Questões de Variável aleatória multidimensional

Questão 2352025

• Banca: FCC
• Órgão: TRT - 11ª Região (AM e RR)
• Ano: 2017
• Provas: FCC - 2017 - TRT - 11ª Região (AM e RR) - Analista Judiciário - Estatística
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Estatística descritiva (análise exploratória de dados); Medidas de Dispersão (Amplitude, Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação); Medidas de Posição - Tendência Central (Media, Mediana e Moda); Variável aleatória multidimensional

Sejam X_₁ e X_₂ duas variáveis aleatórias independentes, ambas com média μ e variância 25. Como μ é desconhecida construiuse um estimador T para μ, sendo m e n parâmetros reais, ou seja: T = (m − 1)X_₁ − nX_₂. Considerando que T caracteriza uma classe de estimadores não viesados de μ, então o estimador desta classe mais eficiente verifica-se quando m for igual a

• A. 0,50
• B. 1,50
• C. 1,00
• D. 0,75
• E. 2,00

Gabarito: B

Comentários

• Não viesado, ou seja, soma dos coeficiente é 1

  (m - 1) - n = 1 logo n = m - 2 (I)

  não viesado, ou seja, variância = EQM

  (m - 1)^2 + n^2 = 25 (II)

  Substituindo I em II temos que 2m^2 - 6m - 20 = 0

  O mais eficiente é aquele de menor variância. Queremos então encontrar o ponto de mínimo dessa função ( 2m^2 - 6m - 20). Derivando-a e igualando a zero, chegamos em m = 1,5, letra B

• se n quiser derivar, basta achar o x do vértice da função, q é -b/2a

  -

Questão 2454586

• Banca: INSTITUTO AOCP
• Órgão: EBSERH
• Ano: 2015
• Provas: INSTITUTO AOCP - 2015 - EBSERH - Analista Administrativo - Estatística (HE-UFPEL)
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Funções de Probabilidade p(x) e Densidade f(x); Variável aleatória multidimensional

O sucesso, S, em certo procedimento cirúrgico, tem uma probabilidade de 0,95. O resultado do procedimento é um evento aleatório dicotômico podendo ocorrer somente sucesso ou insucesso e pode ser representado pela variável aleatória X. Assim, o nome da distribuição de probabilidade relacionada com essa variável aleatória e a sua função de probabilidade são, respectivamente:

• A. Distribuição Normal e P(X = x) = 0,95^x 0,05^1-x x = 0, 1.
• B. Distribuição Binomial e P(X = x) =  0,95^x 0,05^n-x  x = 0, 1, ..... , n. 
• C. Distribuição Normal e f(x) =
• D. Bernoulli e P(X = x) = 0,95^x 0,05^1-x x = 0, 1.
• E. Bernoulli e P(X = x) =  0,95^x 0,05^n-x x = 0, 1.

Gabarito: D

Comentários

• Matou a questão quando falou que era apenas um experimento.

• Cade o comentário dos professores?? Eles só respondem questão de direito, assim fica complicado

• Sucesso/fracasso = Bernoulli

  Não é a letra E porque há apenas uma situação ocorrendo, então não há a parte binomial.

  Gabarito letra D.

• Por que a B está errada?

Questão 2776972

• Banca: FCC
• Órgão: TRT - 14ª Região (RO e AC)
• Ano: 2018
• Provas: FCC - 2018 - TRT - 14ª Região (RO e AC) - Analista Judiciário - Estatística
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Variável aleatória multidimensional

O tempo médio de tramitação de um recurso (inicial até a baixa) na segunda instância de um Tribunal Regional do Trabalho é de 8 meses. Admita que o tempo de tramitação seja uma variável aleatória exponencialmente distribuída. Um recurso acaba de completar nove meses no Tribunal e, nesse caso, a probabilidade de que a tramitação exceda 10 meses é

• A. e^-1 .
• B. e^-9/8.
• C. e^-5/4.
• D. e^-10/9.
• E. e^-1/8.

