A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à Análise Combinatória.
A Análise Combinatória, na Matemática, pode ser dividida, de uma forma geral, em Combinação e Arranjo.
Pode-se definir a Combinação da seguinte forma: contagem das possibilidades da composição de determinado subconjunto formado por p elementos distintos a partir de um conjunto global formado n elementos distintos. Vale ressaltar que, na Combinação, a ordem dos elementos não importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é o mesmo conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo da Combinação é a seguinte:
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “C” a Combinação.
Nesse sentido, é possível definir o Arranjo da seguinte forma: cálculo da quantidade de possibilidades para se formar um agrupamento ordenado de p elementos distintos dentre um conjunto global formado n elementos distintos. Frisa-se que, no Arranjo, diferentemente da Combinação, a ordem dos elementos importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é diferente do conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo do Arranjo é a seguinte:
A (n,p) = n! / ((n – p)!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “A” o Arranjo.
Por fim, importa salientar que a expressão “!” significa fatorial, ou seja, a seguinte multiplicação:
n! = n * (n - 1) * (n – 2) * ... * 1.
A título de exemplo, segue a fatoração do número “5”:
5! = 5 * (5 – 1) * (5 – 2) * (5 – 3) * (5 – 4) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Referências Bibliográfica:
1. MORGADO, Augusto C.; CARVALHO, João B. P. de; CARVALHO, Paulo Cezar P.; FERNANDEZ, Pedro – Análise Combinatória e Probabilidade – 9ª ed. – Rio de Janeiro, SBM, 1991.
2. SANTOS, José Plínio O.; MELL, Margarida P.; MURARI, Idani T. C. – Introdução à Análise Combinatória – 4ª edição revista – Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2007.
Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:
1) Uma empresa dispõe de 12 seguranças ao todo, dentre eles, João e José.
2) Os seguranças trabalham diariamente, em três turnos, quatro em cada turno.
3) João avisou que irá ao médico na próxima 2ª feira pela manhã, portanto não poderá trabalhar no 1º turno.
Logo, para o 1º turno da 2ª feira de manhã, restam 11 seguranças como opções, para o preenchimento de 4 vagas.
4) José já foi escalado para trabalhar no 1º turno da próxima 2ª feira. Logo, para o 1º turno da 2ª feira de manhã, restam 10 seguranças como opções, para o preenchimento de 3 vagas.
Por fim, frisa-se que a questão deseja saber de quantos modos distintos os demais integrantes do 1º turno da 2ª feira de manhã poderão ser escolhidos, sabendo-se que, para esse turno, José já foi escalado, João não poderá trabalhar em tal turno e que restam 10 seguranças como opções, para o preenchimento das 3 vagas restantes.
Resolvendo a questão
Levando em consideração a explicação acima, pode-se afirmar que, na situação em tela, trata-se de uma Combinação, já que, por exemplo, o conjunto do segurança A com o segurança B (A,B) é o mesmo conjunto do segurança B com o segurança A (B,A). Logo, percebe-se que a ordem dos elementos não importa neste caso.
Para se chegar à quantidade de modos distintos nos quais os demais integrantes do 1º turno da 2ª feira de manhã poderão ser escolhidos, deve-se realizar uma combinação na qual de 10 seguranças são escolhidos 3, resultando a seguinte operação, com os seguintes valores:
n = 10 (total de seguranças)
p = 3 (número de seguranças os quais serão escolhidos)
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!)
C (10,3) = 10! / (((10 - 3)!) * 3!)
C (10,3) = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 / ((7!) * 3!)
C (10,3) = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 / ((7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) * 3 * 2 * 1)
C (10,3) = 10 * 9 * 8 / 3 * 2 * 1
C (10,3) = 720/6
C (10,3) = 120.
Portanto, os demais integrantes do 1º turno da 2ª feira de manhã poderão ser escolhidos de 120 maneiras distintas.
Gabarito: letra "a".