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M=Cx(1+i)ⁿ
M=montante C=capital i=taxa ⁿ=períodos
Dados da questão: C=2000; i=10% ou 0,01; n= 6 meses; (1,01)⁶=1,0615
M=2000x(1+0,01)⁶ ; M= 2000x1,0615 ; M= 2.123.
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Aqui dá para usar somente a lógica, sem necessidade de fazer muita conta.
O enunciado quer saber quanto que Carla irá retirar após o sexto e último saque, esgotando o saldo. Essa quantia é justamente a quantia do primeiro depósito mais os rendimentos desse primeiro depósito após 6 meses, já que os saques serão iguais.
Assim, com os dados apresentados:
C = 2000
i = 1% a.m.
t = 6 meses.
M = C (1 + i)^t => M = 2000 (1 + 0,01)^6 => M = 2000 x 1,0615 => M = 2123.
B
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A priori tentei resolver o exercício usando "capitalização de juros compostos" (uma fórmula relativamente complexa). Quando vi as respostas do "Gabriel Caroccia" e da "Juliana Alves", pensei: "Pôxa, o pessoal está 'viajando'. Não é só utilizar juros compostos." Bom, na verdade, quem estava 'viajando' era eu, e é só utilizar juros compostos, sim. Cada depósito rende a mesma coisa porque fica na conta pelo mesmo tempo. Para ilustrar, segue abaixo o timeline da conta (depósitos, rendimentos e saques), mês a mês.
Primeiro Primeiro
Depósito Saque
2000,00 2020,00 2040,20 2060,60 2081,21 2102,02 2123,04
2000,00 2020,00 2040,20 2060,60 2081,21 2102,02 2123,04
2000,00 2020,00 2040,20 2060,60 2081,21 2102,02 2123,04
2000,00 2020,00 2040,20 2060,60 2081,21 2102,02 2123,04
2000,00 2020,00 2040,20 2060,60 2081,21 2102,02 2123,04
2000,00 2020,00 2040,20 2060,60 2081,21 2102,02 2123,04
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"Gabriel Caroccia" e "Osmar Ramon" muito obrigado! Passei longe deste raciocício e errei no meio do monte de cálculos que fiz. Rsrs. Graças a esses comentários que esse site vale a pena!
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2.000 x 1,0615 = 2.123
*Geralmente a CESPE sempre faz isso. Você quebra a cabeça mas a resposta é so um calculo desse tipo
Gabarito: Letra B
"..Quero ver, outra vez, seus olhinhos de noite serena.."
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Valeu galera, nunca tinha pensado dessa forma. Tentei capitalização, depois usei a fórmula do fator de acumlação, mas devemos prestar atenção nas informações que a banca dá na questão. É a partir dela que origina o raciocínio.
Bons estudos
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2000*S6¬1% = P*a6¬1%
Desenvolvendo as fómulas acima:
2000*(1+0,01)^6-1/0,01 = P*[(1+0,01)^6-1/(1+,01)^6*0,01]
2000*(1,0615-1)/0,01 = P*[1,0615-1/1,0615*0,01]
2000*615/100 = P*61500/10615
P = 20*615*10615/61500
P = 2*10615/100
P = 2123
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ONDE A QUESTÃO DEIXA CLARO QUE O VALOR DOS 6 DEPÓSITOS CONTINUARÁ RENDENDO DURANTE A VIAGEM?
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Dados da questão
Prestação (PMT) = R$ 2.000,00
Taxa de juros (i) = 1% a.m = 0,01
Prazo (n) = 6 meses
Valor Futuro (VF) = ?
Primeiramente, calcularemos o valor futuro das prestações depositadas, assim:
FV = PMT * [(1+i)^n – 1]/i
FV = 2.000 * [(1+0,01)^6 – 1]/0,01
FV = 2.000 * [(1+0,01)^6 – 1]/0,01
FV = 2.000 * [1,0615 -1]/0,01
FV = 2.000 * 0,0615/0,01
FV = 2.000 * 6,15
FV = 12.300
Após obtermos o valor futuro das prestações depositadas, precisamos encontrar o valor das retiradas, lembrando que elas incidem juros. O valor futuro encontrado nos depósitos se transforma em valor presente das retiradas, as demais condições permanecem inalteradas, logo:
Valor presente (PV) = R$ 12.300,00
Prestação1 (PMT1)= ?
