A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à Análise Combinatória.
A Análise Combinatória, na Matemática, pode ser dividida, de uma forma geral, em Combinação e Arranjo.
Pode-se definir a Combinação da seguinte forma: contagem das possibilidades da composição de determinado subconjunto formado por p elementos distintos a partir de um conjunto global formado por n elementos distintos. Vale ressaltar que, na Combinação, a ordem dos elementos não importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é o mesmo conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo da Combinação é a seguinte:
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “C” a Combinação.
Nesse sentido, é possível definir o Arranjo da seguinte forma: cálculo da quantidade de possibilidades para se formar um agrupamento ordenado de p elementos distintos dentre um conjunto global formado por n elementos distintos. Frisa-se que, no Arranjo, diferentemente da Combinação, a ordem dos elementos importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é diferente do conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo do Arranjo é a seguinte:
A (n,p) = n! / ((n – p)!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “A” o Arranjo.
Por fim, importa salientar que a expressão “!” significa fatorial, ou seja, a seguinte multiplicação:
n! = n * (n - 1) * (n – 2) * ... * 1.
A título de exemplo, segue a fatoração do número “5”:
5! = 5 * (5 – 1) * (5 – 2) * (5 – 3) * (5 – 4) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Referências Bibliográfica:
1. MORGADO, Augusto C.; CARVALHO, João B. P. de; CARVALHO, Paulo Cezar P.; FERNANDEZ, Pedro – Análise Combinatória e Probabilidade – 9ª ed. – Rio de Janeiro, SBM, 1991.
2. SANTOS, José Plínio O.; MELL, Margarida P.; MURARI, Idani T. C. – Introdução à Análise Combinatória – 4ª edição revista – Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2007.
Tal questão apresenta os seguintes dados, para a sua resolução:
1) Em uma empresa, uma comissão deve ser formada por dois analistas e três técnicos, eleitos pelos demais funcionários.
2) Candidataram à comissão seis analistas e dez técnicos.
3) Pode-se concluir que a situação em tela corresponde a uma Combinação, já que, no contexto apresentado, por exemplo, o conjunto do analista A com o técnico B (A,B) é o mesmo conjunto do técnico B com o analista A (B,A). Logo, percebe-se que a ordem dos elementos não importa neste caso.
Nesse sentido, tal questão deseja saber qual é o número de maneiras distintas para se formar a citada comissão.
Resolvendo a questão
Conforme explanado anteriormente, no contexto apresentado, trata-se de uma Combinação em que se elegerão 2 (dois) analistas dentre um conjunto global formado por 6 (seis) analistas e também se elegerão 3 (três) técnicos dentre um conjunto global formado por 10 (dez) técnicos. Neste caso, cabe destacar que o resultado das combinações deverá ser multiplicado.
Ao serem eleitos os técnicos, o valor de p corresponde a 3 e o valor de n corresponde a 10. A partir disso, deverá ser feito o seguinte cálculo:
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!), sendo que p = 3 e n = 10
C (10,3) = 10! / (((10 - 3)!) * 3!)
C (10,3) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((7!) * 3!)
C (10,3) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 3 * 2 * 1)
C (10,3) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1)
C (10,3) = 720/6
C (10,3) = 120.
Nesse sentido, ao serem eleitos os analistas, o valor de p corresponde a 2 e o valor de n corresponde a 6. A partir disso, deverá ser feito o seguinte cálculo:
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!), sendo que p = 2 e n = 6
C (6,2) = 6! / (((6 - 2)!) * 2!)
C (6,2) = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((4!) * 2)
C (6,2) = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (4 * 3 * 2 * 1 * 2 * 1)
C (6,2) = (6 * 5) / (2 * 1)
C (6,2) = 30/2
C (6,2) = 15.
Por fim, devem ser multiplicados os valores encontrados acima, a partir dos cálculos referentes à combinação.
Assim, tem-se o seguinte:
120 * 15 = 1.800.
Portanto, o número de maneiras distintas, para se formar a citada comissão, corresponde a 1.800.
Gabarito: letra "d".