SóProvas

Prova Marinha - 2019 - CEM - Primeiro Tenente - Para todas as Engenharias

ID
3002611
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Os campos F : R² → R² e G : R² → R² têm derivadas parciais contínuas em todo o plano e, para toda curva fechada, simples, derivável e percorrida no sentido anti-horário y :[0,1] → R², tem-se Φy F. dr = Φy  G .dr. Nessas condições, é correto afirmar que: 

Alternativas
Comentários

  • Quem tiver resolvido coloca obs por favor?

  • Se a curva integral de linha fechada de F é igual a de G, então a integral de linha fechada de F-G = 0.

    Essa é a definição de campo conservativo.

    Logo, F-G é um campo conservativo.

  • Alguém sabe responder o porquê de a A e a D estarem erradas?

  • Alguém sabe responder o porquê de a A e a D estarem erradas?

  • Alguém sabe responder o porquê de a A e a D estarem erradas?

    A) A função F(q) pode ser diferente de G(q) em R², o que não impede da integral de linha fechada de ser igual, pois a integral de linha depende do produto escalar da função com dr.

    B) F-G não necessariamente é constante em alguma direção diferente de dr em todo o plano.

  • "Em , um campo vetorial conservativo é um que é o gradiente de um . Campos conservativos têm a propriedade de sua apresentar independência de caminho, ou seja, a escolha de qualquer caminho entre dois pontos não altera o valor de sua integral de linha." Assim, qualquer caminho F ou G entre dois pontos de r percorrido resulta do mesmo potencial, assim, F e G são campos conversativos.

  • Curva fechada, simples, derivável e percorrida no sentido anti-horário = Teorema de Green

    integral dupla ( Fy/dx - Fx/dy ).da = integral dupla de ( Gy/dx - Gx/dy ). da

    (Fy - Gy)/dx - (Fx-Gx)/dy = 0

    logo,

    (Fy - Gy)/dx = (Fx-Gx)/dy (Condição para um campo ser conservativo)

    Logo,

    F - G é um campo conservativo.

  • A) Não necessariamente seria isso, podem ser diferentes mas integrando dão os mesmos resultados. Mesma ideia de Trabalho, a componente paralela ao caminho que importa, então se a perpendidular for outra, não muda o valor (T=F.d.cos a).

    B) Não precisa ser constante, pode ser variável nas componentes perpendiculares ao caminho.

    C) Tirando as componentes paralelas, não haveria trabalho realizado pelo campo, portanto ele seria conservativo.

    D) F-G gera um campo perpendicular ao caminho, já que eliminou as componentes paralelas ao caminho (pensando em Trabalho novamente). Então se q pertence ao caminho, estaria certo, mas como diz que pode ser qualquer vetor genérico, então está errada.

    E) Não pode ser, pois o valor da integral de linha seria multiplicado também e tem que ser igual.

    Acho que é isso, mas posso estar errado. Eu penso que integral de linha é o mesmo que calcular trabalho, dessa forma fica mais visível.

ID
3002614
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Considere a função f (x) = sin x, π/4 ≤ x ≤ 3π/4 e o conjunto

A = {(x,y) ∈ R² : π/4 ≤ x ≤ 3 π/ 4, 0 ≤ y ≤ /(x)} .Assinale a opção que expressa o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno do eixo dos x. 

Alternativas
Comentários

  • O volume de um sólido em relação ao eixo X é V = pi*int(f(x)²)dx com o intervalo de integração no eixo x.

    Então:

    V = pi*int(sin²(x))dx essa integral só sai por relação trigonométrica, onde:

    sena.senb = 1/2*(cos(a-b) - cos(a+b))

    Assim: V = (pi/2)*int(cos(x-x) - cos(2x))dx

    o primeiro termo fica cos(0) = 1.

    Fazendo a substituição 2x = u e fazendo as integrais resulta.

    pi/2*( x - 1/2*sen2x) variando x de 3pi/4 a pi/4

    pi/2*(3pi/4 - pi/4) + pi/4*sen(2*3pi/4) - pi/4*sen(2pi/4)

    resolvendo tudo (sen(3/2pi) = -1 e sen(pi/2) = 1)

    V = pi/4(pi+2)

    Letra C

ID
3002617
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

A função f : R → R é derivável, f (0) = 0 e g (x) = sin (f(2x)) satisfaz g'(0) = √2 . Então f '(0) é igual a:

Alternativas
Comentários

  • g(x)=sin(f(2x))

    g'(x)=2.f'(2x).cos(f(2x))

    g'(0)=2.f'(2.0).cos(f(2.0) -----> g'(0)=2.f'(0).cos(f(0))

    sqrt(2)=2.f'(0).cos(0)

    f'(0)=sqrt(2)/2. Resposta (B)

ID
3002620
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Sendo R o triângulo no plano 0xy de vértices (0,0), (π, 0), (0,π/ 2) e considerando o sólido S = {(x, y ,z ) ∈ R³ : (x,y) ∈ R, 0 ≤ z ≤ sin x cos y}, assinale a opção que expressa o volume de S.

