Questões de Binômio de Newton

Questão 528346

• Banca: Exército
• Órgão: EsFCEx
• Ano: 2009
• Provas: EsFCEx - 2009 - EsFCEx - Oficial - Magistério Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Binômio de Newton; Raciocínio Lógico

0 Seja k um número natural fixo. O número de soluções inteiras não negativas de x₁ + x₂ + L x_k = 3 é igual ao coeficiente numérico de x⁴ do desenvolvimento de ( x² + x^-² )⁸ . Então o valor de k é:

• A. 4
• B. 5
• C. 6
• D. 7
• E. 8

Gabarito: C

Comentários

• Alguém pode me ajudar?

   

• Eu estou achando 42 como coeficiente, mais alguém?

• Pra responder essa questão é necessário saber a combinação com repetição e da equação de binômio de newton : Tk+1 = C8,k . x^2(8-k) . x^-2(k) = C8,3 . x^4 (Pra isso acontecer o k=3), Coeficiente de x^4 = 56

  Agora tem que saber fazer a combinação com repetição e vai testando C5,2=10 ; C6,3=20 ; C7,4=35 ; C8,5=56 (O 8 é igual a soma do número de sinais de adição=5 e o valor da soma dos termos=3, e como tem 5 sinais de adição então tem que haver 6 termos, ou seja, X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 3)

• Fiz da seguinte forma: 1º) utilizei o binômio de Newton para encontrar o coeficiente de x^4. Encontrei 56.

  2º) Testei cada alternativa usando combinação com repetição, por exemplo:

  Se k=4 então teríamos x1+x2+x3+x4=3. Assim a permutação ficaria

  P^{3,3}_6 = 6!/ 3!3! = 20 , que é diferente de 56. Logo não é k=4.

  Quando fazemos k=6, obtemos x1+x2+x3+x4+x5+x6=3, daí

  P^{3,5}_8= 8!/3!5!= 56.

  Obs: Possa ser que este pensamento esteja errado, e que isso tenha sido coincidência. Então, se alguém encontrar um jeito melhor e mais rápido de fazer, por favor, avise aqui.

Questão 1785718

• Banca: Marinha
• Órgão: CAP
• Ano: 2015
• Provas: Marinha - 2015 - CAP - Cabo - Técnico em Estatística
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Binômio de Newton

Utilizando o teorema binomial, desenvolva (4x+3)³ , e assinale a opção correta.

• A.
  
• B.
  
• C.
  
• D.
  
• E.
  

Gabarito: A

Comentários

• A resposta dada como certa, letra A, esta com um erro no final. O certo seria ...+ (C3,3)x3^3

• só de olhar dá pra responder.

  observe que em um binômio a primeiro termo começa com o maior expoente e descende (que nesse caso é 3)

  e o segundo termo começa com o menor e ascende( que nesse caso é 0)

• Creio haver um erro no termo X³ na alternativa A. O correto seria 3³

• Tem que acertar esse erro na letra A

Questão 2364547

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: SEDF
• Ano: 2017
• Provas: CESPE - 2017 - SEDF - Professor de Educação Básica - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Binômio de Newton

Acerca do binômio de Newton, julgue o item seguinte.

A soma dos coeficientes do polinômio p(x) = (10x - 11)⁸⁵ é um número positivo.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: E

Comentários

• MACETE PARA SOMA DE COEFICIENTES BINÔMIOS!

  
  

  EX: ( X + 1 ) ^ 5 ------------- IGNORE AS VARIÁVEIS DO BINÔMIO E RESOLVA A POTÊNCIA.

  (1X + 1) ^ 5

  ( 1 + 1) ^ 5

  ( 2 ) ^ 5 = 32

  APLICANDO NA QUESTÃO : (10X - 11) ^85 => (10-11)^85 => -1^85, POTÊNCIA DE EXPOENTE ÍMPAR E BASE NEGATIVA, LOGO A SOMA SERÁ NEGATIVA

  
  

  GABARITO ERRADO

  
  

• ERRADO

  
  

  Soma dos coeficientes substitui as variáveis da(s) base(s), (x), por 1.

  p(x) = (10x - 11)

  p(x) = (10 x 1 - 11)

  p(x) = (10 - 11)

  p(x) = -1

  
  

• Basta assumir x=1 ==> (10-11)^85 = -1 . Logo, está Errada.

