É uma questão clássica de permutação com repetição.
A pergunta é: quantos valores inteiros não negativos t1, t2, t3 e t4 podem ter na equação t1 + t2 + t3 + t4 = 10?
Primeiro ponto - A questão fala de chaves distintas. Não é a mesma coisa que ''chaves com algarismos diferentes'', por isso não pode ser permutação sem repetição. Vamos supor alguns valores para t1, t2, t3 e t4 para entender isso:
5 + 2 + 2 + 1 ---> é uma possível chave e tem elementos repetidos.
3 + 3 + 3 + 1 ---> é uma chave diferente da anterior e tem elementos repetidos.
Ou seja, vamos calcular chaves diferentes entre si. O resultado da SOMA deve ser sempre 10.
Uma resolução legal para esse tipo de problema é assim:
1) Estipulamos um valor possível para a equação.
Exemplo: 2 + 2 + 2 + 4 = 10
2) Vamos imaginar cada unidade como uma bola (2 = duas bolas, 4 = quatro bolas) e cada símbolo de ''+'' como um traço.
• • | • • | • • | • • • • ---> total de bolas = 10
A permutação entre esses elementos vai fornecer todos os resultados possíveis que os números podem assumir.
Permutar seria trocar de lugar. Exemplo:
• • • | • • | • • • | • • --> total de bolas = 10
3) Contamos todas as bolas e os separadores (os ''+'')
Total: 13
4) Quantas vezes as bolas e os separadores se repetem?
10 bolas + 3 ''+'' = 13 elementos
As bolas se repetem 10 vezes e os ''+'' 3 vezes.
Permutação de 13 elementos com 10 e 3 elementos repetidos.
13!/10! 3! (letra A)
*Este vídeo fala disso a partir de 13:02: https://www.youtube.com/watch?v=zBjw3Ws45NU