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Questões de Desigualdades estatísticas (Markov, Tchebycheff, Bernoulli)

ID
58744
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRT - 17ª Região (ES)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere que Y seja uma variável aleatória de Bernoulli
com parâmetro p, em que p é a probabilidade de uma ação
judicial trabalhista ser julgada improcedente. De uma amostra
aleatória simples de 1.600 ações judiciais trabalhistas, uma
seguradora observou que, em média, 20% dessas ações foram
julgadas improcedentes.
Com base nessa situação hipotética, julgue os próximos itens.

O erro padrão para a estimativa da probabilidade p, segundo a estatística de Wald, é superior a 0,15.

Alternativas
Comentários

  • var = p(1-p) = 0,2*0,8 = 0,16
    s = raiz de var = 0,4
    erro padrão da estimativa = s / raiz de n = 0,4 / raiz de 1600 = 0,01
    http://www.brasilescola.com/matematica/erro-padrao-estimativa.htm

  • Erro padrão é a mesma coisa que desvio padrão, então o desvio padrão amostral é igual a:

    raiz[ (p . q) / n ]

    em que:

    p = probabilidade de sucesso = 0,8 ou 8/10

    q = probabilidade de falha = 0,2 ou 2/10

    n = número total da amostra = 1600

    logo: (deixem em formato de fração que facilita na hora das contas)

    raiz[ (8/10 . 2/10) / 1600]

    *multiplica o que está em cima com o que está em cima, o que está em baixo com o que está em baixo*

    raiz[ (16/100) / 1600]

    *multiplica a 1ª fração pelo inverso da 2ª*

    raiz[ (16/100) . (1/1600) ]

    *faz os cortes do que da pra cancelar*

    raiz[ 1/10000 ] = 1/100 = 1% = 0,01

    Inferior a 0,15, portanto, ERRADA

ID
58750
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRT - 17ª Região (ES)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere que Y seja uma variável aleatória de Bernoulli
com parâmetro p, em que p é a probabilidade de uma ação
judicial trabalhista ser julgada improcedente. De uma amostra
aleatória simples de 1.600 ações judiciais trabalhistas, uma
seguradora observou que, em média, 20% dessas ações foram
julgadas improcedentes.
Com base nessa situação hipotética, julgue os próximos itens.

O terceiro e o quarto momentos - ou momentos nãocentrais, ou momentos em torno da origem - da distribuição Y são iguais.

Alternativas
Comentários

  • o Momento de ordem n, na estatística, é dada pela esperança da variável elevada a n, E[x^n].

    e, por Y se tratar de uma variável de bernoulli, E[x] = E[x^n] para todo n.

    Logo, os momentos são iguais.

ID
58753
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRT - 17ª Região (ES)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere que Y seja uma variável aleatória de Bernoulli
com parâmetro p, em que p é a probabilidade de uma ação
judicial trabalhista ser julgada improcedente. De uma amostra
aleatória simples de 1.600 ações judiciais trabalhistas, uma
seguradora observou que, em média, 20% dessas ações foram
julgadas improcedentes.
Com base nessa situação hipotética, julgue os próximos itens.

A distribuição amostral do número de ações judiciais trabalhistas julgadas improcedentes segue uma distribuição binomial.

Alternativas
Comentários
  • A afirmativa está correta devido a correlação entre distribuição binomial e  a variável aleatória de Bernoulli, ou seja, apenas duas possibilidades.

    "Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de n tentativas tais que as tentativas são independentes; cada tentativa resulta apenas em duas possibilidades, sucesso ou fracasso (a que se chama de tentativa de Bernoulli); a probabilidade de cada tentativa, p, permanece constante."
    http://pt.wikipedia.org/wiki/Distribuição_binomial

  • Veja que temos n = 1600 tentativas. Aqui o “sucesso” é a ação ser julgada improcedente, afinal é essa a distribuição que o enunciado propôs. Temos que a probabilidade de sucesso é p = 20%. Portanto, temos uma distribuição binomial com parâmetros n = 1600 e p = 20%. Item CORRETO.

    Resposta: C

  • Comentário do Professor Arthur Lima do Direção Concursos:

    Veja que temos n = 1600 tentativas. Aqui o “sucesso” é a ação ser julgada improcedente, afinal é essa a distribuição que o enunciado propôs. Temos que a probabilidade de sucesso é p = 20%. Portanto, temos uma distribuição binomial com parâmetros n = 1600 e p = 20%. Item CORRETO.

  • O ensaio de Bernoulli consiste em realizar um experimento aleatório uma só vez e observar se certo evento ocorre ou não. Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli, com a mesma probabilidade de ocorrência de “sucesso” , dão origem ao modelo Binomial.

    Professora Tarciana Liberal. UFPB

  • Só lembrar que o Binomial nada mais é que vários ensaios de Bernoulli

  • É só lembrar que na distribuição de bernoulli, é admitido apenas dois resultados possíveis(sucesso ou fracasso).

    Exemplo: cara ou coroa, sucesso ou fracasso, item defeituoso ou item não defeituoso, e muitos outros possíveis pares.

    Questão correta!

  • Gab. C

    Não fixou a ordem = binomial;

    fixou a ordem = bernoulli.

ID
58756
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRT - 17ª Região (ES)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere que Y seja uma variável aleatória de Bernoulli
com parâmetro p, em que p é a probabilidade de uma ação
judicial trabalhista ser julgada improcedente. De uma amostra
aleatória simples de 1.600 ações judiciais trabalhistas, uma
seguradora observou que, em média, 20% dessas ações foram
julgadas improcedentes.
Com base nessa situação hipotética, julgue os próximos itens.

A estimativa de mínimos quadrados para a média da distribuição Y é superior a 0,25.

Alternativas
Comentários

  • A estimativa de mínimos quadrados para a média da distribuição Y é 0,2

  • Alguém sabe explicar essa resolução? provavelmente seja simples , mas eu não sei.

    Agradecida.

  • Na distribuição de Bernoulli:

    valor esperado = probabilidade de sucesso

    E(x)=P

    como a probabilidade da ação judicial ser julgada improcedente é em média 20% ou 0,2, sabe-se que a média também é 0,2.

  • 20% das ações foram julgadas improcedentes.

    0,20 x 1600 = 320

    MÉDIA BERNOULLI = p

    320 / 1600

    = 0,20. INFERIOR A 25%.