Questão 2364550

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: SEDF
• Ano: 2017
• Provas: CESPE - 2017 - SEDF - Professor de Educação Básica - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Binômio de Newton

Acerca do binômio de Newton, julgue o item seguinte.

A quantidade de subconjuntos diferentes, com pelo menos dois elementos cada um, que podem ser formados a partir de um conjunto com oito elementos é inferior a 250 subconjuntos.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: C

Comentários

• CERTO

   

  Não sei explicar direito, mas fiz assim:

   

  -Informações da questão:

  8 elementos

  -Quantidade de subconjuntos, com pelo menos dois elementos cada um (é o que quer saber), ou

  seja...

  *excluindo os subconjuntos com um elemento (8 subconjuntos; são 8 elementos = 8 subconjuntos);

  *e excluindo o subconjunto vazio (que é um subconjunto de todos os conjuntos, 1 subconjunto).

   

   

  -Cálculo: (Não sei se o cálculo é exatamente esse, mas a questão envolve interpretação, como sempre, e raciocínio lógico, também)

  2^8 - (8 + 1) Obs.: (2^8: 2 elevado a oito; base sempre 2, elevado ao número de elementos do conjunto)

  256 - (9)

  =247 (Total de subconjuntos, logo a questão está CERTO, 247 é inferior a 250)

   

  A questão cita binômio de Newton, mas nem é preciso usar a

  fórmula de newton (termo geral).

   

  Também poderia resolver usando o cálculo de combinação (C = n! / p! (n - p)!), mas teria que

  fazer os cálculos dos subconjuntos com cada quantidade de elementos (2, 3, 4,

  5, 6, 7 e 8) e depois somar.

  Ou calcula a quantidade de subconjuntos (2^8 = 256) e depois, usando cálculo de combinação, calcula a

  quantidades de subconjuntos com 1 elemento e com 0 elemento( 8! / 7! = 8 e 8! / 8! = 1, total 9) e subtrai de 256.

  Muito mais "trabalhoso", na minha opinião. Em outra situação, semelhante, pode ser útil.

  
  

• Muito boa a explicação Lizandro Silva! Mas será que seria mesmo necessário subtrair do conjunto vazio? Fiquei com essa dúvida...não que nesse caso aqui da questão vá fazer diferença, mas queria entender o porquê.

• Mariana, teríamos que excluir todos os casos com subconjuntos com menos de 2 elementos, pois o elaborador fala subconjuntos com "pelo menos" 2 elementos. Daí os subconjuntos com 1 elemento (que facilmente dá 8) e o subconjunto com 0 elementos (que é o conjunto vazio, pois é subconjunto de qualquer conjunto) devem sim ser excluídos da conta. Por isso dá 2^8 - (8+1). Pensei exatamente como o Lizandro, e nem cogitei usar Binômio de Newton, apesar do comando da questão ter o citado.

• CONJUNTO DAS PARTES

  COMO SÃO OITO ELEMENTOS, BASTA RESOLVER

  2^8-9

• Nessa questão, o meio mais fácil é calcular o que não quer e subtrair do total de possibilidades.

  Pergunta 1: O que não quer?

  Resposta 1: Conjunto vazio (nenhum elemento) ou Conjunto unitário (com 1 elemento).

  1º Passo: calcular o total de possibilidade.

  Propriedade da soma de base igual na combinação: 2^N; sendo "N" o total de elementos.

  = 2^N = 2^8 = 256.

  2º Passo: calcular o que não quero.

  *Conjunto vazio: C(0,8) = 1.

  *Conjunto unitário: C(1,8) = 8.

  3º Passo: Calcular o que a questão pede.

  Sabendo que -> TOTAL = o que não quero + o que quero. Logo:

  O que quero = TOTAL - o que não quero

  O que quero = 256 - (8+1) = 256 -9 = 247.

  Diante disso, gabarito CORRETO.

• Pra quem, como eu, não quer usar potenciação e subtrair o conjunto vazio e o conjunto unitário... coisitali-talicoisa, e prefere fazer na raça, mas com calma e segurança:

  Combinação simples:

  (8! / 8) + (8! / 7) + (8! / 6) + (8! / 5) + (8! / 4) + (8! / 3) + (8! / 2) = 247 (Bingo!)

  Foco, Força e CaFé!