Alternativas
Comentários

  • Questão um pouco complicada, mas vamos lá.

    A definição do triângulo será:

    0 <= x <= pi

    0 <= y <= (pi-x)/2

    onde (pi-x)/2 é a equação da reta que define y superiormente.

    O volume será a integração dupla de z.

    então vai ficar

    int(int(sin(x)*cos(y))dy)dx.

    onde y vai de 0 a (pi-x)/2 e x vai de 0 a pi.

    Integrando primeiro o y, sinx se comporta como constante, o que leva a primeira integral a ficar:

    sin(x)*sin((pi-x)/2) - sin(x)*sin(0).

    A segunda parte irá zerar e sin((pi/2 - x/2) é o mesmo que cos(x/2) e assim o fim da primeira integração vai ficar como:

    sin(x)*cos(x/2).

    Agora integrando de novo em relação a x (de 0 a pi)

    teremos que fazer uma substituição trigonométrica se não a integral não sai. Então:

    sin(x)*cos(x/2) = (1/2)*sin(x+x/2) + 1/2*sin(x-x/2) = 1/2*sin(3x/2) + 1/2*sin(x/2)

    Agora a integração ficou fácil.

    Fazendo as devidas substiuições em u e integrando em x de 0 a pi

    -1/3*cos(3pi/2) +1/3*cos(0) + (-cos(pi/2) + cos(0))

    o primeiro e o terceiro termo zeram, ficando

    1/3*1 + 1 = 4/3

    resposta letra B

  • Para realizar a questão, também é possível substituir por uma identidade mais fácil,

    sen 2x = 2sen(x)cos(x)

    sen x = 2sen(x/2)cos(x/2)

    V = x variando de 0 a pi de 2(sen(x/2)cos^2(x/2)dx , faz as substituições certinho que também chega em 4/3

  • Felipe da onde vem (pi-x)/2 ??

ID
3002623
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Um espião roubou um documento altamente confidencial do governo e escondeu-o num prédio de apartamentos de 16 andares, em que cada andar tem 4 apartamentos, numerados como 10 j + k, em que j è o andar do apartamento e k ∈ {1,2,3,4). Um agente secreto foi designado para recuperar o documento e descobriu que a probabilidade de o espião ter escondido o documento num apartamento do 10° andar é 2/3 e que, com probabilidade 3/8 , o número desse apartamento é múltiplo de 3. Além disso também descobriu que a probabilidade do número do apartamento procurado ser par é 4/5.

Sabendo que essas informações são independentes entre si, assinale a opção que apresenta o número do apartamento em que há maior probabilidade de o documento estar escondido e essa probabilidade. 

Alternativas
Comentários

  • apto 104: 2/3 x 5/8 x 4/5 = 1/3

    Atenção na probabilidade do apto 104 não ser um múltiplo de 3 (essa é a sacada do problema).

    Letra: D

  • Perfeito, Isaac! Obrigado!

  • Por que não pode ser a letra B?

  • Acho que essa questão deveria ter sido anulada. Pode-se chegar a dois valores distintos usando dois raciocínios diferentes e corretos. Alguém mais teve essa impressão?

    O conjunto de andares de décimo: 10 = {101;102;103;104}

    Conjunto de números pares e do décimo andar: P ꓵ  10 = {102;104}

    Conjunto de números múltiplos de 3 e do décimo andar: M3 ꓵ 10 = {102}

    Conjunto de números múltiplos de 3, do décimo andar e par: M3 ꓵ 10 ꓵ P = {102}

    Pela regra da multiplicação: P (M3 ꓵ 10) = P(10) * P(M3/10)  

    Sendo eventos independentes, como foi dito: P (M3 ꓵ 10) = P({102}) = P(10) * P(M3) = 2/3 *3/8 =2/8

    Por outro lado, considerando a probabilidade de ser par, do décimo andar e múltiplo de 3:

    P (M3 ꓵ 10 ꓵ P) = P({102})= 2/3*3/8*4/5= 1/5

    Portanto, chega-se a dois valores diferentes da probabilidade de estar no apartamento 102 usando dois raciocínios corretos e distintos.