Retiradas (n) = 6
Taxa de juros (i) = 1% = 0,01
PV = PMT1 * [(1+i)^n -1]/[(1+i)^n*i]
PV = PMT1 * [(1+0,01)^6 -1]/[(1+0,01)^6*0,01]
PV = PMT1 * [(1,01)^6 -1]/{[(1,01)^6]*0,01]}
PV = PMT1 * [1,0615 -1]/{ 1,0615 * 0,01}
PV = PMT1* 0,0615/{ 1,0615 * 0,01}
12.300= PMT1*5,793688
PMT = 12.300/5,793688
PMT = R$2.123,00
Gabarito: Letra “B".
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Gente, nessa questão tem de ter noção de Rendas Certas e depois Price.
Note que a pessoa faz 6 aplicações e terá um montate - Rendas Certas (https://pt.wikipedia.org/wiki/Juro#Rendas_certas).
Depois irá gastar essa renda em parcelas iguais - Price (https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_Price).
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Matheus Williams, na questão diz que Carla pretende fazer saques mensais, logo o dinheiro nao sacado vai continuar rendendo na poupança
Vamos a resolução simples e pratica
O valor depositado (dep) deve ser igual ao valor sacada (saque) na mesma data de comparaçao. Ou seja, se a gente levar tudo para o mes 12 e comparar os valores eles tem que ser iguais dep(12) = saque(12)
Carla depositou 2000 por mes durante 6 meses. qual valor que ela tera na poupança (P) quando terminar os depositos?
dep 1 - 2000
dep 2 = 2000 x 1,01 + 2000
dep 3 = 2000 x 1,01^2 + 2000 x 1,01 + 2000
dep 4 = 2000 x 1,01^3 + 2000 x 1,01^2 + 2000 x 1,01^1 + 2000
dep 5 = 2000 x 1,01^4 + 2000 x 1,01^3 + 2000 x 1,01^2 + 2000 x 1,01^1 + 2000
dep 6 = 2000 x 1,01^5 + 2000 x 1,01^4 + 2000 x 1,01^3 + 2000 x 1,01^2 + 2000 x 1,01^1 + 2000
dep 6 =2000 (1,01^5 + 1,01^4 + x 1,01^3+ 1,01^2 + 1,01 + 1)
levar para o mes 12 é como se o montante acumulado até o mes 6 sofresse rendimentos durante os 6 meses seguintes, sem movimentaçao.
Logo dep (12) = dep(6) x 1,01^6
dep(12) = 2000 (1,01^5 + 1,01^4 + x 1,01^3+ 1,01^2 + 1,01 + 1) x 1,01^6
Guarde essa expressão... nao calcule nada ainda
qual valor total sacado quando ela terminar de sacar... la no mes 12
chamando cada saque mensal de s, temos
Saque(7) = s
Saque(8) = s x 1,01 + s
Saque(9) = s x 1,01^2 + s x 1,01 + s
Saque(10) = s x 1,01^3 + s x 1,01^2 + s x 1,01 + s
Saque(11) = s x 1,01^4 + s x 1,01^3 + s x 1,01^2 + s x 1,01 + s
Saque(12) = s x 1,01^5 + s x 1,01^4 + s x 1,01^3 + s x 1,01^2 + s x 1,01 + s
Saque(12) = s (1,01^5 + 1,01^4 + x 1,01^3+ 1,01^2 + 1,01 + 1)
agora posso fazer dep(12) = Saque (12)
2000 (1,01^5 + 1,01^4 + x 1,01^3+ 1,01^2 + 1,01 + 1) x 1,01^6 = s (1,01^5 + 1,01^4 + x 1,01^3+ 1,01^2 + 1,01 + 1)
cancelemos o que está entre parenteses e fica
s = 2000 x 1,01^6 = 2000 x 1,065 --> s = 2123
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Resolvendo essa questão me veio uma dúvida:
Quando usar o "Fator de valor atual de uma série de pagamentos iguais" (An¬j), o FRC e o "Fator de acumulação de capital de uma série da pagamentos iguais"(Sn¬j) em uma questão. Em especial os dois últimos. Alguém sabe responder?
