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ID
1311406
Banca
CESGRANRIO
Órgão
IBGE
Ano
2013
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Para se estimar a média de uma população com desvio padrão 15, foi retirada uma amostra de tamanho n, obtendo-se o seguinte intervalo de confiança:

                                         P(7,06 ≤ μ ≤12,94) = 0,95


Sendo os valores críticos tabelados z0,05 =1,65 e  z0,025 =1,96, o tamanho da amostra n e o erro padrão da estimativa EP(Xn)são dados por

Alternativas
Comentários
  • É sabido que o Intervalo de confiança IC é dado por:
    IC(u,g) = ]m – z(g)s; m + z(g)s[

    onde:

    u - média populacional;
    g - índice de confiança;
    m - média amostral;
    s - desvio padrão da média amostral;
    z - função que define um valor de desvios padrões para um dado intervalo de confiança baseado na tabela da distribuição normal.

    Sabemos também que o desvio padrão da média amostral é dado:

    s = d/√n;

    d = desvio padrão populacional ;

    n = número de amostras;


    De acordo com o enunciado, z(g) = z(0,95), assim:
    i) z0,05 =1,65 
    ii) z0,025 =1,96

    ii) corresponde a 95% da área, pois (1 - 0,025 x 2 = 0,95)

    Usando ii:

    IC(u,0,95) = ]m – 1,96 x 15/√n); m + 1,96 x 15/√n[
    Montando um sistema:
    m – 1,96*15/√n = 7,06
    m + 1,96*15/√n = 12,94

    Resolvendo o sistema acima encontraremos m = 10, substituindo este valor em qualquer uma das equações do sistema, encontraremos n = 100.
    Finalmente, sabemos que o erro padrão da estimativa EP(Xn) é dado por:


    EP(X) = S/√n 


    Como S = 15 (dado no enunciado), temos:


    EP(X) = 15/√100 = 1,5


    Resposta: Alternativa A.

  • É preciso lembrar que erro padrao EP=desvio padrão/raiz de n.

    12,94-7,06=5,88 -> 5,88/2 = 2,94

    2,94=1.96*15/raiz de N ->logo raiz de N ~100 e N=10.

    ou

    temos que encontrar um valor que compreenda 95% do volume da curva normal.
    ele dá dois valores z0,05 = 1,65 e z0,025 = 1,96

    o primeiro corresponde a 90% da área já que (1 - 0,05*2 = 0,9)
    o segundo corresponde a 95% da área já que (1 - 0,025*2 = 0,95)

    logo devemos usar o segundo.
    daí temos:

    IC(u,0,95) = ]m – 1,96*15/(n^(1/2)); m + 1,96*15/(n^(1/2))[

    fazendo um sistema de equações:
    m – 1,96*15/(n^(1/2)) = 7,06
    m + 1,96*15/(n^(1/2)) = 12,94

    da soma temos que 2m = 20 logo, m= 10
    substituindo em qualquer delas:

    10 – 1,96*15/(n^(1/2)) = 7,06
    n^(1/2)= 1,96*15/2,94
    n^(1/2)= 10
    n = 100

    Temos que o Erro de um estimador EP(Xn) é o desvio padrão populacional sobre a raíz da amostra.

    EP = 15/(100^(1/2))
    EP = 15/10
    EP = 1,5

     

  • Sabendo se que o Erro Padrão é = ao Desvio Padrão / a raiz da amostra, basta aplicar em todas as opcões e verificar que apenas a alternativa A confere a conta.

  • Veja que a amplitude do intervalo de confiança é 12,94 - 7,06 = 5,88. E este intervalo de confiança contempla 95% de probabilidade, de modo que devemos deixar de fora dele 5% de probabilidade, ou melhor, 2,5% em cada lado. Por isso, devemos usar z = 1,96. Foi dado ainda o desvio padrão, que é 15.

    Lembrando que essa amplitude é igual a:

    O erro padrão é dado por:

    Resposta: A