    Pode-se calcular a probabilidade de ser par e do décimo andar: P (P ꓵ  10) = 2/3*4/15 = 8/15

    E se chegar, a partir desse resultado, ao valor da probabilidade de estar no apto 104, subtraindo a probabilidade de estar no apto 102, uma vez que são eventos mutuamente excludentes.

    Por um raciocínio acha-se o valor de 17/60; por outro, de 1/3, o gabarito. 

ID
3002626
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

A transformação linear T : R³ → R³,

T (x,y z)=(y+ λz, X+λy, X-2y + z)

é injetora, então é correto afirmar que:

Alternativas
Comentários

  • Para que uma transformação seja injetora, o determinante da matriz associada a transformação linear deve ser diferente de zero.

    [x,y,z] -> [matriz].[x,y,z] = [y+ λz, X+λy, X-2y + z]

    A matriz é:

    0 1 λ

    1 λ 0

    1 -2 1

    O determinante dessa matriz é a função do segundo grau:

    λ² +2 λ+1 = 0, cuja única raíz é -1.

    Logo, λ deve ser diferente de -1 para que a função seja injetora.

    Respota: e

  • Eu fiz de outra maneira, sem ser por matriz, vou colocar pra ajudar também. Para ser uma transformação injetora o núcleo da transformação deve ser zero, então:

    y= -λz

    x+λy=0

    x+ λ * (-λz)= 0

    x- λ ^2z=0

    x= λ ^2z

    x-2y+z=0

    λ ^2z+ 2yz +z= 0

    Colocando o z em evidência:

    z*( λ ^2 + 2y+ 1)= 0

    Fazendo báskara achamos

    λ = -1 ( que deve ser diferente)

  • Se T é injetora, preciso pegar a transformação e colocar na forma canônica (a mais simples de todas):

    e1=(1,0,0) ou i ; e2=(0,1,0) ou j ; e3=(0,0,1) ou k => lembrando que esses são os versores unitários na direção x,y,z

    I) Pegando a transformação e colocando na forma canônica

    (x,y,z) = xe1 + ye2 + ze3 => T(x,y,z) = xT(e1) + yT(e2) + zT(e3) => T(x,y,z)=x(0,1,1) + y(1,λ,-2) + z(λ,0,1)

    No próximo passo iremos montar uma matriz canônica e multiplicar por x,y,z. Ou seja uma multiplicação de matrizes que vai mult. a linha x coluna respectiva (x,y,z). Então atente-se a isso quando for montar. Por exemplo a 1ª coluna ficará todos q vamos multiplicar por x. A segunda coluna todos que vamos multiplicar por y. A terceira coluna todos que vamos multiplicar por z. Safo?

    II) Seguindo o que o FELINTO NETO disse:

    T[x,y,z] -> [matriz canônica].[x,y,z] = [y+ λz, X+λy, X-2y + z]

    Lembre que o det(T) ≠ 0 para que a transformada seja injetora e a base seja LI, fazendo por sarrus vai achar uma raiz dupla = -1.

ID
3002629
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

A equação diferencial linear y" + λ y = 1, com λ ∈ R, tem todas as soluções limitadas em R. Sendo assim, é correto afirmar que:

Alternativas
Comentários

  • Alguém pode me ajudar com essa questão, por favor? Já tentei por EDO não homogênea mas não consegui chegar na resposta do gabarito.

  • Faça a solução homogênea e verá que terá raízes complexas conjugadas. Para isto Lambda precisa ser >0. Por que queremos raízes conjugadas? Quando se tem raízes conjugadas a solução homogênea é do tipo Yh=e^at(C1cos(bt)+sen(bt)), para a raiz encontrada +-raiz(lambda) tiramos a=0 e b=raiz(lambda). Substituindo em Yh=e^0t(C1cos(raiz(lambda)t)+sen(raiz(lambda)t) pronto. Esta solução homogênea e limitada no eixo das ordenadas. E só foi possível quando Lambda e maior que 0. Qualquer um dos outros 2 casos resulta em exponencias e graficamente uma exponencial nao e limitada nas ordenadas. Veja no linka a função esperada limitada em Y. https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3De%5E0*%28sin+x+%2B+cos+x+%29

  • Tiago, agora entendi.. Eu não tinha atentado ao fato que as solução sao limitadas.

  • Acredito que esta questão foi digna de ser anulada. Mas como foi feita pela banca altamente especializada da Marinha ne. Não faz o menor sentido essa questao.

