(A) A exposição que o pesquisador se referiu foi prorrogada por mais um mês.
O verbo “referir” rege a proposição “a”, por isso o pronome relativo “que” deve vir juntamente com essa preposição: “a que”.
Correção: A exposição a que o pesquisador se referiu...
(B) Mora em Recife o pesquisador que os postais estão sendo expostos.
O pronome relativo “que” refere-se a um termo anterior. No caso da frase da alternativa (B), o pronome “que” refere-se ao termo “pesquisador”.
Veja que, substituindo o “que” pelo seu referente, a frase fica sem sentido: O pesquisador os postais estão sendo expostos.
Quando há essa relação de posse, o pronome relativo que deve ser usado é “cujo”.
Correção: Mora em Recife o pesquisador cujos postais estais sendo expostos.
(C) Os estúdios em que eram elaborados os postais ficavam na Europa.
Os postais eram elaborados nos estúdios. Veja que há, em relação aos termos “eram elaborados” e “os estúdios”, a preposição “em”.
Essa preposição deve aparecer antes do pronome relativo “que”: em que eram elaborados...
(D) Foi impressionante o sucesso cuja exposição de cartões-postais alcançou.
O pronome relativo “cujo”, conforme falamos na alternativa (B), deve ser usado quando há um relação de posse.
Na frase da alternativa (D), não há essa relação. Veja que fica incoerente dizer que a exposição do sucesso alcançou.
Correção: Foi impressionante o sucesso que a exposição de cartões-postais alcançou.
(E) O assunto que o pesquisador se interessou traz uma marca de romantismo.
O verbo “interessar” rege a preposição “por”. Essa preposição deve vir juntamente ao pronome relativo.
O mesmo ocorre com a preposição “a” na alternativa (A) e o “em” na alternativa (C).
Correção: O assunto pelo qual o pesquisador se interessou traz...