Se é f: R → R duas vezes derivável e u(x,y) = f ( x2 - y2) + f ( y2 - x2),então o Laplaciano de u , uxx(x,y) + uyy(x, y), é igual a
Dois jogadores participam de um jogo em que lançam, alternadamente, um dado comum de seis faces e, após cada lançamento, somam os pontos obtidos em todos os lançamentos feitos pelos dois jogadores até aquele momento. Se essa soma é um múltiplo de 3, o jogo termina com a vitória do jogador que fez o último lançamento. Caso a soma não seja um múltiplo de 3, o jogo continua com o próximo lançamento. Qual a probabilidade de o jogo terminar no terceiro lançamento?
Se T: R3 → R3 é a transformação linear que satisfaz T( 1,0,0) = (-1,1,0), T( 0,1,0) = (0,-1,1) e T (0,0,1) = (1,0, -1),então o conjunto {(x,y,z)∈ R3::T(x,y,z) = (0,0,0)} é
Qual é o valor de y0 ∈ R para o qual a solução y(x) do problema de valor inicial y' = y2,y(0) = y0 satisfaz y(1) = 1?
Considere em um plano horizontal xy dois pontos materiais, A e B. O ponto A esta ligado à origem por uma mola de constante elástica K=1 N/m e comprimento natural Li = 3√2 .10-2m B está ligado a A por outra mola, de mesma constante elástica e de comprimento natural L2 = 2√5 .10-2m. Considerando que o sistema obedece à Lei de Hooke e supondo que, quando as molas estão com seus comprimentos naturais, sua energia potencial é nula, qual a energia potencial do sistema quando A e B ocupam, respectivamente, as posições (10-2m, 10-2m) e (2.10-2m, 3.10-2m) ?
Em um sistema S de vasos comunicantes formado por duas colunas cilíndricas iguais, cada uma de capacidade 500 ml, ligadas inferiormente por um tubo de volume desprezível, são realizados experimentos com líquidos A, B, C e D, de densidades respectivamente iguais a 1,0 g/cm3, 0.9 g/cm3, 0.6 g/cm3 e 0.5 g/cm3. Em cada experimento, e usado um par de líquidos, e 200ml de cada um desses dois líquidos utilizados são colocados no sistema S, de forma que fiquem em equilíbrio e que uma das colunas contenha apenas um dos líquidos. Se os pares usados nesses experimentos são (A,B), (A,C), (B,C), (B,D) e (C,D), a coluna de líquido mais alta entre as 10 formadas aparece quando se usa o par:
Uma rampa inclinada de 30° em relação à horizontal começa a 5 m de altura e termina a 3 m de altura. Um ponto material de massa 1 Kg é abandonado com velocidade nula no topo da rampa inclinada e desce a rampa, sem atrito, sob a ação exclusiva da gravidade, e a seguir cai em queda livre até o solo. A aceleração da gravidade no local é de 10 m/s2. Nessas condições, a velocidade com que o corpo atinge o solo tem valor absoluto igual a
Um campo magnético uniforme não nulo, de intensidade B, é perpendicular a um plano Π Uma carga elétrica q é lançada nesse campo magnético com velocidade v1 ≠ 0, e descreve um movimento no plano Π A seguir, uma carga igual à primeira e lançada nesse campo magnético com velocidade v2 ≠ 0, e descreve um movimento retilíneo. Se uma terceira carga igual às anteriores for lançada nesse campo magnético com velocidade V1 + v2, descreverá um movimento:
Duas esferas A e B, com massas 0.2 Kg e 0.3 Kg, respectivamente, movem-se numa reta orientada Ox com velocidades vA = 2 m/s e vB = -3 m/s, respectivamente, e uma terceira esfera C, de massa 0.5 Kg, encontra-se em repouso na origem. Num instante t > 0, as esferas A e B chocam-se com C. Após o choque, que é inelástico, as três esferas movem-se juntas sobre a reta Ox. Nessas condições, após o choque as esferas têm velocidade igual a
Uma máquina térmica, com um gás inicialmente a uma temperatura T1=100 °K, opera fazendo um ciclo de Carnot, começando com uma expansão isotérmica em que o gás absorve uma energia útil Qx na forma de calor. Em seguida, essa máquina realiza uma expansão adiabática resfriando-se até atingir uma temperatura T2=80 °K, a seguir realiza uma compressão isotérmica em que dissipa, sob forma de calor, uma energia Q2. Após isso, ela conclui o ciclo realizando uma compressão adiabática na qual retorna a temperatura T1. Nesse processo, o valor absoluto de Q1/Q2 é igual a
Duas cargas elétricas q1 e q2 são colocadas sobre um eixo orientado Ox, respectivamente nas posições x1 e x2, com d = x2 - x1 > 0. A força elétrica que age sobre q2 devido a q1 é F. Se as cargas q1 e q2 forem colocadas, respectivamente, em posições y1 e y2, distando metade da distância d anterior, com y2 - y1 < 0, a força elétrica que age sobre a carga q2 devido à carga q1 terá
Um ponto material de massa 2 Kg move-se num eixo Ox sob a ação de uma força que, em cada instante t (em segundos), é dada por F(t) = 8-2t2 (em Newton) . No instante t = 0 s, o ponto material se encontra na origem com velocidade nula. Qual a posição do ponto material no instante t = 2 s?