  • Tiago, portanto, diante da sua explicação, o enunciado está mal colocado, não sei como eles deveriam ter escrito isso, mas o fato de ter informado que as soluções estao limitadas em R, diga-se, o conjunto im (t) { - inf a + inf } ou + inf, ou - inf., isso deveria ter sido escrito no enunciado! Eles não definiram "exceto: R+ ou R-". Uma questão simplesmente pro candidato não ganhar ponto.

  • "Solução Limitada", ou seja y (t ->∞) = Limitada ≠ ∞

    I) Análise da EDO

    y" + λ y = 1 => É uma EDO NÃO HOMOGÊNEA. Como solucionamos? y(x) = yh(x) + yp(x).

    Pelo método de coef a determinar, vamos ver que o "1" pertence a família de uma constante - chamaremos de A.

    II) Determinando a yh e yp

    • i) Caso Homogêneo:

    Eq. Característica: r² + λ = 0 ; a=1, b=0, c=λ => Δ=-4λ

    • ii) Caso Particular:

    yp(x) =A => y'=0 ; y''=0

    • iii) Famoso substitui e iguala:

    0+λA=1 => A=1/λ

    III) Analisar os 3 casos de solução de uma EDO

    i) Δ>0 ; ii) Δ=0 ; iii) Δ<0

    Avaliando iii) Δ=-4λ < 0

    r = [+- sqrt(-4λ)] / 2 => r = +- 2/2 [sqrt (-1) . sqrt (λ)] => r = +- i sqrt (λ)

    Então o λ > 0 para satisfazer essa relação, safo? pois r = +- sqrt (-(λ>0)) => essa relação é < 0

    Temos que r = +- i sqrt (λ) , o alfa será 0 e beta será o raiz de λ ; Daí joga na solução do caso 3.

    y(x) = C1cos(sqrt (λ)x) + C2sen(sqrt (λ)x) + yp

    IV) Observe o cos/sen

    São funções que tem valores máximos e mínimos de 1 e -1, e como sabemos uma função limitada é quando é diferente de infinito, ou seja, realmente o λ > 0.

    Não sendo necessário analisar os outros casos, porém já sabemos que serão ILIMITADAS, ou seja vão explodir, indo para o INFINITO.

ID
3002632
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Física
Assuntos

Um trem move-se com velocidade constante e não nula em uma estrada de ferro retilinea e horizontal. Um observador sentado em um vagão do trem vê uma bola mover-se dentro do trem em um movimento retilíneo vertical. Nessas condições é correto afirmar que um observador em repouso numa plataforma do lado de fora do trem vê essa bola mover-se em movimento;

Alternativas
Comentários

  • Entendo que não se pode afirmar que a bola que se move no vagão faz uma trajetória única de subida e descida. Sendo assim, não se pode afirmar que a trajetória, do lado de fora, é vista como uma trajetória parabólica, sendo apenas uma das opções.

    Pode-se afirmar que, devido ao movimento do vagão e, consequentemente da bola, a trajetória não é retilínea uniforme em sua totalidade. O movimento é oblíquo.

    Gabarito: A

  • O problema dessa questão está no fato de ela não ter dito se desprezaria o ar dentro do vagão ou não. Se o ar (força de arrosto) for desprezada, então as componentes x (velocidade do trem que dá a impressão do movimento horizontal) e y (movimento retilinio vertical da bola) são independentes e consequentemente a trajetória descrita por um observador fora do trem seria idêntica à de um movimento de projétil (parabólica). Entretanto, se a resistência atmosférica fosse levada em consideração, a dependência das componentes da aceleração sobre a velocidade teria de ser estabelecida antes que uma integração das equações pudesse ser realizada. O que não daria um movimento parabólico.

ID
3002635
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Física
Assuntos

Dois capacitores, um de 5μF e outro de 3μF, estão ligados em série e sujeitos a uma tensão 80V. A energia armazenada nessa associação é de:

Alternativas
Comentários

  • Associação em série do capacitor é como se fosse em paralelo do resistor

    C(eq) = 5μ.3μ / (5μ+3μ)

    C(eq) = 15μ / 8μ

    C(eq) = 1,875μ

    μ = 10^-6

    E = (C.U²)/2

    E = 1,875μ x 80² / 2

    E = 6000μJ

    Estranho, porque a resposta é em Joule e não μ J ?

    foi anulada ?

