '')
100 - 84 = 16
100 - 60 = 40
100 - 50 = 50
Notem que as duas últimas apresentam o maior número de vagas ñ preenchidas,logo calcularemos estes números com os 4 reais que cada participante pagará, além dos 80 reais da inscrição.
4 (reais) x 40 = 160 (reais)
4 x 50 = 200 (reais)
--------------------------------------------------
Dos 60 inscritos, pagará 80 + 160 (dos ñ pagantes ) = 240 reais
Agora com esses valores podemos multiplicar o valor pago pelo número de inscritos.
60 (preenchidas ) x 240 (a diferença paga) = 14.400 reais ( que é a resposta)
Com 50 inscritos vai ficar assim:
200 +80 = 280 reais
280 x 50 = 14.000 reais.
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Fórmula para agilizar:
i(80+4ni)
Onde i= numero de inscritos
ni= numero de n inscritos
Dessa forma com 60 inscritos terá a maior arrecadação
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Basta montar a função que mostra o total de arredacação:
x : pessoas presentes
y : pessoas ausentes : (100 - x) : que é o número de vagas menos o número de presentes.
TOTAL ARRECADADO = 80x + 4x(100-x)
Aqui chegamos na equação de segundo grau.
Aí é só achar o X do vértice: Xv = -b/2a = 60.
(Se estiver com tempo na prova, jogue valores maiores que 60 na função encontrada e teste se ainda assim a arrecadação foi menor. FORÇA.)
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Olá pessoal,
Vejam o vídeo com a resolução dessa questão no link abaixo
https://youtu.be/1rwmERwvVec
Professor Ivan Chagas
www.gurudamatematica.com.br
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Galera, seguinte...
X = Número de inscrições
100 - X = Número de faltantes
Se não faltar ninguém:
R$ = 80X
Se faltar alguém
X(80+4(100-X)) = R$
Explicando, se faltar alguém:
Cada participante ( X) pagará ( 80 reais, mais 4 reais por pessoa que faltar.)
Resolvendo
X(80+400-4X)
80X + 400X - 4x2
-4X2 + 480X
Solução
Já que é uma parábola com índica a negativo, o maior lucro ficará no X do vértice
Xv = - b / 2a
Xv = -480/2.-4
Xv = -480/-8
Xv = 60.
Vlw.
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Valor do ingresso:
80 + 4 (100 - x)
onde x é igual ao número de ingressos vendidos
Valor arrecadado: Valor do ingresso x Número de ingressos vendidos
[ 80 + 4 (100 - x) ] x
-4x2 + 480x
Veja que temos uma função de segundo grau, de a negativo. Portanto concavidade para baixo, de forma que teremos um valor máximo.
X = - b / 2a = - 480 / 2x(-4) = 480/8 = 60
Questão um pouco trabalhosa, porém fácil. Matemática só se aprende com exercícios. Muitos não conseguiram nem montar a equação.
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Esse CADA fez com que errasse a questão!!
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deriva e iguala a 0
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x=cadeiras ocupadas
y=cadeiras vazias
x+y=100 então y=100-x
(x pessoas vão pagar 80 reais e cada uma dessas x pessoas pagarão 4 reais para cada y, ou seja, 4*x*y)
80x + 4*x*y = faturamento
80x + (100-x)*4*x = faturamento
-4x² + 480x = faturamento
vx máximo= -B/2*A
vx máximo= -480/2*(-4) = 480/8 = 60 pessoas
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Achei a redação da questão bem ruim.
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Fiz um por um e cheguei a 60(letra D).O problema é o tempo.
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Essa ia pro chute magico do Pele
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Pelo amor de Deus, QC!
Contratem o Ivan Chagas!!!
https://youtu.be/1rwmERwvVec
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Galera eu fiz assim:
Sou um cara que não me dou bem com fórmulas, então tento resolver sem!
Se liga:
Eu peguei 3 opções
Letras
A)95 pessoas ( 95*80 Reais 7.600 + (20 Reais das 5 pessoas que não foram * de novo 95 = 1.900)
Ai tu pega e soma: 7.600 + 1900 = 9500.