Gabarito: E

Questão 2777008

• Banca: FCC
• Órgão: TRT - 14ª Região (RO e AC)
• Ano: 2018
• Provas: FCC - 2018 - TRT - 14ª Região (RO e AC) - Analista Judiciário - Estatística
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Variável aleatória multidimensional

Um processo auto regressivo de ordem p, AR(p), pode ser escrito da forma:

X_t = ∅₀ + ∅₁X_{t − 1} + ∅₂X_{t − 2} + ... + ∅_pX_{t − p} + ε_t onde ∅₀, ∅₁, ..., ∅_p são parâmetros reais e ε_t uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com E(ε_t ) = 0 e var(ε_t ) = σ².

Corresponde a um processo AR(p) estacionário:

• A. AR(1), X_t = 1,5X_{t− 1} + ε_t.
• B. AR(2), X_t = −0,4X_{t − 1} + 0,8X_{t − 2} + ε_t .
• C. AR(1), X_t = −1,2X_{t − 1} + ε_t .
• D. AR(2), X_t = 0,5X_{t − 1} + 1,1X_{t − 2} + ε_t .
• E. AR(2), X_t = 0,7X_{t − 1} + 0,2X_{t − 2} + ε_t .

Gabarito: E

Questão 2950993

• Banca: FGV
• Órgão: DPE-RJ
• Ano: 2019
• Provas: FGV - 2019 - DPE-RJ - Técnico Superior Especializado - Estatística
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Variável aleatória multidimensional

Considere Y uma variável aleatória positiva tal que E(Y) = 8 e Var(Y) = 36. A partir dela são definidas outras duas variáveis, quais sejam:

Z = Y² e W = ∛Y

Então, sobre a esperança matemática E[Z – W], é correto afirmar que:

• A. é igual a 62;
• B. está no intervalo [62, 98];
• C. é maior do que 98;
• D. está no intervalo [48, 62);
• E. é menor do que 48.

Gabarito: C

Questão 2950996

• Banca: FGV
• Órgão: DPE-RJ
• Ano: 2019
• Provas: FGV - 2019 - DPE-RJ - Técnico Superior Especializado - Estatística
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Distribuição Uniforme; Principais distribuições de probabilidade; Variável aleatória multidimensional

Seja a variável aleatória bidimensional (X,Y) que tem distribuição uniforme no quadrado 0 < x < 1 e 0 < y < 1 e Zero fora dele. Por uma transformação linear é definida a v.a. bidimensional (Z,W) da seguinte maneira:

Z = X + Y e W = X – Y

Então, sobre essa outra variável bidimensional, é correto afirmar que:

• A. E(W) = E(Z) = 0,5;
• B. o Jacobiano da transformação de (X,Y) para (Z,W) vale 0,25;
• C. Var(Z) > Var (W);
• D. assim como X e Y, as variáveis Z e W são independentes;
• E. o domínio para a ƒ_z·w(z,w) ≠ 0 também é um quadrado no plano (Z,W) com medida da diagonal igual a 2.

Gabarito: E

Questão 2963599

• Banca: FGV
• Órgão: IBGE
• Ano: 2017
• Provas: FGV - 2017 - IBGE - Analista Censitário - Métodos Quantitativos
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Variável aleatória contínua; Variável aleatória discreta; Variável aleatória multidimensional

Sejam X e Y variáveis aleatórias do tipo Bernoulli, assumindo valores  x₁, x₂, y₁ e y₂ respectivamente. Também é sabido que P(X = x₁ / Y = y₂ ) = 0,60 e P(Y =y₁ )= 0,75.

Então:

• A. P(X = x₂ / Y = y₂ ) = 0,35;
• B. P(X = x₂ ;Y = y₂ ) = 0,10;
• C. P(X = x₁ ;Y = y₁ ) = 0,25
• D. P(Y = y₂ / X = x₁) = 0,40;
• E. P (X = x₂ ) = 0,17.

Gabarito: B

Comentários

• Alguem sabe essa desgraça!!!!!!!!!!!???????????

• Alternativas B e C estão grafadas com barra (/), enquanto no original estão grafadas com ponto-e-vírgula (;). (Já reportei o erro, faça isso tbm pra aumentar a probabilidade de revisão)

  Interpretando o ponto-e-vírgula (;). como o operador e, o gabarito faz sentido pra mim.