ID
3002638
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Física
Assuntos

Num campo magnético uniforme não nulo B, de direção e sentido do eixo Ox, são lançadas, a partir da origem, três partículas iguais, de mesma carga q > 0. A primeira é lançada com velocidade v1 ≠ 0 perpendicular ao campo B, a segunda com velocidade v2 ≠ 0 de mesma direção e sentido de B, a terceira com velocidade v3 = v1 + v2. Para cada n = 1, 2, 3, a trajetória da enésima partícula é descrita por un(t) = (xn(t),yn(t),Zn(t)), t ≥ 0. Sendo assim, desprezando-se a influência de cada partícula no movimento das outras duas, é correto afirmar que:

Alternativas
Comentários

  • Podemos analisar da seguinte maneira, temos um plano XYZ, porém isso não vêm ao caso, traçando o vetor B na mesma direção que o vetor 0X temos que v1 faz 90 graus, v2 faz 0 grau e v3 faz um ângulo teta qualquer, decompondo o v3, teremos componentes tanto em x quanto em y, e que v3x está na mesma direção que v2 , logo x2(t) = x3(t), que v1 está na mesma direção que v3y, logo y1(t) = y3(t) e somente terá movimento em Z a componente que está perpendicular e a componente que faz ângulo BxL, logo: z1(t) = z3(t), essa foi a minha explicação se alguém tiver uma boa fique à vontade

  • Excelente comentário, meus parabéns. Somente para agregar o comentário, v1 faz 90 e realiza um movimento circular uniforme entre as cargas. Existe um força centrípeta que aponta para o centro da trajetória. desenhando fica mais fácil de entender.

    Em v2, que temos um movimento retilíneo uniforme, podemos ter 0 graus e 180 graus, por isso só tem movimento na direção de x.

    Já em v3, que é v1+v2, e temos por definição que MCU+ MRU= Movimento harmônico simples, podendo ter qualquer ângulo.

    só ressaltei essa questão dos ângulos, pra quando for estudar o exercício, ficar mais fácil de compreender, apesar da questão não ser nada fácil kkkk

ID
3002641
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Física
Assuntos

Um ponto material de massa m move-se no plano 0xy de eixos perpendiculares, sob a ação exclusiva de um campo de forças central. No instante t0 = 0 o ponto está na posição (1,1) do plano com velocidade (1,-1). Se no instante t1 > 0 esse ponto está na posição (-2,1) com velocidade (1,λ), então λ é igual a:

Alternativas
Comentários

  • Alguém fez?

  • Pensando que o tempo em que o movimento ocorrerá será o mesmo nas duas coordenadas, temos:

    V=S/t --> t=s/v.

    Em vetores: (1,1)/(1,-1)=(-2,1)/(1,λ)

    A divisão de vetores é o mesmo de produto escalar de um por inverso do outro, no primeiro termo encontra-se:

    1+(-1)=0

    Então, -2/1+1/λ=0.

    λ=1/2.

    Gabarito D.

    Se encontrar algum erro, por favor, corriga. Vlw.

  • Campo de forças centrais é conservativo, logo R x V = constante (Produto vetorial)

    (1i + 1j + 0k) x (1i - 1j + 0k) = (-2i + 1j + 0k) x (1i + λj + 0k)

    -2 k = - (2λ + 1)k

    λ = 1/2

  • "Um campo de forças central"; bom, sabemos que existe uma força central que aponta para o centro e faz com que o Mom. Angular se conserve - i.e. o Momento Angular é conservado com a Força Central.

    Tbm sabemos q o Mom. Angular é dado por: L = r x p, onde p é o mom. linear. Ou seja, L=r x (mv) => L = m.r x v

    Note que usei a notação de produto vetorial (x).

    É mais comum conhecermos a Conversação do Momento Linear/ Quant. de Movimento => p=p0 ou Q=Q0(tanto faz), ele é análogo a Conservação do Momento Angular.

    Então,

    L = L0

    Assim: r0 x m.v0 = r1 x m.v1 => r0 x v0 = r1 x v1 (Produto Vetorial que iremos fazer por Sarrus, safo?)

    Onde: r0 = (1,1) ; v0 = (1,-1) ; r1 = (-2.1) ; v1 =(1,λ)

    Uma dica, monta antes os termos: ( - )i + ( - )j + ( - )k = ( - )i + ( - )j + ( - )k

    Agora desenvolva, (0-0)i+(0-0)j+(-1+-1)k = (0-0)i+(0-0)j+(-2λ-1)k

    Com o efeito,

    -2k = -(2λ+1)k => λ = 1/2

ID
3002644
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Física
Assuntos

Um ponto P1 material de massa 1Kgr move-se no plano 0xy na circunferência de equação x²+ y² = 1 ligado por uma mola de constante elástica K e comprimento natural 1 /4 a um ponto material P2 de massa 1 Kg, que se move no mesmo plano na circunferência de equação x² + y² = (5/4)². Em um instante t0 o ponto P1 está em (1,0) com velocidade (0,√K/2) e P2 está em (5/4,0) com velocidade nula. Se para t ≥ t0 a única força que age no sistema é a força exercida pela mola que une os pontos, que obedece à lei de Hook, então num instante t1 > t0, em que a distância entre P1 e P2 é máxima, a medida em radianos do ângulo entre os segmentos OP1 e P1P2 é igual a:

Alternativas
Comentários

  • Alguém sabe essa?