D)60 pessoas (60*80= 4.800 + ( 4 reais * 40 pessoas = 160* as 60 pessoas de novo= 9.600)
Ai tu pega e soma essa bagaça 4.800 + 9600 = 14.400
E)50 pessoas (50*80=4.000 + ( 4 reais * 50 pessoas = 200 as 50 pessoas de novo = 10.000)
Ai tu pega e soma essa desgraça 4.000 + 10.000 = 14.000
Resposta letra D
-
GABARITO: LETRA D
100 vagas
80 reais cada vaga + 4 reais de CADA vaga NÃO preenchida
Na alternativa A faltou 5 pessoas e foram 95.
Então seria:
4x5= 20 (5 lugares não preenchidos aumenta a cada participante 20 reais)
95*100
(O 100 está aí acrescido da soma 80+20 de cada faltante)
(20 reais a mais pelos 5 faltantes) totalizando 9.500 reais.
Na alternativa B faltou 10 pessoas e foram 90.
Então seria:
4x10= 40 (10 lugares não preenchidos aumenta a cada participante 40 reais)
90*120
(O 120 está aí acrescido da soma 80+40 de cada faltante)
(40 reais a mais pelos 10 faltantes) totalizando 10.800 reais.
Na alternativa C faltou 16 pessoas e foram 84.
Então seria:
4x16= 64 (16 lugares não preenchidos aumenta a cada participante 64 reais)
84*144
(O 144 está aí acrescido da soma 80+64 de cada faltante)
(64 reais a mais pelos 16 faltantes) totalizando 12.096 reais.
Na alternativa D faltou 40 pessoas e foram 60.
Então seria:
4x40= 160 (40 lugares não preenchidos aumenta a cada participante 160 reais)
60*240
(O 240 está aí acrescido da soma 80+160 de cada faltante)
(240 reais a mais pelos 16 faltantes) totalizando 14.400 reais.
Na alternativa E faltou 50 pessoas e foram 50.
Então seria:
4x50= 200 (50 lugares não preenchidos aumenta a cada participante 200 reais)
50*280
(O 280 está aí acrescido da soma 200+80 de cada faltante)
(200 reais a mais pelos 50 faltantes) totalizando 14.000 reais.
Sendo assim a maior arrecadação na alternativa D.
-
Y = ARRECADAÇÃO TOTAL
X = QUANTIDADE DE INSCRIÇÕES
Y = [80+4(100-X)]X
RESOLVENDO:
Y = -4X+480X
X MÁXIMO = -480/2*(-4)
= 60 INSCRIÇÕES
GABARITO: d)
-
a) (95*80)+(95*5*4) = 7600+1900=9500
b) (90 x 80)+(90*10*4) = 7200+3600=10800
c) (84 x 80)+(84*16*4) = 6720+5376 = 12096
d) (60 x 80)+(60*40*4) = 4800+9600=14400
e) (50 x 80)+(50*50*4) = 4000+10000=14000
Gabarito: letra d)
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CESPE está te dando algo na bandeija? ah meu parceiro vai atrás do pelo do ovo que tem sim.
-
CORRETA
(antes de tudo, pessoa = vaga, tá)
1° São 100 vagas no total;
2° A questão fala que cada vaga foi paga por $80 por cada pessoas, logo vc pensa: 100. 80, só que também fala que as vagas não foram preenchidas totalmente, ou seja, não sabemos quantas vagas foram ocupadas, logo: 80 reais por x vagas ocupadas:
80.x
3° Fala também que as vagas desocupadas foram pagas por 4 reais por pessoa que ocuparam as vagas, então será 100 vagas - x vagas desocupadas por 4 reais por x pessoa que ocuparam a vaga:
(100-x).4. x
logo, 4x(100-x) = 400x - 4x²
4° Daí monta a função
f(x)=80x + 400x - 4x²
-4x² + 400x + 80x
-4x² + 480x.
5° A maior arrecadação foi Xv=-b/2a
(Lembrar que f(x)=ax²+bx+c)
-480/2.-4>>>480/8=60.
