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Prova Aeronáutica - 2018 - AFA - Aspirante da Aeronáutica (Infantaria)


ID
2736385
Banca
Aeronáutica
Órgão
AFA
Ano
2018
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Em uma turma de 5 alunos, as notas de um teste de matemática são números inteiros tais que a média aritmética e a mediana são iguais a 5, e nenhum aluno errou todas as questões.


Sabendo que esse conjunto de notas é unimodal, com moda igual a 8, então a diferença entre a maior nota e a menor nota é um número que é divisor de 

Alternativas
Comentários
  • Alternativa A



  • 1 2 3 4 5

    y, x, 5, ----- , -------

    Como é unimodal e a moda é 8, os dois próximos números após o 5 só podem ser oito

    M = S/5 ----> 5 = x + y + 5 + 8 +8/5 ---> x + y = 4 (x = 3 e y = 1; se fosse 2 e 2, teríamos duas modas, mas a questão disse que é unimodal)

    MAIOR NOTA - MENOR NOTA = 8 - 1 = 7 (divisor de 14)

  • Encontrando a soma da média aritmética:

    Soma/5 = 5

    Soma = 5*5

    Soma = 25

    A questão informou a mediana. Como temos números ímpares, a mediana é o termo central (3° número aqui).

    _ _ 5 _ _

    Foi dito também que a moda é igual a 8 e é unimodal (apenas uma moda). Assim, os números depois do 5 só podem ser 8.

    _ _ 5 8 8

    A soma precisa dar 25. Somando os números que já foram encontrados, chegamos ao número 21. Ainda faltam 4 para chegar a 25.

    Entretanto, não pode ser 2 e 2, pois aí teríamos uma moda bimodal. Não pode ser 0 e 4 porque ninguém zerou (foi informado na questão). Só resta 3 e 1.

    A subtração do maior para o menor:

    8 - 1 = 7

    7 é um divisor de 14. Alternativa A.

  • Apenas complementando as respostas anteriores:

    Unimodal = uma moda

    Bimodal = 2 modas diferentes

    Trimodal = 3 modas diferentes


ID
2736400
Banca
Aeronáutica
Órgão
AFA
Ano
2018
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Considere no plano cartesiano os pontos A ( 2,0) e B( 6, − 4 ) que são simétricos em relação à reta r


Se essa reta r determina na circunferência x2 + y2 - 12x - 4y + 32 = 0 uma corda que mede n unidades de comprimento, então n pertence ao intervalo 

Alternativas
Comentários
  • A(2, 0) e B(6, -4)

    Coeficiente angular da reta AB:

    m_0 = ∆y / ∆x

    m_0 = 4 / - 4 = -1

    Seja a reta r: y = ax + b

    Como r ⊥ AB --> a = - 1 / m_0 = 1

    Então r: y = x + b

    Além disso, r passa pelo ponto médio M do segmento AB.

    M = (4, -2)

    -2 = 4 + b --> b = -6

    Portanto r: y = x - 6

    Isolando x --> x = y + 6

    Equação da circunferência: x² + y² - 12x - 4y + 32 = 0

    A própria questão e as alternativas mostram que a corda é secante à circunferência, então pode-se admitir que existem dois pontos de intersecção entre a reta r e a circunferência e suas coordenadas devem satisfazer tanto a equação da circunferência como a da reta:

    x = y + 6 (I)

    x² + y² - 12x - 4y + 32 = 0 (II)

    Substituindo I em II:

    (y + 6)² + y² - 12(y + 6) - 4y + 32 = 0

    y² + 12y + 36 + y² - 12y - 72 - 4y + 32 = 0

    2y² - 4y - 4 = 0

    y² - 2y - 2 = 0

    y = 1 ± √3 (Esses dois valores de y são as ordenadas dos dois pontos onde a reta intersecta a circunferência)

    Voltando na equação x = y + 6, para y = 1 + √3, temos x = 7 + √3.

    Para y = 1 - √3, temos x = 7 - √3.

    Portanto os dois pontos onde a reta intersecta a circunferência são (7 + √31 + √3) e (7 - √31 - √3)

    A distância entre eles é o comprimento da corda:

    d = √( (∆x)² + (∆y)² )

    d = √( (2√3)² + (2√3)² )

    d = √( 12 + 12 )

    d = √24 = √(4 * 6) = 2√6

    Como d > 4, resposta: a)


ID
2736412
Banca
Aeronáutica
Órgão
AFA
Ano
2018
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

No ano de 2017, 22 alunos da EPCAR foram premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP).


Desses alunos, 14 ganharam medalhas, sendo 3 alunos do 3° esquadrão, 9 do 2° esquadrão e 2 do 1° esquadrão. Os demais receberam menção honrosa, sendo 2 alunos do 3° esquadrão, 4 do 2° esquadrão e 2 do 1° esquadrão.


Para homenagear os alunos premiados, fez-se uma fotografia para ser publicada pela Nascentv em uma rede social.


Admitindo-se que, na fotografia, os alunos que receberam menção honrosa ficaram agachados, sempre numa única ordem, sem alteração de posição entre eles, à frente de uma fila na qual se posicionaram os alunos medalhistas, de modo que, nesta fila:

• as duas extremidades foram ocupadas somente por alunos do 2° esquadrão que receberam medalha;

• os alunos do 1° esquadrão, que receberam medalha, ficaram um ao lado do outro; e

• os alunos do 3° esquadrão, que receberam medalha, ficaram, também, um ao lado do outro.