  P(X = x2 e Y = y2 ) = 0,10

  Como cheguei à solução:

  Como são variáveis do tipo Bernoulli, então a soma das probabilidades deve ser 1. Logo,

  P(Y=y2) = 1 - P(Y =y1 ) = 1- 0,75 = 0,25

  Pela fórmula de probabilidade condicional, temos

  P(A\B) = P(A ∩ B) /P(B)

  Do enunciado:

  P(X = x1 / Y = y2 ) = 0,60

  Logo:

  P(X = x1 / Y = y2 ) = P(X=x1 ∩ Y=y2) / P(Y=y2) = 0,60

  Já conhecemos P(Y=y2), então

  P(X=x1 ∩ Y=y2) / 0,25= 0,60

  Implicando em

  P(X=x1 ∩ Y=y2) = 0,15

  Se a probabilidade de Y=y2 é 0,25, e ele pode ocorrer simultaneamente com OU X=x1 OU X=x2 (eventos mutuamente exclusivos), então a soma de P(X=x1 ∩ Y=y2) e P(X=x2 ∩ Y=y2) é igual a 0,25. Ou seja

  P(X=x1 ∩ Y=y2) + P(X=x2 ∩ Y=y2) = 0,25

  Já sabemos que P(X=x1 ∩ Y=y2) = 0,15, logo

  P(X=x2 ∩ Y=y2) = 0,25 - 0,15 = 0,10.

  Obs.: Não sou nenhum especialista, portanto, minha solução está sujeita a erros. Se achar algo (ou tudo) errado, ficarei feliz em ser notificado.

• Distribuicao tipo bernoulli é binario, tipo sim ou nao... ou seja, P(x1) = 1-P(x2)

  O problema diz que P(y1) = 0,75, logo P(y2) = 0,25

  Diz tambem que dado que aconteceu y2 (0,25), x1 = 0,60 = P(X=x1 | Y=y2), logo P(X=x2 | Y=y2) = 0,40 (Letra A - errada)

  isto é, 60% dos 25% é P(x1∩ y2) e 40% dos 25% é P(x2∩y2)

  logo P(X= x2 ; Y = y2) = P(x2∩y2) = 0,25 x 0,40 = 0,10 - letra B - Correta

  as demais alternativas, faltam informação para calcular

  Para melhor entender,

  X/Y | y1 | y2 | P(Y)

  --------------------------------------

  x1 | ??? | 0,15 | ???

  x2 | ??? | 0,10 | ???

  ------------------------------------

  P(X)| 0,75 | 0,25 | 1

  1) Dado que P(y1) = 0,75 - preencho a celula em azul do quadro a cima

  2) P(y2) = 1-P(y1) = 0,25 - preencho a celula em vermelho

  3) P(X=x1|Y=y2) = 0,60 --> P(x1∩ y2)/P(y2) = 0,60 --> P(x1∩ y2) = 0,60 x 0,25 = 0,15 --> preencho celula em verde

  4) P(y2) = 0,25 --> P(x1∩y2) + P(x2∩y2) = 0,25 --> P(x2∩y2) = 0,25 - 0,15 = 0,10 --> preencho a celula em preto

• Galerinha, gravei um vídeo comentando esta qustão:

  https://youtu.be/vY9Z5vCBe_M

Questão 2963617

• Banca: FGV
• Órgão: IBGE
• Ano: 2017
• Provas: FGV - 2017 - IBGE - Analista Censitário - Métodos Quantitativos
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Estatística descritiva (análise exploratória de dados); Medidas de Dispersão (Amplitude, Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação); Variável aleatória multidimensional

Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional que em dada amostra assumiu o seguinte conjunto de valores:

(1,16), (5,8) e (9, 3)

PS: Use, nos cálculos, √43 ≅ 6,5 .

Logo, a estimativa para o coeficiente de correlação de Pearson para o par (X, Y) obtido pelo método dos momentos será aproximadamente:

• A. -1,00;
• B. -0,75;
• C. +0,45;
• D. -0,50;
• E. +0,80.