-
-
Arrecadação=(80 R$+4*locais vagos)numero de inscritos A(x)=(80+4(100-x))x, onde x representa o numero de inscritos , cabe destacar que a expressão 100-x é o numero de locais vagos, visto que 100 é a maior capacidade. Aplicando a distributiva, temos: A(x)=80x+400x-4x^2 a maior arrecadação se dará no vértice da parábola, cuja coordenada horizontal é dada por x=-b/2a x=-400/(2*(-4)) x=400/8 assim x=60.
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Outra forma de visualizar a questão é analisando como uma pessoa só pagaria:
R$80 + R$4*(100-x) [x-> número de pessoas que irão]
Feito isso, é só multiplicar a equação toda por "x'', que trará a função:
f(x) = x. [80+400-4x]
= -4x²+480 (observem que é uma parábola de concavidade invertida, tal que a<0, portanto a derivada = 0
nos dará o ponto máximo do gráfico dessa função)
df(x)/dx = -8x + 480 = 0 (igualando a 0)
-8x = - 480
x = 60
Logo, GAB D (60)
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Agora eu entendi
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https://youtu.be/bYcSGA7Wa2I
Tempo (29:45)
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Oi pessoal! Tudo bem com vocês!?
Quem puder dar uma força se inscrevendo no meu canal, ativando o sininho e indicando para os amigos, o link está abaixo. No mesmo, consta a resolução dessa questão da CESPE 2019.
https://www.youtube.com/watch?v=RT1J3f-Kl2E&feature=youtu.be
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f(x) = 80x + 4x * (100 - x)
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Essa questão está mal formulada, pois da margem a 2 interpretações....O mais viável seria : No ato da inscrição , cada participante pagou 80 reais e se comprometeu a pagar mais 4 reais por cada vaga, que não fosse preenchida no dia do seminário
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GAB D (60)
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F(x) = 80x + x[4(100-x)]
F(x) = -4x^2 + 480x
Só fazer Xv= -b/2a = 60
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Achei complicada a interpretação... mas vamos lá para a montagem da equação:
f(x) = 80.x + x. [4.(100-x)]
f(x) = 80.x + x. (400-4.x)
f(x) = 80.x + 400.x - 4x²
f(x) = -4.x² + 480 x
Como o a é negativo, o maior valor dessa equação vai ser o famoso x do vértice, ou valor MÁXIMO da parábola (cuidado, o CESPE gosta de confundir mínimo e máximo, não é a mesma coisa).
Dessa forma, vamos jogar na fórmula:
Xv = -b/2.a
Xv = -480/-8
Xv (máximo) = 60
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A calma desse professor pra explicar a questão é incomparável, parece que ele te pega na mão pra resolver.
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quantidade de pessoas => x
x*80 + (100 - x )*4*x
80x + 400x - 4x^2
No ponto de máxima derivada é zero
80 + 400 - 8x = 0
x = 60
-
quantidade de pessoas => x
x*80 + (100 - x )*4*x
80x + 400x - 4x^2
No ponto de máxima derivada é zero
80 + 400 - 8x = 0
x = 60
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o que não entendo muito bem é porque não pode ser o Y do vertice a ser calculado...
Sempre tenho duvida qual devo calcular o Xv ou Yv. ;/
Se alguem poder me ajudar.....
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https://youtu.be/1rwmERwvVec
Melhor explicação
Prof Ivan Chagas
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Olá pessoal,
Vejam o vídeo com a resolução dessa questão no link abaixo
https://youtu.be/7QgQ75Z-nSI
Professor Ivan Chagas
www.youtube.com/professorivanchagas
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o jeito mais ""fácil"" de resolver é montar uma função. montada a função, verá que é f(x) do 2º grau com parábola voltada pra baixo, onde o Yv corresponde ao montante maximo arrecadado e o xv corresponde ao numero de pessoas que geram o montante maximo arrecadado ( da 60 pessoas)
se quiser a resolução o eredin ja colocou
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Gabarito: D
80.x + x (4 [ 100 - x] )
80x + x ( 400 - 4x)
80x + 400x - 4x² = 0
Como a questão quer o valor máximo DO NÚMERO DE INSCRITOS (x), para que se chegue ao valor máximo da arrecadação, então será calculado o valor do xv = - b /2a = 60 .