ID
177673
Banca
FCC
Órgão
TRT - 9ª REGIÃO (PR)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Seja X uma variável aleatória contínua com média igual a ?. Utilizando o teorema de Tchebyshev, obteve-se a probabilidade mínima de que X pertença ao intervalo (? ? 1,6; ? + 1,6) igual a 36%. O valor do desvio padrão de X é igual a

Alternativas
Comentários

  • Correção: onde há "(? ? 1,6; ? + 1,6)" no enunciado o correto é "(u - 1,6; u + 1,6)"; u representando a letra grega "mi" e significando a média. (ver arquivo da prova).

    O teorema de Tchebyschev diz:

    "Seja X é uma variável aleatória com média u. Então, para qualquer t > 0, temos P(|X - u| >= t) <= Var(X)/t^2."

    A probabilidade de X pertencer ao intervalo (u - 1,6; u + 1,6) é P(u - 1,6 <= X <= u + 1,6) = P(-1,6 < X - u < 1,6) = P(|X - u| < 1,6).

    Sabemos que P(|X - u| < 1,6) = 1 - P(|X - u| >= 1,6), ou seja, P(|X - u| >= 1,6) = 1 - P(|X - u| < 1,6) . Tomando t = 1,6 e usando o teorema, temos:

    1 - P(|X - u| < 1,6) = Var(X)/1,6^2

    Foi dito que P(|X - u| < 1,6) = 36% = 0,36, assim,

    1 - 0,36 = Var(X)/1,6^2

    Var(X) = 1,6^2*0,64.

    Como o desvio-padrão Dp é a raiz quadrada positiva da variânca, segue-se que Dp(X) = 1,6*0,8 = 1,28.

    Resposta: d.

    Opus Pi.

  • http://www.forumconcurseiros.com/forum/forum/disciplinas/estat%C3%ADstica/79998-fcc-2010-trt-9%C2%AA-regi%C3%83o-pr-analista-judici%C3%A1rio

    O teorema de Tchebyschev diz:

    "Seja X é uma variável aleatória com média u. Então, para qualquer t > 0, temos P(|X - u| >= t) <= var>http://www.forumconcurseiros.com/forum/member/147190-opus-pi às Tue, 29/03/11, 03:47 PM.

  • sigma^2 / (n*e^2) = 1 - 0,36,

    n = 1;
    e = 1,6;
    logo sigma = 1,28

  • dica: quando falar em probabilidade mínima pega o complementar da probabilidade do enunciado, quando falar em probabilidade máxima, pega a probabilidade do enunciado

ID
221449
Banca
FCC
Órgão
TRT - 4ª REGIÃO (RS)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A média aritmética e a variância dos salários dos empregados da empresa Gama são R$ 1.500,00 e 1.600,00 (R$)2, respectivamente. Como a distribuição destes salários é desconhecida, utilizou-se o teorema de Tchebyshev para saber qual é a proporção de empregados com salários inferiores ou iguais a R$ 1.400,00 ou salários superiores ou iguais a R$ 1.600,00. Esta proporção é no máximo

Alternativas
Comentários
  • Comentário objetivo:

    DADOS
    σ2 = 1.600 -> σ = 40
    μ = 1.500

    APLICANDO O TEOREMA DE TCHEBYSHEV
    PMÁX = 1 / k2
    k = d / σ
    dddf d = (Lsup - Linf) / 2

    Assim,

    d = (1.600 - 1.400) / 2 = 100
    k = 100 / 40 = 2,5
    PMÁX = 1 / (2,5)2 = 1 / 6,25 = 0,16 = 16% (GABARITO B)

  • média = 1500

    var = 1600

    dp = raiz de 1600 = 40

    1/k² = proporção máxima

    quem é k?

    k = erro/dp

    quem é o erro?

    erro é dado assim maior valor do intervalo menos a média ou media menos o menor valor do intervalo, ou seja:

    1600 -1500 = 100

    1500 - 1400 = 100

    Basta substituir:

    k = erro/dp

    k = 100/40

    k = 2,5

    Assim,

    1/k² = proporção máxima

    1/2,5² = proporção maxima

    0,16 = proporção máxima

    Gabarito: Letra B

ID
221491
Banca
FCC
Órgão
TRT - 4ª REGIÃO (RS)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso igual a 0,4. O número esperado de ensaios para que se obtenha o segundo sucesso é

Alternativas
Comentários

  • como a probabilidade de sucesso é 0,4.. esperamos que em 10 ensaios tenhamos 4 sucessos
    10 - 4
    x - 2
    4x = 20
    x = 5

  • https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/117190?orgao=trt-4&cargo=analista-judiciario-trt-4-regiao&ano=2009

  • E(X)=1/p   

    1/0.4=2.5

    2.5+2.5=5

  • Na Distribuição de Bernoulli, o sucesso é representado por p. O fracasso é representado por q.

    Assim, a questão nos dá que p = 0,4. Significa 4/10, ou seja, para cada 10 sequências, temos 4 sucessos. Como a questão pede o 2º acerto, é só dividir a fração:

    4/10 dividido por 2 (para achar o 2º sucesso) = 2/5

    Ou seja, em 5 sequências temos 2 sucessos, mantendo a probabilidade de 0,4.

    GAB E

    Recomendo aos colegas esse vídeo do Prof. Jhoni Zini: www.youtube.com/watch?v=RrgQJ-9y-ds

  • DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI

    É uma distribuição em que as respostas somente poderão ser SIM ou NÃO. Ou seja, há apenas duas possibilidades: ou sucesso ou fracasso. Sucesso = 1 (p); fracasso = 0 (q).

    A esperança é igual ao sucesso, ou seja, p

    A variância é igual a p.q

    Teoria extraída de www.youtube.com/watch?v=RrgQJ-9y-ds

ID
221521
Banca
FCC
Órgão
TRT - 4ª REGIÃO (RS)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere uma sequência de ensaios de Bernoulli, independentes, e onde a probabilidade de sucesso é p. Seja X o número de ensaios necessários até a ocorrência do primeiro sucesso. Suponha que em quatro repetições desse experimento observou-se para X os valores: 1, 3, 2, 4. O estimador de máxima verossimilhança de p, baseado nesta amostra, é

Alternativas
Comentários

  • Numero de ensaios ate o primeiro sucesso tem distribuicao geometrica
    em que: o numero esperado de fracassos ate o primeiro sucesso é dado por: (1 - p) / p
    1, 3, 2, 4 representam o numero de ENSAIOS ate o primeiro sucesso
    o numero de FRACASSOS ate o primeiro sucesso é respectivamente: 0, 2, 1, 3. A media desses ultimos 4 valores é 1,5
    ou seja, sao necessarios em media 1,5 fracassos para a obtencao do primeiro sucesso
    logo: (1 - p) / p = 1,5
    p = 0,4

     

  • https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/117247?orgao=trt-4&cargo=analista-judiciario-trt-4-regiao&ano=2009