  • Como a única força atuante é a força elástica, então as únicas energia envolvidas no sistema são a energia potencial elástica e a energia cinética. No início (em t₀=0), a distância entre P₁ e P₂ é de 5/4-1=1/4, ou seja, a mola está em seu comprimento natural e não há energia potencial elástica. Mas P₁ apresenta velocidade v=√K/2, então o sistema apresenta energia cinética. No instante t₁>t₀ em que os pontos estiverem à maior distância possível, toda a energia cinética será convertida em energia potencial elástica da mola. Dessa forma, pela conservação da energia:

    Ec=Ep

    m.v²/2=K.x²/2

    1.(√K/2)²/2=K.x²/2

    K/8=K.x²/2

    x²=1/4

    |x|=1/2

    Como 1/2>1/4, não é possível que essa deformação seja de compressão. Dessa forma, a mola deve ter sofrido uma extensão de 1/2. Seu comprimento final deve ser então L=L₀+x=1/4+1/2=3/4.

    Sabendo as distâncias OP₁=1, OP₂=5/4 e P₁P₂=L=3/4, podemos calcular o ângulo entre os segmentos OP₁=1 e P₁P₂ pela lei dos cossenos, aplicada no triângulo OP₁P₂ em relação ao ângulo desejado:

    (OP₂)²=(OP₁)²+(P₁P₂)²-2.(OP₁).(P₁P₂).cos(θ)

    (5/4)²=(1)²+(3/4)²-2.(1).(3/4).cos(θ)

    25/16=1+9/16-(3/2).cos(θ)

    0=-(3/2).cos(θ)

    cos(θ)=0

    θ=π/2

  • Eu sei que na hora da prova não temos muito tempo para isso, mas eu sugiro que desenhe o esquema apresentado, com os seus respectivos pontos e a velocidade indicada como um vetor.

    Percebemos que o ponto P2 está parado, e que o P1 só apresenta velocidade no eixo de y. Os pontos P1 e P2 estão no mesmo eixo das abcissas. Como P1 apenas vai se movimentar no eixo das ordenadas, y, é fácil perceber que a maior distância entre os pontos é quando estes dois estiverem paralelos ao eixo de y. Não sabemos qual o valor da deformação máxima da mola, mas ela acontecerá justamente quando o ângulo entre os pontos é ortogonal, pi/2.

    Um caso: imagine que o ponto P2 está fixo, com há uma mola os ligando, a trajetória de P1 seguirá a de uma elipse, mas a maior distância dessa elipse é quando P1 estiver no ponto mais alto, e seu ângulo entre eles é ortogonal. Caso P2 não for fixo, P1 seguirá subindo e P2 vai se movimentar para esquerda, e novamente, a maior altura de P1 for ortogonal.

    Espero ter sido claro no pensamento. Se houver algum erro, por favor, indique.

    Bons estudos.

ID
3002647
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Física
Assuntos

Um mol de gás perfeito e monoatômico sofre uma transformação adiabática em que a variação da energia interna entre os estados inicial e final é 300R onde R é a constante universal dos gases perfeitos. Se a temperatura do gás no estado final é igual a 300K, assinale a opção que fornece a temperatura do gás no estado inicial.

Alternativas
Comentários

  • Eint final = 3/2*n*R*Tf

    Eint final = 3/2*R*300

    Eint final = 450R

    Eint inicial - Eint final = 300R (atenção que o enunciado diz "entre os estados inicial e final é 300R")

    Logo, Eint inicial = 750R.

    Sendo assim,

    Eint incial = 3/2*n*R*Ti

    750R = 3/2*R*Ti

    Ti = 500k

    Letra: E

  • Alternativa correta: letra A

    Confira o gabarito

    300R=3/2*1*R*(300-Ti)

    Ti=100K

  • O gabarito, aqui na página da qconcursos, está aparecendo como se fosse a Letra E, mas no gabarito oficial houve uma alteração, o que tornou a Letra A como a resposta correta.

  • U = 3/2nRT

    300R = 3/2.1.R.(300-Ti)

    300.2/3 = 300 - Ti

    200 - 300 = -Ti

    -100 = -Ti

    Ti = 100

    Gabarito equivocado, o certo é letra A

  • Denunciem a questão ao qconcursos.