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Fiz da seguinte forma eliminando as respostas
Letra A
95 - 100 = 5
5 x 4 = 20
20 + 80 = 100 x 95 = 9500
Total arrecadado 9.500
Letra B
90 - 100 = 10
10 x 4 = 40
40 + 80 = 120
120 x 90 = 10800
Total arrecadado 10.800
Letra C
84 - 100 = 16
16 x 4 = 64
64 + 80 = 144
84 x 144 = 12096
Total arrecadado 12.096
Letra D Gabarito
60 - 100 = 40
40 x 4 = 160
80 + 160 = 240
60 x 240 = 14400
Total arrecadado 14.400
Letra E
50 - 100 = 50
50 x 4 = 200
200 + 80 = 280
280 x 50 = 14.000
Total arrecadado 14.000
RESPOSTA GABARITO LETRA D
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Falou em maximizar, já penso nos pontos críticos q a derivada de uma função retorna: o problema foi definir a função
Vamos achar o padrão!
Então:
n° participantes ----------------- Arrecadação
100 ---------------------------------- 80*100 + 0*4
99 ----------------------------------- 80*99 + 99*4 (já q cada pessoa vai pagar 4 conto por cadeira vazia)
98 ----------------------------------- 80*98 + 98*8 (aqui, cada pessoa vai pagar 8 reais a mais, já q há duas cadeiras vazias)
97 ----------------------------------- 80*97 + 97*12 (3 cadeiras vazias, cada um pagará 3*4 reais a mais)
Bom, bora prestar atenção
A primeira parcela dos termos da arrecadação, são sempre iguais ao produto entre o valor do ingresso vezes o número de participantes (80*100; 80*99 etc). Guarde essa informação.
A mais chatinha é o termo múltiplo de 4. Nele, vc terá q perceber q - e, consequentemente, transformar em um número ou expressão a ideia q ele passa - que 4, 8, 12 são componentes formados por 4*1, 4*2, 4*3, respectivamente.
Ora, não é coincidência, já q cada pessoa paga 4 reais por cadeira vazia. Por cadeira vazia. E como expressamos, em termo matemáticas, "cada cadeira vazia"? Na língua portuguesa, é óbvio: as cadeiras vazias são aquelas q não estão ocupadas. Matematicamente: cadeiras vazias = total de assentos - n° de participantes
Veja, por exemplo, cadeiras vazias para 99 participantes = 100 - 99 = 1
Para 98 = 100 - 98 = 2
Sacou?! Percebeu q, então, a parcela q envolve múltiplos de 4 fica: n*(total de assentos - n° participantes)*4
Logo, a equação, a função q define a arrecadação total, levando em conta os assentos ocupados e os desocupados, f(x), é f(n) = 80*n + 4n*(100 - n)
Fazendo as contas, f(n) = - 4n² + 480n
Pra quem não nunca viu cálculo diferencial, veja nos comentários dos colegas como q se acha os pontos críticos de uma função (eu já não me lembro mais como se faz dessa forma)
Pra quem já viu, derive a função, iguale a zero, e vc achará o valor de n q representa o ponto crítico da função, q nesse caso é um ponto de máximo.
derivada de f(n) = -8n + 480
Igualando a zero: -8n + 480 = 0
Achando n: n = 60
Gabarito: D
Se quiser achar quanto q foi essa arrecadação, que é a arrecadação máxima, substitua n= 60 em f(n)
f(60) = - 4*(60)² + 480*(60) = - 14400 + 28800 = 14400 reais
Parece trabalhoso, mas foi pq eu fiz muito detalhado e enchi de explicação: tentei ser o mais claro possível.
Espero ter ajudado
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Gente, me assustei com tanto texto assim
Eu fiz :
80$ + 4$ (100-x)x
80 + 400- 4x2
480-4x2 = 0
480-0 = 8x
X= 480/8
X =60
-
Veja a solução neste vídeo:
https://cos.tv/videos/play/27530202934185984
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Questão show! Alternativa "D"