ID
229282
Banca
FCC
Órgão
TJ-AP
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Uma variável aleatória X tem média igual a 10 e desvio padrão igual a 2. Pelo teorema de Tchebyshev, se 0 < k < 10 a probabilidade mínima de que X pertença ao intervalo (10?k, 10+k) é igual a

Alternativas
Comentários
  • Teorema de Tcheb:

    Probabilidade Máxima = 1 / k2
    Probabilidade Mínima = 1 - (Prob Máx)


    K = D / desvio padrão ( D = intervalo superior  - média,  na curva normal)

    Prob Máxima: fora do intervalo
    Prob Mínima: dentro do intervalo


    Resolução:

    K= D/dp
    K= ](10+D) - 10] / 2
    K= D/2


    Prob Máx= 1/k2
    Prob Máx= 1 / (D/2)2  = 1 - 4D-2


    Prob Mín = 1 - Prob Máx
    Prob Mín = 1 -




  • k* vezes sigma = erro = k
    2k* = k
    logo k* = k / 2
    prob minima = 1 - 1 / (k* ^2) = letra B
    OBSERVACAO: A banca errou em chamar o erro de k. Por isso, eu diferenciei k* de k na resolucao da questao. Ninguem sabe se o k da resposta é referente ao erro k, ou se é o k de Tchebyshev. Tem que ser deste. Essa ambiguidade sucitaria a anulacao da questao.

ID
243679
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Petrobras
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

No que se refere a Valor do Dinheiro no Tempo, Risco e Retorno, analise as afirmativas a seguir.

I - A quantia, recebida hoje com certeza, que é equivalente a um recebimento incerto que vai ocorrer em uma certa data futura, é o valor presente, na taxa de juros adequada ao risco, do recebimento futuro.

II - A quantia, recebida hoje com certeza, que é equivalente a um recebimento incerto que vai ocorrer em uma certa data futura, é o valor presente, na taxa de juros sem risco, do valor esperado do recebimento futuro.

III - Segundo a conceituação de Markowitz, risco de um investimento é a variância (ou o desvio padrão) do seu retorno.

IV - Seja um ativo financeiro X, cujo desvio padrão do retorno anual é 30%, e um outro ativo Y, cujo desvio padrão do retorno anual é 50%, segundo o Modelo de Apreçamento de Ativos de Capital (CAPM), de Sharpe e outros autores, o retorno esperado de Y é maior que o retorno esperado de X.

Considere-se correto APENAS o que se afirma em

Alternativas
Comentários
  • Como medida de risco Markowitz adotou, no seu trabalho original, o desvio padrão dos retornos e seu modelo busca construir uma “fronteira eficiente”, que indica o “portfolio” de máximo retorno para cada nível de risco, ou o de mínimo risco para cada valor de retorno
  • No metodo do VPL, usa-se a TMA como taxa de desconto. Essa taxa, por sua vez, e' estabelecida pela empresa como sendo o seu custo de oportunidade. Por isso, a I esta' falsa!
  • Os itens I e II incorrem no mesmo erro e confundem o candidato por, quando lido de primeira vez, parecer que um anula o outro. Ou seja, dá impressão que o item I está correto e o II errado, já que o item um fala muito bonito sobre taxa de juros e ainda adequada ao risco de investimento e o II fala sem esse risco. Mas como eu disse antes, as duas incorrem no mesmo erro. O que é incerto no futuro de uma aplicação, ou de um investimento, não é o recebimento, mas sim o rendimento, o retorno desse investimento.

    http://admcomentada.com.br/petro2010/16-cesgranrio-petrobras-administrador2010/

  • " e II tem erro estilo CESPE (uma palavra), a palavra “recebimento”. O verdadeiro risco é o RETORNO, ele é incerto, o recebimento não. III está correta, pois foi Markowitz que atribui a covariância e a correlação a análise de riscos. Lembrando que a covariância deve ser negativas e quanto mais próxima de 1, melhor. A fórmula do CAPM é Rf+β(Rm-Rf), o desvio padrão é o β, é a variação com o mercado, é possível saber o risco, mas não o retorno esperado apenas com esse valor. Somente III, alt A."

    http://engprodpetrobras.blogspot.com.br/2014/05/gestao-de-riscos-em-analise-de.html

     

  • Alguem poderia explicar porque a altenativa IV está errada, já que quanto maior o desvio padrão mair o risco, logo maior retorno esperado

  • Tenho a mesma dúvida que a colega abaixo. Quem souber responder, ficaria grata :)

  • Não sei se é isso, mas ele falou de CAPM e na fórmula do CAPM não entra do DP, portanto o valor do desvio padrão não influenciaria no cálculo do retorno.

  • Acho que a IV está errada porque a avaliação pelo desvio padrão é feita quando o retorno dos ativos é igual ou quando o retorno de x é maior que o de y mas o desvio é menor que o de y. Sendo igual, o maior retorno é o de maior desvio padrão. Mas se o retorno dos ativos forem diferentes, a escolha é feit pelo coeficiente de variação. 

  • Acabei indo por eliminação, já que eu tinha certeza da III e não havia resposta III e IV. Muito ruim no QC é que questões antigas não tem a opção de indicar para comentário. O QC parece prioriza concursos de tribunais, quem predente fazer CVM, BACEN, PETROBRÁS deve assinar o tec mesmo :-(

  • O problema da IV é resumir o beta do CAPM ao desvio padrão do ativo, quando na realidade o beta mede a variação do ativo em comparação à carteira de mercado. Um ativo pode ter um alto desvio padrão, mas ser negativamente correlacionado ao mercado (empresas exportadoras, por exemplo, que ganham quando o dólar sobe), ou ter uma correlação fraca. Sendo assim, o desvio padrão por si só não é suficiente para calcular o CAPM.

ID
314224
Banca
FCC
Órgão
TRT - 1ª REGIÃO (RJ)
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Utilizando o Teorema de Tchebyshev, obteve-se que o valor máximo da probabilidade dos empregados de uma empresa, que ganham um salário igual ou inferior a R$ 1.500,00 ou um salário igual ou maior a R$ 1.700,00, é 25%. Sabendo-se que a média destes salários é igual a R$ 1.600,00, encontra-se a respectiva variância, em (R$) 2, que é

Alternativas
Comentários

  • 1 / k^2 = 0,25, logo k = 2
    k*sigma = 100 (tamanho do erro)
    logo sigma = 50
    sigma ^ 2 = variancia = 2500 = letra A

ID
339619
Banca
COSEAC
Órgão
DATAPREV
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A desigualdade de _________ nos permite dizer que para qualquer número k _________ ou igual a 1, pelo menos _________ das medidas no conjunto de dados se encontram a até _________ desvios-padrão de suas médias.

