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Admitindo:
Capital = C = R$ 500.000,00
Montante = M.
Tempo de aplicação = t = 2 anos = 24 meses = 12 bimestres = 4 semestres = 1 biênio.
Não foi dito o regime usado (Simples ou Composto) mas note que, no enunciado são expostos DADOS com valores em exponencial, isso é característico de Juros Compostos, note a seguir a fórmula:
A fórmula dos Juros Compostos:
Montante = Capital + Juros
Juros = Capital[(1 +Taxa)^Tempo - 1]
Juros = C[(1+ i)^t - 1]
Sendo i = taxa de aplicação.
Então:
M = C + J
M = C + C[(1+i)^t -1]
M = C - C + C(1+i)^t
M = C(1+i)^t
Como em todos os investimentos o tempo de aplicação(t) e o Capital(C) é o mesmo, temos que identificar apenas a taxa(i) na qual teremos o maior Montante final(M).
Note que o tempo nos foi dado em anos (2 anos) e as taxas estão em várias unidades de tempo, aí é que devemos tomar cuidado, acompanhe a resolução abaixo:
Investimento 1:
A taxa é 3% ao MÊS, como aplicaremos por 2 ANOS, basta convertermos os ANOS em MESES (2 anos = 24 meses).
Então nosso montante será:
M(1) = C(1,03)^24
M(1) = C(1,03^12)^2
Nos foi dado o valor de 1,03^12 = 1,43, basta elevá-lo ao quadrado:
M(1) = 2,0449C
Investimento 2:
A taxa é 6% ao MÊS, como aplicaremos por 2 ANOS, basta convertermos os ANOS em BIMESTRES (2 anos = 12 bimestres).
Então nosso montante será:
M(2) = C(1,06)^12
Nos foi dado o valor de 1,06^12 = 2,01:
M(2) = 2,01C.
Investimento 3:
A taxa é 19% ao SEMESTRE, como aplicaremos por 2 ANOS, basta convertermos os ANOS em SEMESTRES (2 anos = 4 semestres).
Então nosso montante será:
M(3) = C(1,19)^4
M(3) = C(1,19^2)^2
Nos foi dado o valor de 1,19^2 = 1,42, basta elevá-lo ao quadrado:
M(3) = 2,0164C
Investimento 4:
A taxa é 40% ao ANO, nossa tempo já está em anos
Então nosso montante será:
M(4) = C(1,4)^2
M(4) = 1,96C
Investimento 5:
A taxa é 90% ao BIÊNIO, nossa taxa é exatamente UM BIÊNIO
M(5) = C(1,9)^1
M(5) = 1,9C.
Agora analisando:
M(1) = 2,0449C
M(2) = 2,01C
M(3) = 2,0164C
M(4) = 1,96C
M(5) = 1,90C
O maior fator que multiplica C será o que gerará o maior montante ao final de dois anos logo, o maior montante será no investimento 1.
ALTERNATIVA A.
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investimento 1
3% mes .... JC.... 2 anos (1,03 ^24) ..... 1,43 x 1,43 = 2,0449
500 000 x 2,0449 = 1.022.450
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Questão de taxa equivalente, é preciso saber apenas qual das taxas remunerará mais que as outras. Pode-se ignorar os 500.000:
Equações Taxa Equivalente: (1 + i)^12 a.mês = (1+i)^6 a.bim = (1+i)^2 a.sem = (1+i) a.ano e (1+i) a.biê = (1+i)^2 a.ano
1) (1,03)^12 a.mês = (1+i) a.ano ..... i a.ano = 1,43 - 1 = 43% a.a.
Obs: Já deve-se saber que uma taxa efetiva de 3% ao mês equivale mais que as taxas proporcionais de: 6% ao bimestre, 18% ao semestre, 36% ao ano e 72% ao biênio.
2) Portanto, a opção 2 já é descartada. Mas, fazendo os cálculos apenas como prova:
(1,06)^6 a.bim = (1+i) a.ano...elevando ambos ao quadrado ...(1,06)^12 a.bim = (1+i)^2 a.a = 2,01... i = (raiz de 2,01) - 1 = 0,417 = 41,7% a.a.
retorno menor que na 1.
3) Nesta, se esta fosse 18% ao semestre, já eliminaríamos, mas como é 19%, é preciso calcular:
(1,19)^2 a.bim = (1+i) a.ano ... i a.ano = 1,42 - 1 = 42% a.a. .... retorno menor que na 1.
4) Idem, se fosse 36% a.a. já seria menor que a 1, mas de qualquer forma é 40% a.a., retorno menor que na 1 também.
5) Como o retorno da 1 já é maior que na 2, 3 e 4, nesta 5 comparamos direto o biênio:
Retorno ao biênio da 1: (1+i) a.biê = (1+i)^2 a.ano .... i = (1,43)^2 = 2,0449 - 1 = 1,0449 = 104,5% a.biê ...portanto, a 5 com retorno de 90% a.biê, é menor que na 1 também.
Gabarito letra A
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Antes de fazer qualquer conta já dá pra eliminar as opções 3, 4 e 5, daí é só calcular o Investimento 1 e comparar com o Investimento 2:
Investimento 1: 1,03 ^24 = 1,43 x 1,43
Investimento 2: (1,06)^12 = 2,01
Investimento 3: 1,19^4 = 1,42 x 1,42 (aqui já vemos que vai dar um valor menor que o Investimento 1)
Investimento 4: 1,4^2 = 1,4 x 1,4 (também menor que os Investimentos 1 e 3)
Investimento 5: 1,9^1 = 1,9 (menor que o Investimento 2)
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Errei a questão e, só depois de reler várias vezes, consegui entender.
A chave da questão está na pergunta. Ele quer a maior taxa em 2 anos, ou seja, ao biênio.
Como a capitalização é ao biênio, conclui-se que as taxas apresentadas são nominais, sendo a única efetiva a que foi apresentada no número 5, pois já está ao biênio.
Logo, temos as seguintes taxas efetivas e ao biênio:
Investimento 1 – taxa de 104,49% a.b.
Investimento 2 – taxa de 101% a.b.
Investimento 3 – taxa de 19% 101,64% a.b.
Investimento 4 – taxa de 96% a.b.
Investimento 5 – taxa de 90% a.b.
Gabarito letra A