Marque a alternativa que contém o número de fotografias distintas possíveis que poderiam ter sido feitas.

Alternativas
Comentários
  • 14 ganharam medalhas, sendo 3 alunos do 3° esquadrão,do 2° esquadrão e 2 do 1° esquadrão. 

     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

    o 1º e o último (14º) tem que ser do 2º esquadrão, então seria assim:

    9 possibilidade pro primeiro x  8 possibilidades para o último = 72

    agora, a alternativa informa que o 1º esquadrão,  tem que permanecer junto.

    como só tem 2, eles permutam entre si = 2! = 2 ,além disso, na contagem final eles vão corresponder a só 1 tracinho.

    depois, a alternativa informa que o 3º esquadrão, tem que permanecer junto também. 

    como só tem 3, eles permutam entre si = 3! = 6, além disso, na contagem final eles vão corresponder a só 1 tracinho.

    fiz essa observação no início, para melhor visualização, cada cor corresponde a 1 esquadrão.

     

    fazendo a multiplicação agora, ficamos com (72x2x6) =  864 x 9! 

    Explicação do 9!

     - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - 

     9! = conforme explicado acima, os tracinhos vermelhos e azuis só contam 1 vez (pois, ficam juntos) , e o 1º e o ultimo tracinho verde não contam pois já são pré definidos na questão, restando assim 9 tracinhos para permutarem entre si.

     

    Gab: D

  • É pra cansar de ler?

  • 9 x 2! x 3! x 9! x 8

  • são 14 alunos que ganharam medalha de ouro, logo 14 "tracinhos"

    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

    as DUAS extremidades devem ser ocupadas por alunos do 2º esquadrao:

    9 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 8 (restam 12 espaços e 7 alunos do 2° esquadrao)

    já que os alunos do 1º e 3° esquadrâo devem ficar juntos temos que:

    9 [ alunos do 1° esquad] _ _ _ _ _ _ _ [alunos 3° squad] 8 ( restam 7 espaços e somente 7 alunos do 2°squad)

    agora para preencher o que falta tem que colocar os alunos do 2° esquadrão( lembre-se de que eles podem alternar entre entre si e que podem ter alunos dos outros esquadrões no meio deles, o imporante é que o alunos do 1° e terceiro esquad fiquem juntos)

    Temos então:

    9 [ alunos do 1° esquad] 7 .6 . 5 .4 .3 .2 .1 [alunos 3° squad] 8

    Fazendo o calculo, e sabendo que A(n)p è a formula do arranjo, temos

    A(9)1.[A(2)2].A(9)9.[A(3)3].A(8)1 ( esse A(9)9 veio da permutação entre TODOS q estao entre o 9 e 8)

    9!/(9-1)! . 2!/(2-2)! .9!/(9-9)! . 3!/(3-3)! . 8!/(8-1)!

    9!/8! . 2!/0! . 9!/0! . 3!/0! . 8!/7!

    *SABENDO QUE 0!= 1

    9 . 2 . 9! . 3! . 8

    18.9!.6.8

    18.48.9!

    864.9!

    GABRITO LETRA D

    "O FÁCIL NÃO CABE A NÓS"


ID
2736427
Banca
Aeronáutica
Órgão
AFA
Ano
2018
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Pela legislação brasileira, atualmente, os ditos “Jogos de Azar” estão proibidos. Tais jogos são, na maioria das vezes, sustentados pelas perdas dos jogadores que financiam os que vão ter sorte. Esses jogos têm por condição de existência que, na diferença entre as probabilidades de sorte e azar, predomine o azar.


Ainda que proibidos, bancas de alguns desses jogos são comumente encontradas em festas populares Brasil afora.


Exemplo desses jogos é aquele em que o jogador tem 1 bolinha para lançar sobre uma rampa, levemente inclinada, e deverá acertar uma das “casinhas” numeradas de 1 a 6. Geralmente, o dono da banca de jogo impõe condições para que o jogador ganhe um prêmio.


Suponha que uma condição de sorte seja, desconsiderando quaisquer outras influências, lançar a bolinha três vezes sucessivas de modo que, ao final dos três lançamentos, seja observado que a soma dos números das casinhas é igual a 12


Desse modo, a probabilidade de se ter sorte nesse jogo é 

Alternativas
Comentários
  • Fiz por probabilidade. Se não fosse a restrição da soma der igual a 12 o correto seria fazer 1/6*1/6*1/6, entretanto como ele fala que 

    a soma de 3 jogadas sucessivas é igual a 12, deve se fazer deste jeito: Para descobrir as possiveis somas do 12, faz-se mmc:  que irá dar 2,2,3

    dessa maneira é so pensar que: a cada joga ele tem a chance de acertar 3/6. Ja que, ele precisa acertar um daqueles valores: 2,2,3 a ordem nao importa, portanto ele tem 3 possibilidades de acertar uma daquelas casas.  fica assim: 3/6*3/6*3/6 = 12%

    Corrijam-me se estiver errado

  • Possibilidades de dar 12

    6+5+1 (Vezes 6 , pois permuta-se)

    6+4+2 (x6)

    6+3+3 (x3) Por causa da repetição do 3)

    5+5+2 (x3) (Por causa da repetição do 5)

    5+4+3 (x6)

    4+4+4 (x1)

    TOTAL = 25 POSSIBILIDADES DE SOMA 12


    Total de possibilidades = 6.6.6 =216

    Probabilidade = 25/216 = 11,57%