Gabarito: A

Comentários

• med(x) = (1+5+9) /3 = 5 med(y) = (16+8+3)/3 = 9

  r = soma[(x-med(x)) x (y-med(y))] / raiz(soma(x-med(x))^2 x soma(y-med(y))^2)

  soma[(x-med(x)) x (y-med(y))] = (1-5)(16-9)+(5-5)(8-9)+(9-5)(3-9) = -4x7 + 0x-1 + 4x-6 = -28+0-24 = -52

  soma(x-med(x))^2 = (1-5)^2 + (5-5)^2 + (9-5)^2 = (-4)^2 + 0^2 + 4^2 = 32

  soma(y-med(y))^2 = (16-9)^2 + (8-9)^2 + (3-9)^2 = 7^2 + (-1)^2 + (-6)^2 = 49+1+36 = 86

  raiz(32 x 86) = raiz (2^6 x 43) = 2^3 x 6,5 = 8 x 6,5 = 52

  r = -52/52 = 1 - Letra A

• trabalhosa ......

Questão 2963653

• Banca: FGV
• Órgão: IBGE
• Ano: 2017
• Provas: FGV - 2017 - IBGE - Analista Censitário - Métodos Quantitativos
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Variável aleatória contínua; Variável aleatória discreta; Variável aleatória multidimensional

Para o caso de variáveis aleatórias quaisquer, existem diversas propriedades que se aplicam diretamente à esperança matemática e ao momento central de segunda ordem.

Dentre essas propriedades está:

• A. Var (X) > E(X²);
• B. Var (X ± Y)= Var (X) ± Var(Y);
• C. E(X ) ± E(Y ) = E(X ) ± E(Y )
• D. Var (aX) = aVar(X), sendo a uma constante positiva;
• E. E(aX )= E(X ), sendo a uma constante qualquer.

Gabarito: C

Comentários

• Essa foi para ninguém zerar a prova .

• Existem cinco propriedades para a Variância e duas para a Variância

  Propriedades da Esperança:

  P1: E(k.x)=k.E(x)

  P2: E(k+x)= E(x)+k

  P3:E(k+x)= E(x)+E(y)

  P4:E(k)=k

  P5: E(xy)=E(x).E(y) (essa propriedade é apenas para variáveis independentes)

  Propriedades da Variância

  P1: VAR(x+k)= VAR(x)

  P2: VAR(k.x)= k^2.VAR(x)

  Gabarito: C

• O correto não seria E(X ± Y ) = E(X ) ± E(Y )?

  Na alternativa constou E(X ) ± E(Y ) = E(X ) ± E(Y ), o que não faz muito sentido ser uma propriedade.

• continue assim Fgv

• a) Var (X) > E(X²)

  Var (X) = E(X²) - [E(X)]²

  Var (X) + [E(X)]² = E(X²)

  Logo, Var (X) < E(X²)

  b) Var (X ± Y)= Var (X) ± Var(Y);

  Se X e Y QUAISQUER:

  Var (X + Y)= Var (X) + Var(Y)

  Var (X - Y)= Var (X) + Var(Y);

  Se X e Y INDEPENDEnTES:

  Var (X + Y)= Var (X) + Var(Y) + 2.Cov(x.y)

  Var (X - Y)= Var (X) + Var(Y) - 2.Cov(x.y)

  c) E(X ) ± E(Y ) = E(X ) ± E(Y )

  d) Var (aX) = aVar(X), sendo a uma constante positiva;

  Var (aX) = a².Var(X)

  e) E(aX )= E(X ), sendo a uma constante qualquer.

  E(aX )= a.E(X )

Questão 2975965

• Banca: NC-UFPR
• Órgão: Prefeitura de Curitiba - PR
• Ano: 2019
• Provas: NC-UFPR - 2019 - Prefeitura de Curitiba - PR - Auditor Fiscal de Tributos Municipais
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Distribuição Normal; Principais distribuições de probabilidade; Variável aleatória contínua; Variável aleatória discreta; Variável aleatória multidimensional

Para uma determinada profissão, sabe-se que o salário é uma variável aleatória que possui distribuição Normal com média R$ 5.000,00 e um desvio padrão de R$ 800,00. Nesse caso, qual é a probabilidade de que um salário seja maior que R$ 7400,00?

• A. menor que 0,01.
• B. 0,16.
• C. 0,48.
• D. 0,58.
• E. maior que 0,99.

