Calculando os pontos de inflexão através da derivada da função nos pontos onde y = 0
f'(x) = 3x^2 - 3
3x^2 - 3 = 0
x^2 = 1
X = +1 ou X = -1.
Para verificar se o ponto é um ponto de maximo ou de minimos deve-se escolher um ponto qualquer anterior e um posterior ao ponto de inflexão, por exemplo: -2, 2
Em (-2)
f'(x) = 3(-2)^2 - 3,
f'(x) = 9, positivo, portanto a curva é crescente antes do ponto (-1), e portanto decrescente após este (você pode testar substituindo um 0 e confirmando que será decrescente, f'(0) = -3. Tratando-se de um ponto de máximo. Para melhor explicar, imagine que os numeros estão crescendo, depois estabilizam e começam a diminuir. Necessáriamente passaram por um ponto máximo antes de começarem a diminuir, por isso é um ponto de máximo.
Em (2)
f'(x) = 3(2)^2 - 3,
f'(x) = 9 positivo, portanto a curva é crescente depois do ponto (2), e portanto decrescente antes deste. Tratando-se de um ponto de mínimo.
Assim, em x= -1 temos o máximo local, em x = +1 temos o mínimo local.