Os termos que completam adequadamente o trecho acima são, respectivamente:

Alternativas
ID
636352
Banca
FGV
Órgão
Senado Federal
Ano
2008
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere que uma amostra aleatória simples de tamanho n = 5 de uma distribuição Bernoulli com probabilidade de sucesso p seja usada para testar H0: p = 0,5 versus H1: p = 0,7 e que seja usado o critério que rejeita a hipótese nula se forem observados 4 ou 5 sucessos. A probabilidade de se cometer erro tipo 1 é igual a:

Alternativas
Comentários

  • erro tipo 1 = probabilidade de rejeitar h0 dado que h0 é verdadeira

    usar a distribuicao binomial para o calculo = (n x) p^x*p^(n-x)

    n = 5
    x = assume os valores 4 e 5

    logo erro tipo 1 = 0,1875

  • usar p = 0,5

ID
672739
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
EBC
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considerando uma sequência de lançamentos de Bernoulli, julgue
o item subsecutivo.

Se, de uma urna em que há nA bolas da cor azul e nV bolas da cor vermelha, forem retiradas, simultaneamente, n bolas(n < nA + nV < ∞) e o número X de bolas da cor azul for registrado, então a distribuição de X seguirá uma distribuição binomial.

Alternativas
Comentários

  • multinomial

  • Considerando que a população é finita (não infinita) e que as bolas são retiradas simultaneamente, X não segue uma distribuição binomial.

    Gabarito: Errado.

    Arthur Lima - Direção Concursos

ID
672754
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
EBC
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considerando as desigualdades usuais em teoria de probabilidades,
julgue o próximo item.

Supondo que para um sistema de TV ser considerado adequado a frequência do sinal desse sistema não deve diferir em mais de 100 Hz do valor médio para o canal e considerando que, para o sistema de TV X, a oscilação de frequência do sinal tenha desvio padrão igual a 9 Hz, então, a partir da desigualdade de Chebyshev, é correto afirmar que a probabilidade de o sistema X não ser considerado adequado será superior a 0,001.

Alternativas
Comentários

  • k*sigma = 100

    k*9 = 100

    k = 100 / 9

    Probabilidade = 1 / k^2 = 81 / 10.000 = 0,0081 

ID
672757
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
EBC
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considerando as desigualdades usuais em teoria de probabilidades,
julgue o próximo item.

Suponha que uma variável aleatória X tenha média zero e variância finita e que, pela desigualdade unilateral de Chebyshev, P(X≥ 25) ≤ 0,25. Nesse caso, a variância de X será superior a 200.

Alternativas
Comentários

  • 1 / k^2 = 0,25

    logo k = 2

    k*sigma / 2 = 25

    k*sigma = 50, logo sigma = 25 e a variância será igual a 625

  • https://youtu.be/HTDZfMCd29c

  • P(|x-u|≥25≤ var(x).1/2=1/4

    P(x-0)≥25≥ var(x)/2 x 625= 1/4

    Var(x)/625= 1/2

    Var(x)= 312,5

ID
672760
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
EBC
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considerando as desigualdades usuais em teoria de probabilidades,
julgue o próximo item.

Suponha que X seja uma variável aleatória com esperança finita. Isto garante que a média da variável aleatória Y = exp(X) também será finita.

Alternativas
ID
672763
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
EBC
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considerando as desigualdades usuais em teoria de probabilidades,
julgue o próximo item.

Infere-se, a partir da desigualdade de Markov, que se Y for uma variável aleatória não negativa com média igual 10, então P(Y ≤ 35) < 0,30.

Alternativas
Comentários

  • 1 / k^2 = 0,30

    k^2 = 3,33

    k = 1,83

    k*sigma / 2 = 35

    k*sigma = 70

    sigma = 70 / 1,83 = 38,36

    P(Y ≤ 35) = P(Z ≤ (35 - 10) / 38,36) = P(Z ≤ 0,65)

    Sabemos que P(Z ≤ 0) = 0,5, logo P(Z ≤ 0,65) é maior que 0,5 (ou seja, não é menor que 0,3)

     

ID
698416
Banca
FCC
Órgão
TRE-SP
Ano
2012
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Seja X uma variável aleatória contínua com uma média igual a 20. Utilizando o Teorema de Tchebyshev, obtém-se que a probabilidade de X não pertencer ao intervalo (15, 25) é, no máximo, 6,25%. Isto significa que o desvio padrão de X é igual a

Alternativas
Comentários
  • k*sigma = erro = 5 >> equacao 1
    1/k^2 = 6,25%
    logo k = 4
    da equcao 1 temos entao que sigma = 1,25

     

  • O problema menciona que a probabilidade de X não pertencer ao intervalo (15, 25) é, no máximo, 6,25% ; ou seja Pmáximo = 6, 25%

    Pmáximo = 1/k^2

    6,25 = 1/K^2

    K^2 = 1/0,0625

    K^2 = 10.000/625

    k^2 = 16

    K = 4

     

    APLICANDO O TEOREMA DE TCHEBYSHEV
    PMÁX = 1 / k2
    k = d / σ
    d = (Lsup - Linf) / 2
     

    d = (25-15)/2 = 5

     

    k= d/sigma

     

    4= 5/Sigma

    4 sigma = 5

    Sigma = 5/4 = 1,25

     

ID
722593
Banca
FCC
Órgão
TRT - 6ª Região (PE)
Ano
2012
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Uma variável aleatória X tem média igual a m e desvio padrão igual a 0,25. Pelo teorema de Tchebyschev, a probabilidade mínima de que X pertença ao intervalo (m - K , m + K) é igual a 93,75%. O valor de K é

Alternativas
Comentários

  • Pmximo = 1 / k^2

    k = Distncia / devio padro

    pmxima = o maximo de variveis que estão fora do intervalo

    se no intervalor 93,75% estão dentro do intervalo, entã0 1 - 93,75% estão fora.

    logo

    1-0,9375 = 1 / k^2

    k = 4

    deveria ser a alternativa "a"

    pois "1" da alternativa "c" refere-se a distncia

    veja:

    k = distancia / desvio

    4 = distancia / 0,25

    distancia = 1

    deveria ser cancelada

  • Lúcido seu comentário Hegel Silva

  • o k, da inequalção de Tchebyschev é 1/k² ("k minúsculo")

    o K, a que se refere o enunciado da questão é aquela constante que eu vou adicionar e subtrair à média m, ("K maiúsculo")

    logo K = k * desvio

    K = 4 * 0.25 = 1

     

