SóProvas

Questões de Trigonometria

ID
6496
Banca
ESAF
Órgão
MTE
Ano
2006
Provas
Disciplina
Raciocínio Lógico
Assuntos

Sabendo-se que 3 cos x + sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a:

Alternativas
Comentários

  • 3 cos x + sen x = -1 , ambos os lados ao quadrado
    9(cosx)^2 + 6cosx.senx + (senx)^2 = 1
    8(cosx)^2 + [(cosx)^2 + (senx)^2] = -6cosx.senx + 1
    8(cosx)^2 + 1 = -6cosx.senx + 1
    8cosx = -6senx
    (senx/cosx) = -8/6
    tgx = -4/3
  • Excelente raciocínio. Levei tempo para pensar numa solução. Poderia assimilar que ao me deparar com questões assim esse é o caminho para a solução?
  • Detalhando o raciocínio do 1º comentário.Elevando tudo ao quadrado.(3 cos x + sen x)^2 = (-1)^29cos x^2 + 3 cosx.senx + 3 senx.cosx + sen x^2 = 19cos x^2 + 6 cosx.senx + sen x^2 = 18cos x^2 + (cos x^2 + sen x^2) = - 6 cosx.senx + 18cos x^2 + 1 = - 6 cosx.senx + 18cos x^2 = - 6 cosx.senx8cosx.cosx = - 6 cosx.senx8cosx = - 6senxsenx/cosx=tangx= -8/6= -4/3

  • Tgx  = cos x / senx ??? isso é cotangente! Tangente é sen x / cos x  , logo a resposta é -4/3 como indicaram  os colegas e não -3/4 como disse a professora!

  • Pq eleva ao quadrado?  

  • Sendo 3 cosx + senx = -1, então podemos isolar seno de x:

    senx = -1 – 3cosx

           

           Lembrando da relação fundamental da trigonometria, temos que:

    senx + cosx = 1

    (-1 – 3cosx) + cosx = 1

    1 + 6cosx + 9cosx + cosx = 1

    10cosx + 6cosx = 0

           Colocando cosx em evidência, temos:

    cosx (10cosx + 6) = 0

           Portanto,

    cosx = 0

    ou

    10cosx + 6 = 0 cosx = -6/10 = -3/5

           Podemos usar a equação do enunciado para encontrar senx:

    se cosx = 0:

    senx = -1 – 3 x 0 = -1

    se cosx = -3/5:

    senx = -1 – 3 x (-3/5) = 4/5

           Desta forma, como tanx = senx / cosx, podemos ter:

    tanx = -1 / 0 à divisão por zero é indeterminada

    ou

    tanx = (4/5) / (-3/5) = -4/3

           Temos este último valor na alternativa A.

    Resposta: A

  • A professora explicou a tragetória e os conceitos corretamente, mas deu um escorregão na hora da resolução (cos x / sen x é fórmula para a COTANGENTE e não tangente).

ID
814099
Banca
FAPERP
Órgão
TJ-PB
Ano
2012
Provas
Disciplina
Raciocínio Lógico
Assuntos

Um edifício, de 20 metros de altura, projeta, num dado momento, uma sombra de 10 metros de extensão. Qual deve ser a altura máxima de um indivíduo para que, de pé e distando 9 metros da base do edifício, tenha sua sombra projetada integralmente na sombra do edifício?

Alternativas
Comentários
  • Sen=CO/H

    Sen=20/10
    sen=2 metros
  • altura da pessoa/20metros = 1metro/10metros .:. x = 2 metros

    oposto ao angulo no menor triangulo = altura da pessoa
    oposto ao angulo no maior triangulo = 20 metros
    oposto ao outro angulo no menor triangulo = 1 metro
    oposto ao outro angulo no maior triangulo = 10 metros
ID
882394
Banca
ESAF
Órgão
DNIT
Ano
2013
Provas
Disciplina
Raciocínio Lógico
Assuntos

Suponha que um avião levanta voo sob um ângulo de 30o . Depois de percorrer 2.800 metros em linha reta sob o mesmo ângulo da decolagem, a altura em que o avião está do solo em relação ao ponto em que decolou é igual a:

Alternativas
Comentários
  • É só desenhar o triângulo! 

