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Para resolvê-la é necessário seguir os seguintes passos:
a - Aplica-se a equivalência na (2) passando (~X -> Y ) para (~Y -> X), a premissa (2) resulta em (X -> ~Y) ∧ (~Y -> X);
b - Aplica-se a propriedade Silogismo Hipotético [( p -> q ) ∧ ( q -> r ) = p -> r] no resultado anterior, assim teremos: X -> X que é igual a somente X.
Reescrevendo a equação:
(1) Y -> X
(2) X
c – Agora deve-se construir a tabela verdade do argumento (Y -> X) ∧ X comparando o resultado com cada uma das alternativas.
d - A tabela verdade acima somente coincide com a do X. Portanto o resultado é X (alternativa A).
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(A) Y → X
(B) (X → ~Y) ^ (~X → Y) ≡ (X ↔ ~Y)
A premissa (A) diz que Se Y, então X. Mas, isso contradiz a premissa (B) que diz que se X, então não Y.
Como Y é uma contradição. Conclui-se ~Y.
Pela premissa (B), Se ~Y, então X.
Portanto conlcui-se ~Y ^ X.
As assertivas A e D estão parcialmente corretas. Deveria ser anulada.
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Sérgio Filho. A fórmula (~X ->Y) não é equivalente a (~Y -> X) acho que você confundiu com ~P V Q equivalente com ~Q -> ~P
Ainda não entendi a questão
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A questão é beeeem trabalhosa e complicada, mas consegui resolver (se errei algum passo, me corrijam, não sou muito bom nesse assunto)
Primeiro passo: Fiz as tabelas-verdade das proposições:
Y → X
Y | X | Y → X
V | V | V
V | F | F
F | V | V
F | F | V
Obs: No conectivo "→", caso o "então" seja falso, a proposição será falsa.
(X → ¬Y) ^ (¬X → Y) (Considere (X → ¬Y) como P e (¬X → Y) como Q)
P | Q | P ^ Q
V | V | V
V | F | F
F | V | F
F | F | F
Obs: No conectivo "^", uma falsa "contamina" as demais.
X | ¬Y | X → ¬Y
V | F | F
V | V | V
F | F | V
F | V | V
¬X | Y | ¬X → Y
F | V | V
F | F | V
V | V | V
V | F | F
Segundo passo: comparei as proposições com as tabelas-verdades e encontrei dentro delas os verdadeiros e falsos. Considerando que toda a proposição "Se X, então não Y" é totalmente verdadeira (nesse caso, tanto faz a primeira como a segunda serem verdadeiras, pois o X considerei verdadeiro para que me orientasse), temos que:
Se Y, então X >>>>>>>>>>>>>>> X é verdadeiro e Y é falso Se X, então não Y >>>>>>>>>>> X é verdadeiro e ¬Y é verdadeiro Se não X, então Y >>>>>>>>>>> ¬X é falso é o e Y é falso
Para determinar quem é realmente verdadeiro e quem realmente é falso, fui pelo método a maioria vence (o jeito que consegui resolver essa questão), onde cheguei no seguinte resultado X e ¬Y é verdadeiro
Terceiro passo: Na primeira proposição eu substitui Y por ¬Y para que a primeira proposição ficasse totalmente verdadeira. Então a primeira proposição ficou assim: ¬Y → X.
Então fiz a tabela-verdade da proposição citada no parágrafo acima:
¬Y | X | ¬Y → X
F | V | V
F | F | V
V | V | V
V | F | F
Quarto passo: Depois de feita a tabela-verdade, peguei o resultado que bate com a proposição alterada 1 depois das alterações no terceiro passo e chegamos que a consequência lógica de P é X, pois se ¬Y é verdadeiro e a proposição alterada 1 é verdadeira, logicamente, X será verdadeiro e a alternativa que se encaixa em todo este raciocínio que desenvolvi é a:
ALTERNATIVA A
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Entendi a questão da seguinte forma:
(1) Y ? X
(2) (X ? ¬Y) ∧ (¬X ? Y )
1 e 2 são premissas e P é a conclusão.
Pra ficar mais fácil troque o símbolo ? pelo -> (se, então) que é o seu equivalente na questão.
Dai resolvi por hipoteses, pegando cada alternativa e testando.
Na alternativa "a" ele diz que X é a consequência de P, isso equivale a dizer que X é a conclusão e dessa for deve ter valor lógico verdadeiro para que todo o argumento seja válido.
Substituindo nas premissas é a única alternativa que não faz o argumento ser contraditório, ou seja se X for a conclusão con valor lógico verdadeiro então as premissas também ficam com valor lógico verdadeiro.
P1: Y -> X
P2: (X -> ¬Y) ∧ (¬X -> Y )
C: X = V
P1: Y -> X [v]
P2: (X -> ¬Y) ∧ (¬X -> Y )
C: X = V
P1: Y -> X [v]
P2: (X [v] -> ¬Y [v]) ∧ (¬X -> Y )
C: X = V
P1: Y [F] -> X [v] = V
P2: (X [v] -> ¬Y [v]) ∧ (¬X -> Y )
C: X = V
P1: Y [F] -> X [v] = V
P2: (X [v] -> ¬Y [v] = V) ∧ (¬X [F] -> Y [F] = V)
C: X = V
P1: Y [F] -> X [v] = V
P2: (X [v] -> ¬Y [v] = V) ∧ (¬X [F] -> Y [F] = V) = V
C: X = V
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Consegui entender apenas com a ajuda dos colegas aqui.
Realmente a maneira de desenvolver esta questão é raciocinar I e II como premissas e P como a conclusão. Depois basta testar os valores para satisfazer a condição onde as premissas sejam Verdadeiras.
Uma dica é construir a tabela verdade
Resposta: (A)