ID
722635
Banca
FCC
Órgão
TRT - 6ª Região (PE)
Ano
2012
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Um experimento consiste de tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório de Bernoulli. Em cada tentativa a probabilidade de fracasso é igual a 3/4 da probabilidade de sucesso. Seja X a variável aleatória que representa o número de tentativas até o aparecimento do primeiro sucesso. A variância de X é igual a

Alternativas
Comentários

  • (3/4)*p + p = 1
    p = 4/7
    como x tem dist geométrica cuja var = q / p^2 = 21/16

    onde q = 1 - p

  • Se a variância por Bernoulli é dada por V(X) = p(1-p), a resposta seria 12/49. 
    Mas não bate com o gabarito. Bate só se resolver por distribuição geométrica. Alguém dá alguma ajuda? Obg

  • "tentativas até o aparecimento do primeiro sucesso" => K-ésimo termo: Distribuição Geométria

    Para encontrar a probabilidade, dado na questão F=3S/4 (1)

    Sabemos que fracasso + sucesso = 1 [ou 100%]

    F+S=1; isolando S=1-F

    Substituindo em (1), temos:

    F=3.(1-F)/4

    F=(3 - 3F)/4

    4F= 3 - 3F

    4F+3F=3

    7F=3

    F= 3/7

    Ao mesmo tempo que F=3/7, então S=4/7 [soma dos dois tem que dar 100%]

    Fórmula da Variância para D.Geom: Var(x)= (1 - p)/p²

    Substituindo:

    Var(x)= (1 - 4/7)/(4/7)²

    Var(x)= 3/7 x 49/16 [simplifica 7 e 49]

    Var(x)= 3 x 7/16 = 21/16

    Gabarito B

  • Gabarito: Letra B

    Pessoal que ficou na duvida:

    Sempre que o enunciado pedir " qual o número de tentativas, qual numero de lançamentos necessários...", trata-se de uma uma distribuição geométrica. Assim, vc aplica formula da variância da distribuição geométrica, e acha o resultado.

ID
730843
Banca
FCC
Órgão
TRF - 2ª REGIÃO
Ano
2012
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Em um determinado ramo de atividade, a média aritmética e a variância dos salários são iguais a R$ 2.000,00 e 2.500 (R$) 2, respectivamente. Utilizando o Teorema de Tchebyshev, obteve-se um intervalo para estes salários tal que a probabilidade mínima de um salário deste ramo pertencer ao intervalo é 75%. Este intervalo, com R$ 2.000,00 sendo o respectivo ponto médio, em R$, é igual a:

Alternativas
Comentários
  • Resposta: E.

    O intervalo será: de X-2.(desv pad) a X+2(desv pad), sendo X a média dada no exercício e o desvio padrão será de 50 também forncecida.

    2000 - 2.50 a 2000 + 2.50
    1900 a 2100
  • Igor, boa noite!

    A sua explicação não ficou claro, teria como resolver de outra maneira, por favor

    att

  • Tchebyshev:

    sigma = raiz de 2500 = 50
    xbarra = 2000
    P(|x - xbarra| > k*sigma) < 1/(k^2) = equacao 1
    1/(k^2) = 1- 0,75 = 0,25
    logo k = 2
    da equacao 1 temos:
    P(|x - xbarra| > k*sigma) < 1/(k^2) = P(|x - 2000| > 2*50) < 0,25 = P(|x - 2000| > 100) < 0,25
    x1 = 2100 e x2 = 1900




     

  • Para resolver a questão, alguns passos devem ser seguidos:
    1º Passo: calcular a distância entre a média dada (R$ 2000,00) e o valor procurado, o qual não se sabe e, portanto, será designado por X1.
    D = X1 - 2000
    2º Passo: dividir D pelo desvio padrão
    D/σ = (X1 - 2000)/σ
    3º Passo: inverter o resultado obtido no 2º passo e elevar o valor ao quadrado, obtendo a variável K.
    K = σ2 /  (X1 - 2000)2
    Com isso, obtemos o valor máximo, atribuído à região que está fora do intervalo de confiança. O valor mínimo é aquele que abrange o intervalo de confiança. Ele corresponde a 75%, conforme dado do enunciado.
    Sendo assim, devemos subtrair K de 100% (a área total sob a curva), a fim de obter os 75%.
    1 - K = 75%
    K = 0,25 = σ2 / (X1 - 2000)2
    (X1 - 2000)2 = 2500/0,25 = 10000
    X1 - 2000 = 100
    X1 = R$ 2100.
    Sendo assim, encontra-se o valor à direita da média. Considerando-se a simetria da curva normal, temos que o outro valor (X2) para o intervalo estará distante da média em R$ 100. Como o valor situa-se à esquerda da média, temos que X2 será R$ 1900.
    ALTERNATIVA E
    Note que a sistemática para a resolução dos exercícios envolvendo o TEOREMA DE TCHEBYSHEV será sempre esta, sendo que K é um valor máximo, fora do intervalo de confiança. O valor do intervalo de confiança, portanto, será sempre máximo e sua obtenção é feita por meio de 1 - K.











  • Valeu Bruno! Comentário excelente!
    Bons estudos!
  • Estou achando muito complicado isso aqui. Logo, tentarei ser mais breve:

    O intervalo é dado por K*d.p

    Variância = 2500, logo:
    D.p = 50

    Sabendo que o Pfora é máximo, ou seja (100-75%) = 25% = 0,25
    1/K2 = 0,25
    K2 = 1/0,25
    K2 = 4
    K = 2

    Sendo assim, o intevalo (K*d.p) é igual a 50*2 = 100
    Sendo a média dado no problema = 2000, os intevalos serão 1900 e 2100.

    Simples assim...
    Bons estudos a todos!!!
ID
770005
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
Banco da Amazônia
Ano
2012
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Com relação a métodos computacionais e geração de números aleatórios, julgue os itens que se seguem.

Para a geração de realizações de duas variáveis X e Y, os amostrados de Gibbs consideram alternadamente as distribuições condicionais X|Y = y e Y|X = x. Assim, é correto afirmar que, se X segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro Y e se Y segue uma distribuição Beta com parâmetros a e b, então a distribuição conjunta da amostra gerada pelo amostrador de Gibbs segue aproximadamente uma distribuição Beta com parâmetros a + X e b + 1 – X.

Alternativas
Comentários
  • terá distribuição Beta (a + X, n - X + b):

    https://en.wikipedia.org/wiki/Beta-binomial_distribution
ID
770047
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
Banco da Amazônia
Ano
2012
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

No que se refere a processos estocásticos, julgue os próximos itens.