ID
3002650
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Física
Assuntos

Sobre uma plataforma cilíndrica de raio R com altura H em relação ao solo constrói-se um tanque cilíndrico com mesmo raio R e altura 3/7. Esse tanque está totalmente cheio de água e em sua lateral faz-se um pequeno orifício circular situado a uma distância h do topo do tanque, por onde a água escapa atingindo o solo em um ponto A. Admitindo que a única força que age no sistema é a força da gravidade, suposta constante no local, assinale a opção que expressa o valor de h para o qual o ponto A esteja o mais distante possível do cilindro.

Alternativas
Comentários

  • O enunciado foi escrito errado, o correto é "mesmo raio R e altura 3H"

  • Como a resposta pode ser a D se a maior velocidade é com a alternativa E

  • Erick, o enunciado pede pela maior distância e não maior velocidade.

    Fazendo um balanço de energia, temos que Vx=sqrt(2gh).

    O tempo de queda livre será de t=sqrt(2(4H-h)/g).

    Visto que a distância em X será Vx.t, temos X(h)=2sqrt(4Hh-h²).

    Derivando X(h) e igualando a zero, encontramos o ponto de máximo h=2H, letra D)

  • A velocidade em x é sqrt(2gh) e quando chegar no ponto A, o ângulo formado para ter a maior distância em x será de 45 graus. Portanto o Vy em A será sqrt(2gh) já que o Vx não modifica.

    Usando a equação: Vyfinal² = Vyinicial² + 2g(S-So) => 2gh = 2g(4H -h). Agora só isolar o h.

  • Fiz por torricelli e saiu bem rapidinho:

    Pela própria teoria de torricelli, a velocidade de saída no orificio é: V² = 2gh.

    Aplicando a equação de torricelli: V² = Vo² + 2gY, onde Y = 4H - h, como Voy é zero, teremos:

    2gh = 2g(4H - h), portanto: h = 2H, letra D

  • Há outra visão para o problema:

    Imagine que o alcance da água no chão, onde ficará molhado, avança até um certo ponto e depois recua, para todo h que diminui na altura. Isso nos sugere um perfil parabólico.

    Seria uma função p(y)=-ay^2+by. As suas raízes seriam 0 e 4H. O alcance máximo seria no vértice que a tangente é igual a zero, ou da já conhecida -b/2a ou ainda pela média aritmética das raízes (4H+0)/2 -->2H

    Resposta D.

ID
3002653
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Física
Assuntos

O plano 0xy tem eixos perpendiculares e o eixo dos y é vertical e aponta para cima. Nesse plano há uma rampa de comprimento 2 com uma extremidade na origem, a outra no interior do primeiro quadrante e o ângulo entre o semieixo x ≥ 0 e essa rampa é π/3 radianos.

Um ponto material P de massa m vai movimentar-se nesse plano e no instante t0=0 está na origem com velocidade V0 = λ(1, √3) com λ >0.

Então o ponto começa a percorrer a rampa em um movimento uniformemente acelerado com aceleração α=(1,√3) até atingir a extremidade da rampa localizada no interior do primeiro quadrante e, a partir desse instante, move-se sob a ação exclusiva da força peso.

Considerando que a aceleração da gravidade local é g=10m/seg² que, 2√3/5 segundos após abandonar a rampa, P está em um ponto de coordenadas (p,√3), em que p>1, é correto afirmar que K é igual a: 

Alternativas
Comentários

  • Parte I - Percurso sobre a rampa: movimento retilíneo uniformemente variado [vai do ponto (0, 0) ao ponto (1, √3)]

    1. Módulo da aceleração

    a = √[1² + (√3)²] = √(1 + 3) = 2

    2. Módulo da velocidade inicial

    v0 = √[λ² + (λ√3)²] = √{λ²[1² + (√3)²]} = √λ² ⋅ √[1² + (√3)²] = 2λ

    3. Velocidade final

    v² = v0² + 2aL = (2λ)² + 2⋅2⋅2 = 4λ² + 8

    v = √(4λ² + 8)

    com L: comprimento da rampa

    4. Componente y da velocidade final

    vy = v ⋅ sen(π/3) = (v⋅√3)/2 = [√(4λ² + 8)⋅√3]/2 = [√(12λ² + 24)]/2

    Parte II - Lançamento oblíquo com início no ponto (1, √3).

    A questão dá o tempo necessário para que a nova posição seja (⍴, √3) com ⍴ > 1. Ou seja, na mesma altura y = √3.

