Questão 520249

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Transpetro
• Ano: 2011
• Provas: CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Técnico Ambiental Júnior; CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Técnico de Administração e Controle Júnior; CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Técnico de Contabilidade; CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Técnico de enfermagem do trabalho; CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Técnico de Inspeção de Equipamentos e Instalações Júnior; CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Técnico de Manutenção Júnior - Automação; CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Técnico de Manutenção Júnior - Elétrica; CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Técnico de Manutenção Júnior - Instrumentação; CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Técnico de Manutenção Júnior - Mecânica; CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Técnico de Operação Júnior; CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Técnico de Segurança; CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Técnico Químico
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Equações Polinomiais; Função de 2º Grau ou Função Quadrática e Inequações; Funções

As raízes da equação 2x² - 4x + 15 = 0 são números complexos que, representados no Plano de Argand-Gauss, localizam-se nos quadrantes

• A. 1^o e 2^o
• B. 1^o e 3^o
• C. 1^o e 4^o
• D. 2^o e 3^o
• E. 2^o e 4^o

Gabarito: C

Comentários

• 2x² - 4x + 15 = 0
  
  ? = (- 4)² - 4(2)(15)
  ? = 16 - 120
  ? = - 104
  
  x = (4 ± √- 104)/4
  x' = (4 + 104i)/4
  x' = 4(1 + 26i)/4
  x' = 1 + 26i
  x" = 1 - 26i
  
  x' = 1 + 26i ==> O valor da parte real (localizado no eixo x) é positivo então está ou no 1º ou no 4º quadrante. Como o valor da parte imaginária (localizado no eixo y) também é positivo está no 1º quadrante.
  
  x" = 1 - 26i ==> Como o valor da parte real (eixo x) é positivo e a parte imaginária (eixo y) é negativa, então está no 4º quadrante.
  
  Representando no plano você observa isso.
• 2x² - 4x +15 = 0
  
  Calculando o Δ = b² - 4ac
                            Δ = 16 - 4 x 2 x 15
                           Δ = 16 - 120
                           Δ = - 104
  
  Calculando o x = - b +- raiz quadrada de Δ/ 2a
  aproximando a raiz quadrada de 104 a 100 e considerando que i² = -1 ,  a equação fica:
  
  x = 4 +- 10i/4
  x = 2 +- 5i/2
  
  raízes: 2 + 2.5i e 2 - 2.5i          plano : x=2 e y = 2.5  ;       x=2 e y = -2.5
  
  
  
  
   considerando o plano, a resposta é a letra c.
  
  
• Representaçao 
  
  1+26i
  1-26i
  Link de como fica no plano
  
  http://s3.amazonaws.com/data.tumblr.com/tumblr_lzqutu7BuC1r86v6no1_1280.png?AWSAccessKeyId=AKIAJ6IHWSU3BX3X7X3Q&Expires=1329915986&Signature=BG4MAZZDNAu6qVuUNsfXkG906KY%3D
• Esta questão envolve o estudo dos números complexos e ciclo trigonométrico
  
  Verificando a Equação temos 2x² - 4x + 15 = 0
  
  a = 2
  b = -4
  c = 15
  
  Δ = b² - 4.a.c
  Δ = (-4)² - 4(2)(15)
  Δ = 16 - 120
  Δ = -104
  
  x = - b ± √ Δ/2.a
  
  x' = -(-4) + √-104/2.2
  x' = 4+√-104/4
  x' = 1 + 26i
  
  x" = 1 - 26i
  
  Entrado no conceito de números complexo considere: z = a + bi
  onde a e b são os números reais e o i é o número imaginário.
  No plano cartesiano, a correponde ao eixo x e b ao y.
  
  Logo x' = 1+26i, como a(x) e b(y) são positivos, está no primeiro quadrante.
  e x" = 1-26i. como a(x) é positivo e b(y) é negativo, o ponto está no quarto quadrante
  
  Exemplificando no ciclo trigonométrico, segue o link do comentário anterior
  
  http://s3.amazonaws.com/data.tumblr.com/tumblr_lzqutu7BuC1r86v6no1_1280.png
  
  Sobre a teoria dos quadrantes no plano cartesiano, acesse: http://www.brasilescola.com/matematica/identificando-os-quadrantes-ciclo-trigonometrico.htm
  
  Sobre a teoria dos números complexos (i), acesse: http://www.santadoroteia-rs.com.br/pdf/complexos.pdf
  
  
  
  
• 2x² + 4x + 15
  
  delta= b² - 4ac = 4² - 4*2*15 = 16 - 120 = -104
  √delta = +- 10 (considerando 10)
  
  i² = -1
  
  x = (-b +- √delta)/2a = (-4+- 10)/2*2
  
  x' = (4 + 10i) / 4 
  1 + 2,5i então x = 1 ; y = 2,5
  
  x'' = (4 -10i) / 4
  1-2,5i então x = 1 ; y = -2,5
  
  No gráfico
  
  x' ficará no 1o. quadrante
  x'' no 4o. quadrante