Considere que um processo estocástico seja gerado com base no modelo Z,0 = 0; Z1 = 0; Zn + 1 = Zn + Zn – 1 + Xn, em que X1, X2, ... sejam variáveis aleatórias de Bernoulli, independentes, com parâmetro p. Nesse caso, o processo Zn será de Markov se, e somente se, p = 0,5.

Alternativas
Comentários
  • O processo de markov é aquele em que todos os estados são comunicantes

ID
797770
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
AL-CE
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considerando X1, X2 e X3 três valores gerados independentemente a partir de uma distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso igual a 0,3, julgue o item.

A soma Y = 2X1 + 2X2 + 2X3 pode ser vista como uma realização de uma distribuição binomial com parâmetros n = 6 e p = 0,3.

Alternativas
Comentários

  • Gabarito: Errado!

    Galera, nao tenho certeza da resoluçao

    Mas creio q seja:

    n = 3 e p = 0,3

  • N = x1 + x2 + x3 = 3

    E(y) = 2X1 + 2X2 + 2X3

    E(y) = 2*0,3 + 2*0,3 + 2*0,3

    E(y) = 1,8

    E(y) = N*p

    1,8 = 3*p

    p = 0,6

    Gabarito: Errado.

ID
942025
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
INPI
Ano
2013
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Com relação às cadeias de Markov em tempo discreto, julgue os itens seguintes.

Considere uma cadeia de Markov com 3 estados, na qual o estado 3 é absorvente e a transição do estado 1 para o estado 2 tem probabilidade igual a 1. Nesse processo, é correto afirmar que a probabilidade de transição do estado 1 para o estado 3, em k passos, é igual à probabilidade de transição do estado 2 para o estado 3, em k – 1 passos.

Alternativas
Comentários

  • trata-se da propriedade da falta de memória

ID
1185211
Banca
FCC
Órgão
TRT - 16ª REGIÃO (MA)
Ano
2014
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere que a variável aleatória X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p = 0,4. Sabe-se que a variável Y tem distribuição binomial com média igual a 2 e variância igual a 1. Supondo que X e Y são independentes, a probabilidade conjunta de X ser igual a zero e Y ser igual a 3, denotada por P(X = 0, Y = 3) é dada por

Alternativas
Comentários

  • X tem distribuição de Bernoulli com p=0,4. Então: P(x=0) = 1-P(X=1) = 1-0,4 = 0,6

    Y tem distribuição binomial com média igual a 2 e variância igual a 1. Então:

    E(Y) = n*p = 2;

    V(Y) = n*p*(1-p) = 1 => 2*(1-p) = 1 => (1-p) = 0,5 => p = 0,5

    E(Y) = n*0,5 = 2 => n =4

    P(Y=K) = [n!/(k!*(n-k)!)]*p^k*(1-p)^(n-k) (p^k leia-se p elevado a k)

    P(Y=3) = [4!/(3!*1!)]*0,5^3*0,5^1=4*0,5^4 = 0,5^2 = 0,25

    como X e Y são independente

    P(X=0; Y = 3) = P(X=0)*P(Y=3) = 0,6*0,25 = 0,15

  • Eu só não consigo entender o porquê de o p de X também ser usado no P de Y

  • Excelente questão.

  • Pelo texto é complicado, mas vou tentar

    1º Passo:

    Probabilidade x = 0 . Probabilidade Y = 3

    P(X=0).P(Y=3)

    2º Passo: Bernoulli. Achar o P(X=0)

    X P(X)

    Fracasso 0 0,6 Se o sucesso é 40%, então o fracasso é 60%

    Sucesso 1 0,4

    3º Passo Binomial. Achar o P(Y=3)

    a) deixa só a formula pronta

    Média E(Y) = 2

    E(Y) = N.P

    2 = n.p

    b) Variância = n.p.q

    1 = 2.q

    1/2 = q que é fracasso, então os outros 1/2 é sucesso, achamos o P

    c) Voltamos

    Média E(Y) = 2

    E(Y) = N.P

    2 = n.1/2

    n = 4

    4º Passo calcular o Binomial

    n= 4

    P Sucesso = 1/2

    q Sucesso = 1/2

    P(Y=K) = (N,5) P elevado a K . q elevado a n-k

    P(Y=3) = 4 . 1/8 . 1/2

    Resultado = 4/16, simplificando por 4 dar 1/4 = 0,25

    5º Calculo final. voltando para o passo 1º

    Probabilidade x = 0 . Probabilidade Y = 3

    P(X=0).P(Y=3)

    0.6 . 0,25 = 0,15

    LETRA B

    É um tipo de questão que eu deixaria por último..

ID
1194331
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
STF
Ano
2013
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Com referência à estatística computacional, julgue o  item  subsequente.

Uma variável aleatória de Bernoulli pode ser simulada pelo método da inversão da função de probabilidade acumulada.

Alternativas
Comentários

  • https://books.google.com.br/books?id=ZKXtwsmyPFcC&pg=PA528&lpg=PA528&dq=Uma+vari%C3%A1vel+aleat%C3%B3ria+de+Bernoulli+pode+ser+simulada&source=bl&ots=65CsDth0QF&sig=LDvKT2CIOt11w-WWCmeA5zBt4-c&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwiO3baumtPPAhUBIZAKHcWNDMYQ6AEIHjAB#v=onepage&q=Uma%20vari%C3%A1vel%20aleat%C3%B3ria%20de%20Bernoulli%20pode%20ser%20simulada&f=false

    http://www.ime.unicamp.br/~cnaber/aula_Sim_VA.pdf

    http://www.ime.usp.br/~mbranco/Aula3_TecnicasII.pdf

ID
1198063
Banca
FGV
Órgão
DPE-RJ
Ano
2014
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Um dos resultados mais importantes para a qualidade dos estimadores de MQO é o Teorema de Gauss-Markov que, mediante alguns poucos pressupostos é capaz de garantir propriedades dos estimadores. São indispensáveis à aplicabilidade de Gauss-Markov

Alternativas
Comentários

  • http://translate.google.com.br/translate?hl=pt-BR&sl=en&u=https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%25E2%2580%2593Markov_theorem&prev=search

  • Ou seja, duas hipóteses bastam para GM:

    1) Homoscedasticidade;

    2) Ausência de autocorrelação entre os termos de erro.