    M.R.U.V. no eixo y

    y - y0 = v0y ⋅ t + (at²)/2

    sendo y - y0 = 0, então

    v0y ⋅ t + (at²)/2 = 0

    v0y ⋅ t - (gt²)/2 = 0

    v0y = (gt)/2 = 5t = 5⋅(2√3)/5 = 2√3

    v0y = 2√3

    Lembrando que a velocidade inicial do lançamento oblíquo coincide com a velocidade final do percurso sobre a rampa, logo:

    2√3 = [√(12λ² + 24)]/2

    4√3 = √(12λ² + 24)

    16⋅3 = 12λ² + 24

    4 = λ² + 2

    λ² = 2

    λ = √2

    Gabarito: A

ID
3002656
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Física
Assuntos

Um fio circular no plano xy, com centro na origem e raio d=1, está uniformemente carregado com carga total Q=8. Admitindo que esse fio está no vácuo e considerando as unidades no Sistema Internacional, assinale a opção que fornece a força elétrica que age numa partícula de carga q=2 colocada no ponto (0,0,-1), 

Alternativas
Comentários

  • Se a carga 1 (Q) estiver na origem e a carga 2 (q) no ponto com coordenadas cartesianas (x,y,z), a força de Coulomb toma a forma:

    F = (1 / (4piEo) ) x (Q.q / (x² + y² + z²)^3/2) x (x,y,z)

    Obs.: I) (x² + y² + z²)^3/2 => refere-se à carga Q, onde se tem x=y=1 e z=0, já que o centro da mesma se encontra na origem do plano Oxy e seu raio é 1.

    II) (x,y,z) são as coordenadas de q, dadas no enunciado do problema (0, 0, -1)

    Logo, para Q=8 e q=2:

    F = (1 / (4piEo) ) x (8.2 / (1² + 1² + 0²)^3/2) x (0,0,-1)

    F = (1 / (4piEo) ) x (16 / (2)^3/2) x (0,0,-1)

    F = (1 / (4piEo) ) x ( 16 / (2 . sqrt(2)) ) x (0,0,-1)

    F = (16 / ( (4piEo) . (2 . sqrt(2) ) x (0,0,-1)

    F = (16 / ( ( 8 . pi . Eo . sqrt(2) ) x (0,0,-1)

    F = (2 / ( pi . Eo . sqrt(2) ) ) x (0,0,-1)

    Como se tem "raiz de 2" (sqrt(2)) no denominador, é necessário racionalizar multiplicando por "sqrt(2) / sqrt(2)", obtendo assim:

    F = (2 . sqrt(2) / ( pi . Eo . 2) ) x (0,0,-1)

    F = (sqrt(2) / ( pi . Eo) ) x (0,0,-1)

    F = (sqrt(2) / ( pi . Eo) ) x -1 . (0,0,1)

    F = ( - sqrt(2) / ( pi . Eo) ) x (0,0,1)

    Resposta: Letra B

ID
3002659
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Física
Assuntos

Uma esfera de madeira com densidade 0,2 g/cm³ e raio 3 cm flutua na água, cuja densidade é de 1,0 g/cm³. Sendo assim, a opção que expressa, em cm³, o volume da parte da esfera que fica imersa na água é:

Alternativas
Comentários

  • Isso tudo está em equilíbrio, portanto:

    Empuxo = Força Peso

    d(liquido)= dł V(imerso)= Vį d(objeto)= dø V(objeto)=Vø

    dł . Vį . g = m.g d=m/Vø ----> m=dø.Vø

    dł . Vį . g = dø . Vø . g

    *Vø=4/3 pi.R^3 ---> . 4/3.27.pi ----> 36pi [volume da esfera]*

    1 . Vį = 0,2 . 36pi

    Vį= 7,2 pi

    GABARITO: C

  • Por regra de três também sai!

    V = 4/3.π.r³

    V = 4/3.π.27

    V = 36π

    Reparem que a densidade da esfera é igual a 1/5 da densidade água.

    Se a densidade da esfera fosse 1,0 g/cm³ ela afudaria 36π, que é seu volume total. Já que a densidade da esfera é 0,2 g/cm³, quanto do seu volume vai afundar?

    1 ----- 36π

    0,2 --- x

    x = 36π.0,2

    x = 7,2π

    GABARITO: LETRA C

  • Outro jeito de calcular

    V = 4/3.π.r³

    V = 4/3.π.27

    V = 36π

    (dcorpo/dlíquido) = (Vimerso/Vtotal)

    (0,2/1)=(Vimerso/36π)

    Resultado 7,2 π