PG: (a , aq , aq²)
a + aq + aq² = 13
a (1 +q +q²) = 13
Fórmula soma PG --> 13 = a (q³ - 1) / q - 1
a² + a²q² + a²q^4 = 91
a² (1 + q² + q^4) = 91
Fórmula soma PG ----> 91 = a² (q^6 -1) / q² -1
Dividir a segunda equação pela primeira ao quadrado ----> 91 / 169 = a² (q^6 -1) / (q² -1) . (q - 1)² / a² (q³ - 1)²
7/13 =(q³ - 1)(q³ + 1)/(q - 1)(q + 1) . (q - 1)(q - 1)/(q³ - 1)(q³ - 1)
7/13 = (q³ +1) (q-1) / (q+1) (q³ - 1)
Usar regra de soma e diferença de cubos!
q= 3 ou q = 1/3
substituir em uma das equações e achar o a referente a cada uma das razões
sequências: (1,3,9) ou (9, 3, 1)
De qualquer forma --> n é o número do meio = 3 nos dois casos
C de 28 escolhe 3 = 28!/ 25! 3! = 3276
Primeiro devemos encontrar o termo n.
Três números inteiros em PG: (m, n, p)
A soma destes números vale 13:
m + n + p = 13 (1)
A soma dos seus quadrados vale 91:
m² + n² + p² = 91 (2)
Sabemos que em uma PG (m, n, p) o termo médio é:
n²=m.p (3)
Substituindo (3) em (2), temos:
m² + m.p + p² = 91 (4)
Podemos completar quadrados em (4):
(m+p)² - 2m.p + m.p = 91 ---> (m+p)² - m.p = 91 (5)
Da equação (1) temos que m+p = 13 - n e m.p=n² da equação (3). Logo:
(13 - n)² - n² = 91
Desenvolvendo o binômio,
13² - 2.13.n + n² -n² = 91 --->169 -26.n = 91
Com isso, temos que:
---> 26.n = 169 - 91=78
---> n = 78/26
Finalmente,
---> n = 3
Agora resolvemos o problema da combinação, queremos encontrar quantas comissões podemos formar com 28 professores agrupados de n = 3,
C28,3 = 28!/3!25!
Total de 3276