Questão 2372593

• Banca: UECE-CEV
• Órgão: UECE
• Ano: 2016
• Provas: UECE-CEV - 2016 - UECE - Vestibular - Primeiro Semestre
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Binômio de Newton

O termo independente de x no desenvolvimento da expressão algébrica (x² – 1)³ .(x² + x + 2)² é

• A. 4.
• B. - 4.
• C. 8.
• D. - 8.

Gabarito: B

Comentários

• Resolvemos da seguinte maneira:
  
   ( x^2 - 1 )^3 . ( x^2 + x + 2)^2

  = (x^6 - 1) . (x^4 + x^2 + 4)    ( faz a distributiva )
  = x^10 + x^8 + 4x^6 - x^4 - x^2 - 4
  
  O termo independente é o termo de menor grau, no caso o - 4.
   

•  

  Para calcular o valor do termo independente de x no polinômio (x² – 1)³ . (x² + x + 2)² , basta fazer x = 0 e calcular o valor da expressão obtida. (0² – 1)³ . (0² + 0 + 2)² = = (– 1) . (4) = – 4

   

   

Questão 2410069

• Banca: IBEG
• Órgão: IPREV
• Ano: 2017
• Provas: IBEG - 2017 - IPREV - Assistente Administrativo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Binômio de Newton

No desenvolvimento de (x + 2 )ⁿ . x³ , o coeficiente de xⁿ⁺¹ é igual a:

• A. n³ + 1
• B. n + 2
• C. 2n(n - 1)
• D. n² (n + 1)
• E. n² - 3n + 2

Gabarito: C

Comentários

• demonstração da solução no link:  https://issuu.com/livrariavestseller/docs/154-rufinod3/42  

   

   

   

• Seguinte galera, temos que tp+1= x³(n/p)x^n-p * 2^p=

  Tp+1= (n/p)* x^3+n-p * 2^p=

  A questão pede o termo que fica ao lado de x^n+1, logo

  3+n-p=n+1 => p=2

  Logo temos

  Tp+1= (n/2)* 2² * x^n-2= (n/2)* 4x^n-2.

  Pra finalizar temos [n*(n-1)/ 2*1] (Fatorial). Desenvolvendo vamos chegar a

  (2n²-n)*4x^n-2 ou seja, a questão pede justamente 2n²-n= 2n(n-1) gab c.

• = (x + 2)^n * x³

  sendo:

  n = n

  x = x

  a = 2

  ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  Queremos o coeficiente de de x^n+1, ou seja, o que vem a sua esquerda, na maioria dos exercícios seria um número inteiro, mas neste exercício isto não ocorre. Vamos desenvolver pela fórmula do Termo Geral:

  Tp+1 = ( n / p) * a^p * x^(n-p)

  lembrando que temos o x³ também neste binômio, então vamos isolar ele a esquerda do termo geral, veja:

  Tp+1= x³ (n / p) * 2^p * x^(n-p)

  Tp+1 = (n / p) * 2^p * x³ * x^(n-p)

  Tp+1 = (n / p) * 2^p * x^(n-p+3)

  ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  Igualamos o expoente de x^(n-p+3) ao expoente proposto do enunciado x^(n+1):

  n-p+3 = n + 1

  p = 3 - 1

  p = 2

  substituímos este valor de p na fórmula do termo geral em desenvolvimento:

  ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  Tp+1 = ( n! / 2!) * 2² * x^(n-2+3)

  Tp+1 = (n! / 2!) * 4 * x^(n+1) : percebeu que chegamos no expoente do enunciado, basta apenas desenvolver o fatorial e encontraremos o coeficiente.

  Tp+1 = [n * (n-1) / 2 * 1] * 4 * x^(n+1)

  Tp+1 = [ (n² - n)/ 2 ] * 4 x^(n+1)

  Tp+1 = [ (4n² - 4n) / 2] * x^(n+1)

  colocamos o 4n em evidência

  Tp+1 = [ 4n (n - 1) / 2] * x^(n+1)

  Tp+1 = [ 2n (n - 1) ] * x^(n+1)

  Encontramos o coeficiente: [ 2n (n - 1) ] - ALTERNATIVA C.

• questão do livro do FME hahah

Questão 3031285

• Banca: IDECAN
• Órgão: IF-PB
• Ano: 2019
• Provas: IDECAN - 2019 - IF-PB - Professor - Matemática 01
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Binômio de Newton; Polinômios

No desenvolvimento de P(x) = (ax² − 2bx + c + 1)² , obtenha o valor do coeficiente de maior grau sendo a = 2, b = -1 e c = 5.