    O âgulo é de 30°; a hipotenusa será de 2800 e sua altura será x (cateto oposto). Logo:

    sen30°=cateto oposto/hipotenusa.........................obs.:sen30°=1/2

    1/2=x/2800---->x=1400 letra A

    até mais!
    ;)


  • seno(30°) = altura/2800

    seno(30°)=1/2    .....1/2=altura/2800 -> altura=2800/2=1400

  • Vamos desenhar a situação descrita no enunciado:

    Logo, vemos que pelo cálculo do Sen30°. Encontraremos a altura desejada. Assim:

    SenX = Cat.Opot. / Hipotenusa à Sen30° =  H/2800 à 1/2 = H /2800 à H = 1400 metros.

                                              


    Letra A.


  • basta notar que ele quer a altura com isso temos um seno e como seno de 30 é 1/2 basta analizar que a altura será metade de 2800 que é 1400m.

  • oposto a 30º = metade da hipotenusa

ID
961174
Banca
CEPERJ
Órgão
SEFAZ-RJ
Ano
2013
Provas
Disciplina
Raciocínio Lógico
Assuntos

Em um triângulo retângulo, um ângulo interno vale 30° e o cateto oposto a esse ângulo mede √√3 . A hipotenusa desse triângulo mede:

Alternativas
Comentários

  • Basta calcular o sen 30°=V3/X= 1/2 = V3/X = X= 2V3 que é a hipotenusa do triângulo retângulo da questão.

ID
1140364
Banca
ESAF
Órgão
Receita Federal
Ano
2014
Provas
Disciplina
Raciocínio Lógico
Assuntos

O cosseno de um ângulo x,com  Π/ 2<x<Π, é igual a - 7 /25 .

Desse mo do, a tangente de x /2 é igual a:

Alternativas
Comentários

  • Lembremos do círculo trigonométrico, cujo eixo das abscissas representa os cossenos dos ângulos, eixo das ordenadas representa os senos e um eixo paralelos ao eixo dos senos e tangente ao círculo representa o eixo das tangentes.Como o ângulo x pertence ao intervalo de pí/2 a pí (ou, em graus, de 90 a 180), então o ângulo x está no 2o quadrante do círculo trigonométrico.Lembrando que nesse quadrante os cossenos são negativos (como informa a questão, ao expor que o cos(x) = -7/25) e os senos são positivos.Agora, imaginemos um triângulo retângulo que tem um ângulo x".Esse ângulo x" é um espelho do ângulo x, com a diferença de estar situado no 1o quadrante do círculo trigonométrico. x" tem o mesmo valor de seno de x.Seu cosseno, todavia, é o módulo do cosseno de x, ou seja, é o mesmo valor que cos(x), só que positivo.POR EXEMPLO (OS VALORES SEGUINTES NÃO ESTÃO RELACIONADOS COM A QUESTÃO EM ANÁLISE, FORAM UTILIZADOS APENAS PARA  ELUCIDAÇÃO DA SITUAÇÃO DOS ÂNGULOS x e x"):os ângulos 120 graus (2o quadrante) e 60 graus (1o quadrante), os quais possuem mesmo seno (raiz de 3 sobre 2), porém o cos(120) = - 1/2 enquanto o cos(60) = + 1/2.Ok.Se cos(x) = -7/25, cos(x") = +7/25.Imaginemos agora um triângulo retângulo em que um dos seus ângulos agudos seja x". Cos(x") = cateto adjacente / hipotenusa = 7 / 25.Já sabemos o valor da hipotenusa (25) e de um dos catetos (7) desse triângulo.Para descobrir o valor do outro cateto (L), basta aplicar o Teorema de Pitágoras: 252= 72+ L2 // L = raiz quadrada de 576 ===> L = 24. Com o valor de L em mãos, podemos calcular o seno do ângulo x", que seria cateto oposto (L) sobre a hipotenusa (25), isto é, sen(x") = 24/25.Como sen(x) = sen(x"), então o sen(x) = 24/25.Voltemos nossa análise ao ângulo x.Sen(x) = 24/25 = 0,96.É um valor de seno próximo de 1.Lembrando que o seno de 90 graus (pí/2) é igual a 1.Como x está no 2o quadrante (entre pí/2 e pí ou entre 90 graus e 180 graus) e o seu seno é próximo de 1, o valor de x é um pouco maior que 90 graus.Mas a questão pede a tangente de x/2.Raciocinando um pouco, se x está no 2o quadrante e é um pouco maior que 90 graus, x/2 será um pouco maior que a metade de 90 graus, ou seja, um pouco maior que 45 graus.Portanto, x/2 estará no 1o quadrante.Sabemos que a tangente de 45 = 1.A tangente varia de 0 ao infinito quando o ângulo varia de 0 a 90 graus.No 1o quadrante, a tangente é sempre positiva.Logo, se tan(45) = 1 e se x/2 é um pouco maior que 45 graus, então tan(x/2) é um número positivo um pouco maior que 1.Das valores de resposta expostos pela questão, o único que obedece a essas condições é 4/3 = 1,3333...,valor positivo um pouco maior que 1.Nas letras A e C, são valores negativos de tangente.Na letra D, o valor de tangente é menor que 1.A letra E não pode ser, pois 1 é a tan(45), e sabemos que o ângulo x/2 é um pouco maior que 45 graus.GABARITO:B