ID
1234648
Banca
FCC
Órgão
TRT - 19ª Região (AL)
Ano
2014
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Uma variável contínua X apresenta uma média igual a 50. Pelo Teorema de Tchebyshev, a probabilidade de X não pertencer ao intervalo (10, 90) é no máximo 25%. O resultado da divisão da variância de X pelo quadrado da média de X é

Alternativas
Comentários
  •  1 / k^2 = 0,25 = 1/4
    logo k = 2
    erro  = k*sigma = 40 
    2*sigma = 40
    sigma = 20
    variancia = 400
    variancia dividida pelo quadrado da media = 400 / 50^2 = 0,16

ID
1428430
Banca
FCC
Órgão
SEFAZ-PI
Ano
2015
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Seja X a variável aleatória que representa o número de sucessos em 6 ensaios de Bernoulli independentes e onde a probabilidade de sucesso, em cada ensaio, é sempre igual a p. Deseja-se testar a hipótese nula H0: p = 0,7 contra a hipótese alternativa Ha: p = 0,5.

Se rejeita-se H0 quando ocorrerem menos do que 4 sucessos, a probabilidade do erro do tipo II é igual a

Alternativas
Comentários
  • erro tipo II = P(nao rejeitar H0 dado que H0 falso)

    = 1- ((6 3) 0,5^3*0,5^3 + (6 2) 0,5^2*0,5^4 + (6 1)0,5^1*0,5^5 + (6 0)0,5^0*0,5^6)) = 11/32

  • A probabilidade de erro tipo II é a probabilidade de aceitarmos a hipótese nula quando ela for falsa. No caso de 4 sucessos temos p = 4/6 = 2/3. No caso do teste nós rejeitamos a hipótese nula quando p < 2/3 (menos de 4 sucessos), e aceitamos a hipótese nula quando p for maior ou igual a 2/3. A probabilidade de termos p maior ou igual a 0,666 (ou seja, de termos 4, 5 ou 6 sucessos) e a hipótese nula ser falsa (isto é, a hipótese alternativa p = 0,5 = 1/2 ser verdadeira) é dada por:

    P(k = 4) + P(k = 5) + P(k = 6) =

    C(6,4)x(1/2)4 x(1/2)2 + C(6,5)x(1/2)5 x(1/2)1 + C(6,6)x(1/2)6 x(1/2)0 =

    15x(1/2)6 + 6x(1/2)6 + 1x(1/2)6 =

    22 x (1/2)6 = 22 / 64 =11 / 32

    Gab:C

    Estratégia:Artur Lima

ID
1608172
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANTT
Ano
2013
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Xt é uma variável aleatória dicotômica que sinaliza a ocorrência (Xt = 1) ou a não ocorrência (Xt = 0) de incidentes em certo terminal rodoviário de cargas no dia t, t ∈ {0,1,2, ...}. Essa variável segue uma cadeia de Markov em tempo discreto, cuja probabilidade de transição é,


P(Xt +1 = a|Xt = b) = ab +1/ b+2

em que a e b podem assumir valores 0 ou 1.


Com base nessas informações e assumindo que 0º = 1, julgue o item a seguir.



No regime estacionário, o valor esperado da variável aleatória Xt é igual ou inferior a 0,5.



Alternativas
Comentários

  • P(Xt +1 = a|Xt = b) =  a^b +1/ b+2

    P(Xt +1 = 0|Xt = 0) =  0^0 +1/ 0+2 = 1

    P(Xt +1 = 1|Xt = 1) = 1^1 + 1/ 1 + 2 = 2/3

    P(Xt +1 = 1|Xt = 0) = 1^0 + 1 / 0 + 2 = 1

    P(Xt +1 = 0|Xt = 1) = 0^1 + 1 / 1+2 = 1/3

    pi * P = pi

    onde P é a matriz de transição e pi é o vetor formado pelas probabilidades estacionárias p1 e p2

     

     

     

     

     

  • p(Xt+1=0|Xt=0) + p(Xt+1=1|Xt=0) > 1. Há um problema com essas probabilidades condicionais.

     

ID
1608175
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANTT
Ano
2013
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Xt é uma variável aleatória dicotômica que sinaliza a ocorrência (Xt = 1) ou a não ocorrência (Xt = 0) de incidentes em certo terminal rodoviário de cargas no dia t, t ∈ {0,1,2, ...}. Essa variável segue uma cadeia de Markov em tempo discreto, cuja probabilidade de transição é,


P(Xt +1 = a|Xt = b) = ab +1/ b+2

em que a e b podem assumir valores 0 ou 1.


Com base nessas informações e assumindo que 0º = 1, julgue o item a seguir.


A esperança condicional E(Xt+1 | Xt = b) = 1 /b+2 representa a reta de regressão de Xt+1 em b.


Alternativas
Comentários

  • Para que a esperança condicional seja igual a 1 / b + 2 é necessário que a seja 0 e b = 1

ID
1670938
Banca
FCC
Órgão
TRT - 3ª Região (MG)
Ano
2015
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Em um processo de Markov em dois estágios (zero e um) sejam:
P(Xn+1 = 0 Xn = 1) = 0,4 e P(Xn+1 = 1Xn = 0) = 0,3
Nessas condições, P(X1 = 1 X2 = 1 e X0 = 0) é igual a

Alternativas
Comentários

  • pi * P = pi

  • https://www.exponencialconcursos.com.br/questoes/50168/trt-3%C2%AA-regiao-mg-analista-judiciario-estatistica-2015-fcc-estatistica

ID
2027203
Banca
Aeronáutica
Órgão
CIAAR
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Preencha as lacunas abaixo e, em seguida, assinale a alternativa correta. Um processo estocástico é definido por uma sucessão de variáveis aleatórias. O processo é dito um Processo de Markov, se ____________________________depender de __________________.

Alternativas
ID
2096284
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TCE-PA
Ano
2016
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Se as variáveis aleatórias X e Y seguem distribuições de Bernoulli, tais que P[X = 1] = P[Y = 0] = 0,9, então

as variâncias de X e Y são iguais.

Alternativas
Comentários

  • Certo.

    Var(x) = E(x^2) – E(x)^2 = 0,9 – 0,81 = 0,09

    E(x^2) = (0^2)*0,1 + (1^2)*0,9 = 0,9

    E(x) = 0*0,1 + 1*0,9 = 0,9

    Var(y) = E(y^2) – E(y)^2 = 0,1 – 0,01 = 0,09

    E(y^2) = (0^2)*0,9 + (1^2)*0,1 = 0,1

    E(y) = 0*0,9 + 1*0,1 = 0,1

  • p; sucesso

    q; fracasso

    Var(X) = px*qx = 0,9*0,1 = 0,09

    Var(y) = py*qy =  0,1*0,9 = 0,09

  • Para a distribuição de X, vemos que P(1) = 0,9. Este é o valor de “p” na distribuição de Bernoulli. A variância de X é dada por:

    Var(X) = p x (1 – p)

    Var(X) = 0,9 x (1 – 0,9)

    Var(X) = 0,9 x 0,1

    Var(X) = 0,09

    Para a distribuição de Y, vemos que P(0) = 0,9. Logo, a probabilidade de Y assumir o valor 1 será o restante, ou seja, 1 – 0,9 = 0,1. Este é o valor de p para a distribuição Y. A variância é dada por:

    Var(Y) = p x (1 – p)

    Var(Y) = 0,1 x (1 – 0,1)

    Var(Y) = 0,1 x 0,9

    Var(Y) = 0,09

    De fato as duas variâncias são iguais. Item CERTO.