Gabarito: A

Comentários

• DISTRIBUIÇÃO NORMAL ou GAUSSIANA

  média = moda = mediana

  Distribuição normal padrão:

  média de Z = 0 e desvio padrão de Z = 1

  Z = (x - média)/desvio padrão

  Z = (7400 - 5000)/800 = 3

  para quem já fez exercícios usando a tabela normal sabe que um Z próximo de 3 equivale a mais de 99%

  logo a porcentagem que sobra (para o salário ser maior) é mínima, ou sendo a única resposta é a letra A

• Na distribuição normal, 68% estão dentro do 1º desvio padrão, 95% em 2 desvios e 99,7% em 3 desvios.

  Portanto, tudo o que está acima de 7400, está acima de 3 desvios (5000 no ponto médio + 3 x 800 desvio padrão = 7400). Probabilidade de 0,3% / 2 (estamos nos referindo apenas ao lado direito da normal) = 0,15% ou 0,0015.

• DADOS:

  Média: 5000

  Desvio padrão: 800

  X: <7400

  Agora é só usar a fórmula: X - M / (desvio padrão)

  Vai chegar a um resultado de 3, na tabela Z = 0,9987, ou 99,87%.

  Como queremos um valor maior que 7400 então é só fazer (1-0,9987) = 0,0013 ou 0,13%

  Resposta: (A) Menor que 0,01.

• Nao sei se o exercício forneceu a tabela Z, mas é importante saber que Z(0) ~ 0,5, Z(1) ~ 0,84 Z(2) ~ 0,97, Z(3) ~ 0,99 e Z(3,9) ~ 1

  Nao necessariamente precisa decorar esses numeros, apenas perceber que o incremento de 0 a 1 é muito alto (84%-50% = 34%) de 1 a 2 é consideravel (97%-84% = 13%) , de 2 a 3 (99%-97% = 2%) é muito baixo e a partir de 3 é quase nada (menor que 1%)

  No exercicio, como ja calculado por outros colegas, queremos saber P(Z>3) = 1- P(Z<3)

  Sem olhar os valores, mas so na sensibilidade de como a curva normal funciona, para P(Z<3), de cara sabemos que esta na zona proxima a 99%, logo P(Z>3) ~ 1- 0,99 ~ 0,01

  logo dentre as alternativas, a unica que se aproxima desse valor é a letra A

• O conhecimento prévio dos valores das porcentagens dos desvios da curva normal seria de suma importância p/ ecn

  encontrar o valor final.

• GABARITO: A

  Essa é uma distribuição normal, mas não é padrão, pois a média é 5000 e o desvio padrão é 800. Nesse caso, o primeiro passo é transformá-la em padrão. Logo, a média é 0, o desvio padrão é 1 e 7400 é chamado de Z.

  fórmula: Z= x- µ/ σ

  7400- 5000= 2400/800= 3 Z=3

  Se a média é o e o desvio padrão é 1, De 0 a 3 há três vezes o desvio padrão, ou seja, 3.1=3. Se andasse o mesmo para o lado oposto, é preciso lembrar que, quando deslocasse, três para um lado e três para o outro, corresponderia a aproximadamente 99,7%. Considerando que a questão pede acima de 3 e o meio vale 99,7%, para as caudas ficará: 100% - 99,7% = 0,3%. Sendo que são 0,15% para o lado esquerdo e 0,15% para o lado direito.

  0,15/100= 0,0015 <0,01

  Prof, Macio Flávio, gran cursos

Questão 3150391

• Banca: NUCEPE
• Órgão: FMS
• Ano: 2019
• Provas: NUCEPE - 2019 - FMS - Estatístico
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Distribuição Poisson; Principais distribuições de probabilidade; Variável aleatória multidimensional

Seja X₁,…,X_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Poisson (λ). Suponha que queremos testar as seguintes hipóteses

H₀: λ=λ0 vs H1: λ<λ₀

No Teste da Razão de Verossimilhança Generalizado (TRVG), escolhemos uma região crítica de tal forma que L₁ / L₀ > k, onde L₁ é a verossimilhança sob H₁ e L₀ é a verossimilhança sob H₀ . Para o caso das hipóteses e distribuição do enunciado, um teste mais poderoso tem região crítica da seguinte forma.

• A. Σlog(xi) > c
• B. Σxi > c
• C. 1/ Σxi < c
• D. Σlog(xi) < c
• E. Σxi < c

Gabarito: E