Obrigada!
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Acertei mas fiz uma caralhada de conta, e era só fazer 2000*1,0615. Ainda assim não entendi o raciocínio.
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1ª Parte) As aplicações na conta formam um Montante (Valor Futuro) de Rendas Certas.
Montante = R_aplicação* [(1+i)^n -1] / i
2ª Parte) Como ele espera um mês para o primeiro resgate, a segunda parte do problema é de Valor Atual de Rendas Certas sem entrada, onde temos o valor atual (Montante da 1ª Parte) e deseja-se obter a renda (R_resgates).
Atual = R_resgates * a6¬1%
Atual = R_resgates * [(1+i)^n -1] / [ i * (1+i)^n]
Acredito que o segredo da questão era segurar o entusiasmo e não desenvolver os cálculos já de cara.
Valor Atual da parte 2 é = Montante da parte 1.
Observe os termos em destaque, ele é o mesmo termo multiplicador em ambos os lados da equação, portanto se cancelam.
R_aplicação* [(1+i)^n -1] / i = R_resgates * [(1+i)^n -1] / [ i * (1+i)^n]
R_aplicação = R_resgates / (1+i)^n
Chegando no que os colegas já descreveram como sendo o cálculo para resposta:
R_aplicação * (1+i)^n = R_resgates
R_resgates = 2000*(1,0615)
R_resgates = 2123,
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Não vejo sentido no raciocínio do Gabriel e da Juliana. As parcelas que vão ser retiradas são iguais. Por isso não faz sentido. Quem, ao meu olhar, fez o calculo certo foi a daniela.
Ela pegou o valor de 2000 e fez o calculo da renda certa com 1% de juros em 6 meses (rendas certas do deposito). Pegou esse valor e igualou a outra renda certa para achar a parcela fixa que era retirada (rendas certas dos saques).
Ficou
2000 x (0,0615/0,01) = P x (0,061500/0,010615)
Fazendo esse calculo da um P=2123
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http://www.sketchtoy.com/68979561
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Como são 6 depósitos e são 6 saques, é só imaginar que cada depósito será retirado 6 meses depois que foi feito(facilitando muito a conta).
Assim temos:
2000 x 1,0615 = 2.123 R$
Espero ter ajudado.
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Formula do valor Futuro
M futuro = parcela x 1- Fator / juros
M =2000x 0,0615/0,01 = 12300
Resgates
M futuro = parcela x 1- Fator / juros x fator
12300 = P x 0,065 / 0,01 x 1,065
= 2123
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Igualei as duas equações usando as fórmulas de VF e VP de rendas certas, pois estas se aplicam nas situações de depósito e saque, respectivamente; depois, cortei os termos para facilitar:
2000,00x [0,0615/ 0,01] = PMTx [0,0615/1,0615x 0,01]
2000,00 = PMT x [1/ 1,0615]
2000,00 x 1,0615 = PMT
2123,00 = PMT
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Fiquei com a seguinte dúvida, calculando pelo método "demorado":
Após o último depósito, passou mais um mês até o primeiro saque.
Então o Valor Nominal dos depósitos, calculado em t=6 usando o fator de acumulação Sn¬i, não teria que ser capitalizado por mais um mês?
Creio que sim, pois o Sn¬i calcula o Valor Nominal considerando que a última prestação (depósito) não sofrerá incidência de juros.
Entretanto, o dinheiro ficará parado mais um mês na conta até o primeiro saque ser realizado.
Capitalizando o valor parado na conta, teríamos um valor de R$ 12.423 em t=7, o que possibilitaria 6 saques mensais de R$ 2.144,23..
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Também creio que seja isso Evelyn Maciel. A questão diz "A viagem ocorrerá no mês seguinte ao último depósito, ocasião em que fará o primeiro saque" ou seja, o montante de 12300 capitalizou por mais 1 mês à taxa de 1%.