• A. 2
• B. 4
• C. 8
• D. 12
• E. 16

Gabarito: B

Comentários

• Gab. "B". Alguém sabe me dizer pq?

• a= 2 / b= -1 / c = 5

  P(x) = (ax² - 2bx + c - 1)²

  Faremos as substituições com os dados fornecidos:

  Lembrando: Exemplo: 3x² = 3 é coeficiente e x² é a literal

  (2x² - 2(-1)x + 5 - 1)² -> multiplica-se a potencia com todos os termos

  (2x² + 2x + 5 - 1)²

  (4x(^4) + 4x + 25 + 1)

  GABARITO ALTERNATIVA B

• Dimas, não deveria ser c+1=6?

  Pq a equação é:

  P(x) = (ax² - 2bx + c + 1)²

• Oi Juliana, a questão não pede a resolução da equação, apenas o seu coeficiente de maior grau. Por isso, não foi necessário colocar o 6. Mesmo se resolvessemos a equação não alteraria o gabarito. Veja:

  (2x² + 2x + 5 - 1)²

  4x(^4) x 4x¹ + 25¹ + 1¹)

• (2x²)² = 4x^4

  maior grau = 4

  coeficiente que acompanha o termo de maior grau = 4

• É conveniente utilizar o polinômio de Leibniz neste problema.

• P(x) = (ax2 − 2bx + c + 1)²

  P(x) = (2x² - 2*(-1)*x + 5 + 1)²

  P(x) = (2x² + 2x + 6)² ;

  ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  sendo:

  N = 2

  x = 2x²

  a = 2x+6

  ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  Pelo termo geral, temos:

  T(p+1) = (n/p) * a^P * x^(n-p)

  T(p+1) = (2/P) * (2x+6)^p * (2x²)^2-p

  T(p+1) = (2/P) * (2x+6)^p * (2x)^4-2p

  ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  Para encontrar o coeficiente devemos somar os expoentes e depois igualar a zero:

  p + 4 - 2p = 0

  4 - p = 0

  p = 4

  O coeficiente será 4.

Questão 3233179

• Banca: FGV
• Órgão: FGV
• Ano: 2016
• Provas: FGV - 2016 - FGV - Vestibular - Inglês, Física, Química e Língua Portuguesa; FGV - 2016 - FGV - Vestibular - Matemática, Biologia, História e Geografia
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Binômio de Newton

O coeficiente de x¹² na expansão de (1 + x⁴ + x⁵ )¹⁰ é igual a

• A. 120.
• B. 90.
• C. 81.
• D. 60.
• E. 54.

Gabarito: A

Comentários

• uma solução alternativa

  é por meio do triangulo de pascal para resolver expansões binomiais auxilia muito nessa questão, pois o coeficiente de x tem que ser algum número da linha 10 do triangulo, por representar os coeficientes de um produto notável elevado a a décima potência , nas alternativas o único número que tem na décima linha que corresponde é o 120 .

  1

  1 1

  1 2 1

  1 3 3 1

  1 4 6 4 1

  1 5 10 10 5 1

  1 6 15 20 15 6 1

  1 7 21 35 35 21 7 1

  1 8 28 56 70 56 28 8 1

  1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

  1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 decima linha

• 10.9.8 / 3.21 = 120

• GABARITO: A

  Trata - se de uma expansão multinominal. Para resolvê-la, basta seguir o Polinômio de Leibniz.

  (X1 + X2 + ... + Xr)^n = Somatório Pn, i,j,k * x1î * x2^j * x3^k.

Questão 4200619

• Banca: UNICENTRO
• Órgão: UNICENTRO
• Ano: 2018
• Provas: UNICENTRO - 2018 - UNICENTRO - Vestibular - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Binômio de Newton

O coeficiente do terceiro termo do Binômio de Newton (x-3)⁵ é

• A. 5
• B. 15
• C. 81
• D. 90
• E. 405

Gabarito: D

Comentários

• Triângulo de Pascal:

  1

  1 1

  1 2 1

  1 4 6 4 1

  1 5 10 10 5 1 (5° linha)

  (x - 3)⁵ = 1.x⁵.3⁰ - 5.x⁴.3¹ + 10.x³.3² - 10.x².3³ + 5.x.3⁴ - 1.x⁰.3⁵

  (x - 3)⁵ = x⁵ - 15x⁴ + 90x³ ...

  GABARITO: LETRA D