  • Outra forma de resolver é simplesmente usar a fórmula: tg(x/2) = sqrt[ (1-cosx)/(cosx +1) ]. A dificuldade é que teria que saber esta fórmula na prova [não sei como estava o edital]. Mas dá para usar o raciocínio do Gilberto.

  • No edital constava apenas "trigonometria".

  • Muito obrigado, Gilberto. Excelente linha de raciocínio.

  • O enunciado da questão afirma que x é um ângulo que está localizado entre 90º (π/2) e π (180º), que representa o 2º quadrante da circunferência trigonométrica.

    Neste quadrante o SENO é positivo e o COSSENO é negativo. Como a tangente é a razão do seno pelo cosseno, ela é NEGATIVA.

    Devido a isso, logo, eliminaria as alternativas "b", "d" e "e". Restando apenas "a" e "c".

    Utilizando a fórmula apresentada por Vandré encontraria o resultado +- 4/3.

    Como a tangente do 2º quadrante deve ser NEGATIVA, optaria por -4/3  e  marcaria a alternativa A.


    Obs. Vi o gabarito após os recursos e a resposta é b). Talvez eu esteja raciocinando errado ou ninguém percebeu o erro.

  • De acordo com o enunciado, tem-se:

    cos x = -7/25

    π/2 < x < π  ou seja, x está no segundo quadrante. Assim, o valor do coseno é negativo e o do seno é positivo.

    Como sen²x + cos²x = 1,

    sen²x = 1 – cos²x

    sen²x = 1 – (-7/25)² = 1 – 49/625 = 576/625

    sen x  = √(576/625) = 24/25

    sen x  = 24/25

    Como tgx = sen x / cos x,

    tg x = (24/25) / (-7/25) = -24/7

    Como tg x = [2tg(x/2)] / [1 – tg²(x/2)],

    -24/7 = [2tg(x/2)] / [1 – tg²(x/2)]  (÷ 2)

    -12/7 = [tg(x/2)] / [1 – tg²(x/2)]

    7 tg(x/2) = -12 + 12tg²(x/2)

    12tg²(x/2) – 7tg(x/2) – 12 = 0

      Para saber o valor de tg(x/2) basta solucionar a equação do 2°grau. O candidato deve notar que no caso em questão os termos a, b e c da equação são: 12, -7 e -12.

