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Eu encontrei 1440... Alguém poderia me explicar?
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Números com cinco algarismos distintos maiores que 64.000
Tem-se 8 algarismos no conjunto, sendo que dois já foram utilizados, o 6 e o 4, então restam 6 algarismos. Como não podem ser repetidos, fica 6 * 5 * 4 = 120. Isso com 64 na frente
Daí segue com 65 (mesma coisa 6*5*4 = 120)
67 (6*5*4 = 120)
69 (6*5*4 = 120)
E com o número 7 na frente e mais 4 algarismos distintos depois fica (7*6*5*4 = 840)
E finalmente com o número 9 na frente (7*6*5*4 = 840)
Resumindo
64 6 * 5 * 4 = 120
65 6 * 5 * 4 = 120
67 6 * 5 * 4 = 120
69 6 * 5 * 4 = 120
7 7 * 6 * 5 * 4 = 840
9 7 * 6 * 5 * 4 = 840
Somam-se os valores das possibilidades (120*4 = 480) + (840 *2) = 2160, resposta para o problema.
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Eu fiz de uma forma mais simples: primeiro calculei somente os milhares
0 1 2 4 5 6 7 9
6 _
1*4 pois tem 4 possibilidades acima de 64000 (4,5,7,9) = 4
7_
1*7 pois te 4 possibilidades (0,1,2,4,5,6,9) = 7
9_ 7 possibilidades (0,1,2,4,5,6,7) = 7
1*7
Agora vou calcular os outros 3 algarismos
_ _ _ começa com 6 pois 2 ja foram utilizados = 120
6*5*4
Então 120*4=480 120*7=840 120*7=840
480+840+840 = 2160
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Não entendi, se são algarismos distintos, por que o 6 se repete no 64..., 65..., 66... ? Fiquei bem confuso nessa
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fiz assim:
Acima de 64000 --> 64xxx -Podem ser 6 números, pois o 6 e o 4 já foram, então A6,3 = 6!/3! = 120
Mas na casa dos 60000 ainda tem os 65xxx, os 66 xxx não contam pois vc estará repetindo o 6, e o problema pede números distintos, 67xxx, 68xxx não conta também pois não tem o nº 8 no conjunto e 69xxx. Então a 1ª casa é 6, o 2º vc tem 3 possibilidades para colocar (5,7 e 9), a 3ª pode ser qq número, porém como vc já usou 2, sobram 6, para a 4ª sobram 5 e para a 5ª sobram 4. Logo fica 3*6*5*4 = 360.
Para a casa dos 70000, a 1ª casa é o 7 e para as outras sobram 7 possibilidades, então fica A7,4 = 7!/3! = 840
O mesmo cálculo para a casa dos 80000. A7,4= 7!/3! = 840
Então todas as possibilidades são 120+360+840+840 = 2160.
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Guilherme, os algarismos são distintos entre si e os números formados por esses algarismos são outras coisas.
Exemplo: no número 64.297 --- os algarismos são distintos entre si. Mas com esses mesmos algarismos podemos formar outros números, como 67.429. Ou seja, 64.297 é uma coisa, e 67.429 é outra coisa. No entanto, os algarismos entre eles não deixaram de ser distintos.
Não sei se minha explicação ficou confusa, mas, sinceramente, espero ter contribuido.
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92 _ _ _ não?
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Eu resolvi da seguinte forma....
( 2 ) - somente as possibilidades (7, 9)
( 7 ) - 8 menos a 1ª possibilidade
( 6 ) - 8 menos as 2 possibilidades anteriores
( 5 ) - 8 menos as 3 possibilidades anteriores
( 4 ) - 8 menos as 4 possibilidades anteriores
total do produto 2x7x6x5x4 = 1680 possibilidades
Porém falta a situação de quando começar por 64xxx...
( 1 ) - somente a possibilidade do 6
( 4 ) - somente as possibilidades (4,5,7,9), pois o '6' ta fixo não pode repetir, e os outro nºs são menores que 4
( 6 ) - 8 menos as 2 possibilidades anteriores
( 5 ) - 8 menos as 3 possibilidades anteriores
( 4 ) - 8 menos as 2 possibilidades anteriores
total do produto 1x4x6x5x4 = 480 possibilidades
resultado = 1680+480 = 2160 possibilidades
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É tudo questão de arranjo...
Primeiro analisando os 2 primeiros números, que podem iniciar com 6, 7 e 9.
Se o primeiro algarismo é ocupado pelo 6, este pode ser seguido pelos números 4, 5, 6 e 9. Ou seja, arranjo de 4 números em um só espaço
A4,1 = 4!/3! = 4
Se o primeiro número é o 7, este pode ser seguido pelos números 0, 1, 2, 4, 5, 6 e 9. Arranjo de 7 números, em um só espaço
A7,1 = 7!/6! = 7
Assim também é feito com o 9.
A7,1 = 7!/6! = 7
Para os 3 outros algarismo restantes, nos sobra sempre 6 opções (8 opções possíveis - 2 algarismo já usados), que podem ser arranjados em 3 maneiras distintas
A6,3 = 6!/3! = 120
Assim, podemos compreender que existem 120 x (4+7+7) = 120x18 = 2160 números inteiros de cinco algarismos distintos maiores que 64.000.
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6/4/_/_/_/= A6,3
6/5/_/_/_/= A6,3
6/7/_/_/_/= A6,3
6/9/_/_/_/= A6,3
7_/_/_/_/= A7,4
9/_/_/_/_/= A7,4
Total= 4xA6,3 + 2xA7,4=2160#
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Resolvi pelo Principio Fundamental da Contagem e o resultado que encontrei foi 1440.
Os elementos do conjunto A = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}. A questão pede números inteiros de cinco algarismos distintos maiores que 64.000.
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DM UM C D U
Pra dezena de milhar (DM) temos: 6, 7 e 9. pois a questão fala em números maiores que 64.000. (sendo assim temos três opções de elementos para a DM).
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DM UM C D U
Pra undade de milhar (UM) temos = 4, 5, 6, 7 e 9. (sendo assim, temos cinco pções de elementos para a UM, menos o que foi utilizado na DM, no caso, ou o 6, ou o 7, ou o 9, pois os números tem que ser distintos).
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DM UM C D U
Pra centena temos = 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7 e 9. (sendo assim, temos oito pções de números para a centena, menos o que foi utilizado na DM e na UM, ou seja menos dois elementos, com isso restando apenas seis, lembrando que os números tem de ser distintos).
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DM UM C D U
Pra dezena temos = 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7 e 9. (sendo assim, temos oito pções para a centena, menos o que foi utilizado na DM, na UM e na C, ou seja menos três elementos, com isso restando apenas cinco).
_3__ _4__ _6__ _5__ ___
DM UM C D U
Pra unidade temos = 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7 e 9. (sendo assim, temos oito pções para unidade, menos o que foi utilizado na DM, na UM, na C e na D, ou seja menos quatro elementos, com isso restando apenas quatro, pois os numeros tem de ser distintos).
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DM UM C D U
Meu resultado: 3 x 4 x 6 x 5 x 4 = 1440. No entanto não é ogabarito. Se alguem poder explicar onde estou errando, agradeço.
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Ótima resposta do Alberto