      Utilizando a Fórmula de Báskara tem-se:

    tg(x/2) = [7 ± √(7² - 4 . 12 . (-12))]/2

    tg(x/2) = [7± √(625)]/2 = [7±25]/2 → 4/3 ou -3/4

      Como a tg(x/2) é positiva, deve-se desconsiderar o valor encontrado -3/4.

      Assim, tg(x/2) = 4/3

    Resposta B)


  • Tem jeito bem facil de resolver essas questão:

    1:Sabe-se que X está entre pi/2 e pi, logo segundo quadrante
    2: Ele quer a tg de X/2 não de X 

    se pi>X>pi/2 logo pi/2>X/2>pi/4 e logo tgX>1, olhando as alternativas temos só 4/3 que atende a regra.

  • Buscamos a Tg ( x/2) 


    Um dado importantíssimo para questão é  pi/2 < x < p , ou seja  90º < x < 180º  


    Pela relação acima percebemos que"x" é um ângulo do 2º quadrante 


    Só que queremos "x/2" , ou seja, nosso ângulo vai estar necessariamente no 1º quadrante, de cara já sabemos que a tangente não pode ser negativa, porque no primeiro quadrante a tangente é sempre positiva.


    Ficaríamos entre a assertiva b e d, e agora?


    Basta saber que x não pode ser menor do que 90º então x/2 não pode ser menor que 45º sabendo que a Tg de 45º é 1, estamos buscando valores maiores que 1.


    Portanto letra b)

  • Gilberto. O Brasil Precisa de  pessoas como vc! 


  • Questão muito fácil. Cos x = -7/25 ... portanto x pouco maior que 90 graus. x/2 um pouco maior que 45 graus (tg x/2 >1). Única alternativa viável é a b)


  • Resolução da questão: 38'30"
     https://www.youtube.com/watch?v=JfyKlLVHIRA

  • Sendo cos x = -7/25, entao cos (x/2 + x/2)=-7/25. Resolvendo pela soma de angulos, teremos (cos^2)x/2- (sen^2)x/2= -7/25. Como (cos^2)x/2+ (sen^2)x/2= 1, entao cos x/2=3/5. Logo, sen x/2=4/5. Assim tg x/2=4/3. O valor é positivo pois é o x que está no segundo quadrante, logo x/2 estará no1o quadrante.

  • para quem assim como eu não se lembra mais desses assuntos recomendo o vídeo sugerido pela antonia caceres aproximadamente nos 38 minutos tem a resolução da questao muito bem explicada https://www.youtube.com/watch?v=JfyKlLVHIRA

    bons estudos

  • Uma maneira de resolver esta questao é utilizando a relação trigonométrica:  tan(x/2)= raiz (1-cox/1+cox)

    tan(x/2)= raiz (1-(-7/25)/ 1+(-7/25))

    calculando o mmc dos termos na raiz, temos:

    tan(x/2)=raiz ((32/25)/(18/25))

    tan(x/2)=raiz(32/25 * 25/18)

    tan(x/2)= raiz (16/9)

    tan(x/2)= 4/3

    resposta B

  • Resolvi de uma maneira simples, partindo das seguintes premissas:

    1) Imagine o ângulo no círculo trigonométrico.

    2) Lembre-se que a tangente é uma reta que tangencia o círculo trigonométrico, paralela ao eixo dos senos, passando pelo ponto 1 do eixo dos cossenos

    3) Ainda, que o valor da tangente é o ponto onde a prolongação do ângulo toca essa reta

    O ângulo x é maior que 90º e menor que 180º. Assim, x/2 será um ângulo maior que 45º e menor que 90º.

    Com essa informação, já eliminamos as alternativas A, C e E, pois se o ângulo está no 1º quadrante, o prolongamento dele tocará a reta das tangentes em sua parte positiva (acima do eixo dos cossenos).

    Ficamos, então, com as alternativas B e D.

    A tangente de 45º é 1, logo, a tangente do ângulo x/2 (que é maior que 45º) será maior que 1.

    Entre as alternativas B e C, a única que expressa um número maior que 1 é a alternativa B, resposta da questão.

  • Eles não realizam as provas como candidatos, daí querem fazer gracinha com a cara de quem estuda para tanto.

ID
1317199
Banca
FGV
Órgão
SUDENE-PE
Ano
2013
Provas
Disciplina
Raciocínio Lógico
Assuntos

Consideremos cinco cidades A, B, C, D e E, e suas posições relativas descritas a seguir.

1. A cidade B está a 40 km da ci idade A na direção nordeste.
2. A cidade C está a 40 km da cidade B na direção oeste.
3. A cidade D está a 40 km da cidade C na direção sul.
4. A cidade E está a 40 km da cidade D na direção leste.

Sejam w, x, y e z as distâncias da cidade A, respectivamente, às cidades B, C, D e E.

Então:

Alternativas
Comentários
  • Construindo o desenho abaixo:




    Assim, vemos que AC = AE, AB > AD, AB > AC e AB > AE. Substituindo os valores:

    w > x = z > y ou y < x = z < w.

    Resposta: Alternativa C.

  • Gabarito: C. Construindo o desenho abaixo:Assim, vemos que AC = AE, AB > AD, AB > AC e AB > AE. S...

  • Questão de trigonometria com plano cartesiano =)

    Atribuindo o ponto A (0,0) e sabendo que o ponto B está na direção nordeste. Então o ângulo é 45º (sen e cos = 0,7)

    Sabendo que:

    Sen 45º = cateto oposto / hipotenusa............... 0,7 = y / 40..... y=28

    Cos 45º = cateto adjacente / hipotenusa........... 0,7 = x / 40..... x=28

    Agora fica mais fácil visualizar no desenho. Ou então usa o a² = b² + c² e descobre que:

    w = 40

    x = 30,5

    y = 17

    z = 30,5

  • Ainda não entendi esta questão... Poderiam explicar, por favor?

  • Comentário do professor é a mesma coisa que nada

  • Resolvendo rápido na hora do concurso: w é maior que todos, w já é 40 km, único q "< w"  letra C, destarte desenhe!

  • Bem lógica a questão. Trata-se de um quadrado em que o cumprimento de 3 lados são dados. Se é nordeste, então o angulo é de 45º, fazendo com que a cidade A seja equidistante das cidades C e E. W obviamente seria a mior distância pois B é a cidade mais distante de A e a cidade de D é a mais próxima, conforme você for ver em seu desenho.

  • Peça pra comentar um professor que queira ajudar pelamor de Cristo

  • Não tenho certeza se a minha resposta está correta, mas, a conclusão que eu consegue chegar foi a alternativa D (y < x = z < w).

    A minha resolução começou por um desenho, porém, desconsiderando inicialmente a posição da Cidade A, ou seja, as distâncias BC (onde C está 40 Km para oeste/esquerda em relação a B), CD (onde D está 40 Km para sul/baixo em relação a C), DE (onde E está 40 Km para leste/direita em relação a D) e BE (nesse caso, ao posicionar as cidades B, C e D, você consegue deduzir que B está a 40 Km para norte/cima em relação a E). Assim forma-se um quadrado de lado 40.

    Para encontrar a posição da cidade A (na qual a cidade B está a 40 Km a Noroeste, ou seja, na diagonal), fiz uma regra de 3 simples, pensando que a cidade está na diagonal entre as cidades B e D, é possível você calcular aproximadamente qual cidade está mais próximo de A.

    Na regra de 3, realizei da seguinte forma:

    40√2 = 100%

    40 = x%

    40√2.x = 4000

    x = 4000 / (40√2)

    x = 4000.√2 / (40√2).√2

    OBS: Por conta que existe uma raiz quadrada no Denominador, é preciso retirá-la, multiplicando por ela tanto no Numerador quanto no Denominador.

    x = 4000.√2 / 40.2

    x = 4000.√2 / 80

    x = 50√2 %

    Para saber qual cidade está mais próxima, converti o √2 para o valor aproximado de 1,4, resultando que, 40Km equivale aproximadamente 70% da Diagonal entre a cidade B e D.

    Assim, a cidade A está mais longe da cidade B, consequentemente, a distância entre elas é a maior que as demais, enquanto a distância entre a cidade A e D é a menor.

    Agora, o motivo para eu concluir que a distância entre as cidades A e C e entre as cidades A e E são iguais, é por conta que é formado um quadrado entre as cidades B, C, D e E.

    OBS: Na verdade, eu não sei exatamente como explicar isso, mas, tenho grande certeza que esteja certo afirmar isso.

ID
1745938
Banca
SIGMA ASSESSORIA
Órgão
Prefeitura de Iracemápolis - SP
Ano
2012
Provas
Disciplina
Raciocínio Lógico
Assuntos

Se tg ( x ) = 0,75, 0° < x < 90°, então sec ( x ) é igual a:

Alternativas
Comentários

  •  tg=cat.oposto/cat.adja

    tg = 0,75 ou 3/4

    Portanto cateto oposto é igual a 3 e o adjacente é igual a 4

    sec=1/cos

    e temos que cos=cat.adja/hipotenusa

    Calculando a hipotenusa por Pitagoras chega-se ao valor de 5

    portanto sec=1/(4/5)

    Essa divisão de frações resulta em 5/4 ou 1,25

    Alternativa D

  • Utilizei a seguinte forma:  sec(x) = 1 + tg(x).

     

    Há um problema nessa questão, pois deveriamos obter o resultado apenas por esta relação.

    sec(x) = 1 + 3/4 -> 7/4 -> 1,75.

    Há uma incoerência na questão. Pelo método de relação básica da trigonometria, é possível resolver, mas deveria dar certo por esta relação também.

  • Secante é o inverso do cosseno. A tg é igual a 0,75. Logo, senx /cosx=0,75; senx/cosx= 3/4 (simplificando). Elevando os dois termos ao quadrado, temos sen2x/cos2x=9/16; Aplicando a regra as proporções, temos: sen2x+cos2x/cos2x=25/16 (a soma dos dois primeiros está para o segundo assim como a soma dos dois últimos está para o quarto.

    1/cos2x= 25/16; 1/cosx=V25/16; SECX= 5/4; SECX= 1,25. RESPOSTA DA QUESTÃO.

    Bons estudos a todos!!!

     

  • tg(x)=0,75 = CO/CA = 3/4 ;

    3²+4²=HIP² ; HIP = raiz(25) = 5

    sec(x)=1/COS ; COS=CA/HIP

    sec(x)=1/(CA/HIP)

    sec(x)=HIP/CA ; sec(x) = 5/4

    sec(x)=1,25

    Gabarito D

  • sec²(x) = 1 + tg²(x)

    sec²(x) = 1 + (3/4)² = 1 + 9/16 = 25/16

    sec²(x) = 25/16

    sec(x) = √25/16

    sec(x) = 5/4

    sec(x) = 1,25

ID
2269693
Banca
FGV
Órgão
PC-MA
Ano
2012
Provas
Disciplina
Raciocínio Lógico
Assuntos

Se α e β são as medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, então:

Alternativas
Comentários

  • cos( A + B )= cosA . cosB - senA . senB 

    cos( A + B )=√¯3/2 . 1/2  -  1/2 . √¯3/2 = 0

  • Triângulo retângulo terá um do lados igual a 90º, consequentemente a soma dos ângulos A e B terá que ser 90º ----> (A+B)=90, após essa análise, teria que verificar qual das funções, seno e cosseno, que no ângulo 90 tem o valor de 0 ou 1. Pelas alternativas, verifica-se que cosseno tem valor igual a 0.

    Letra B

  • galera, edital pediu trigonometria, viu? nao percam tempo estudando isso se não está no seu edital

  • A soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo sempre será igual a 90° , com isso se olharmos no ciclo trigonométrico de 360°, o seno de 90º é igual a 1 e o cosseno é igual a 0(zero), portanto a opção que está correta é a letra B

  • α + β + 90º = 180º => α + β = 90º

    Logo Cos( α + β ) = Cos( 90º) = 0