  • Gab: C

    Distribuição de Bernoulli: variância= p * (1-p)

    Substituindo os valores chegamos ao resultado de que a variância de x e de y são de 0,09

  • Var = p.q

    Var x = 0,9 x 0,1 = 0,09

    Var y = 0,1 x 0,9 = 0,09

    Obs.: A variância poder ser obtida pelo SUCESSO x FRACASSO.

    Portanto, ambos resultam em 0,09 -> CERTO!

  • GABARITO CORRETO

    P[X = 1] = 0,9. Logo, a P[X = 0] = 0,1

    P[Y = 0] = 0,9. Logo, a P[Y = 1] = 0,1

    O calculo da variância é dado por: Var(X) = p x (1 – p). (OBS: "p" é valor sucesso representado pela probabilidade "1" das variáveis).

    Substituindo pelos respectivos valores de X:

    Var(X) = 0,9 x (1 – 0,9)

    Var(X) = 0,9 x 0,1

    Var(X) = 0,09

    Substituindo pelos respectivos valores de Y:

    Var(Y) = 0,1 x (1 – 0,1)

    Var(Y) = 0,1 x 0,9

    Var(Y) = 0,09

    "Se não puder se destacar pelo talento, vença pelo esforço"

  • CERTO

    VARIÂNCIA (BERNOULLI)

    (Sucesso x Fracasso)

    Variância de X = 0,9 x 0,1 = 0,09

    Variância de Y = 0,1 x 0,9 = 0,09

  • A QUESTÃO DÁ OS VALORES P[X = 1] = P[Y = 0] = 0,9, É SÓ VC MONTAR A TABELA!

    X | P 

    p 1 | 0,9

    q 0 | 0,1

    Y | P 

    p 1 | 0,9

    q 0 | 0,1

    A FÓRMULA da VARIÂNCIA, ao se tratar de BERNOULLI, é dada por:

    => var = p x q

    var(x)= 0,9*0,1=> var(X)0,81

    var(x)= 0,1*0,9=> var(Y)0,81

  • Opa! Falou de Bernoulli já devemos pensar o seguinte:

    É uma distribuição de variáveis aleatórias que só podem assumir dois valores distintos (usualmente expressos por 0 e 1).

    Temos que a média é definida pela probabilidade.

    Temos que a variância é definida pela probabilidade de ocorrência multiplicada pela probabilidade de não ocorrência.

    Certo, com isso em mente vamos interpretar o que o enunciado passou:

    P[X = 1] = P[Y = 0] = 0,9

    Isso significa que a probabilidade de ocorrência de X é igual a probabilidade de não ocorrência de Y, ambas tendo o valor de 90%.

    Quando as probabilidades são iguais (mesmo que para ocorrências opostas) temos que a variância é igual.

    Mas provando:

    Var(x) = 0,9 x (1 - 0,9) = 0,9 x 0,1 = 0,09

    Var(y) = 0,1 x (1 - 0,1) = 0,1 x 0,9 = 0,09

  • V(X) = 0,9 x 0,1 = 0,09

    V(Y) = 0,1 x 0,9 = 0,09

    bye

ID
2096287
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TCE-PA
Ano
2016
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Se as variáveis aleatórias X e Y seguem distribuições de Bernoulli, tais que P[X = 1] = P[Y = 0] = 0,9, então

a média de Y é superior a 0,5.

Alternativas
Comentários

  • média de y = p = 0,1

  • média y = p = 0,9

     

  • GABARITO ERRADO

     

    E(Y) = 0*0,9 + 1*0,1 = 0,1

  • A média, ou valor esperado, é dada por:

    E(Y) = p

    Como p = 0,1 (probabilidade de Y assumir o valor 1), temos:

    E(Y) = 0,1

    Item ERRADO.

  • Probabilidade de fracasso (Y=0) = 0,9

    Portanto, a probabilidade de sucesso (Y = 1) = 0,1

  • GABARITO ERRADO

    P[Y = 0] = 0,9. Logo, a P[Y = 1] = 0,1

    Na distribuição de Bernoulli, a probabilidade "1" representa sucesso e "0" representa fracasso.

    A média é dada por: E(X) = p. (OBS: "p" representa o valor sucesso). Portanto, E(X) = 0,1 < 0,5.

    "Se não puder se destacar pelo talento, vença pelo esforço"

  • DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULI:

    Em uma distribuição de Bernoulli o Valor Esperado (valor médio) é IGUAL a própria probabilidade de sucesso.

    No caso do enunciado a probabilidade de Y ser igual a 0 (Fracasso) é 0,9 --> P(Y=0)=0,9

    E a probabilidade de Y ser igual a 1 (Sucesso) é 0,1 --> P(Y=1)= 0,1.

    Portanto, o valor esperado é 0,1

    OBS: Se todos os eventos tiverem a mesma probabilidade (que é o caso de Bernouli) o valor esperado é a média

    Gabarito: ERRADO

  • P(x=1) = P(y=0) = 0,9

    P(y=1) = 1-P(y=0) =0,1

    Media de Y:

    E(y=1) = P(y=1) = 0,1----> inferior a 0,5

    Item ERRADO

  • Em uma distribuição de Bernoulli a Média será igual ao valor de P (sucesso), que nesse caso é 0,1.

  • ERRADO

    Y

    sucesso = 0,1

    fracasso = 0,9

    média = sucesso

    0,1

  • Opa! Falou de Bernoulli já devemos pensar o seguinte:

    É uma distribuição de variáveis aleatórias que só podem assumir dois valores distintos (usualmente expressos por 0 e 1).

    Temos que a média é definida pela probabilidade.

    Temos que a variância é definida pela probabilidade de ocorrência multiplicada pela probabilidade de não ocorrência.

    Certo, com isso em mente vamos interpretar o que o enunciado passou:

    P[X = 1] = P[Y = 0] = 0,9

    Isso significa que a probabilidade de ocorrência de X é igual a probabilidade de não ocorrência de Y, ambas tendo o valor de 90%.

    Ou seja, pegando a probabilidade de ocorrência de y, que no presente caso seria 10%, verificamos que a média é igual a 0,1. Fato esse que torna a alternativa errada.

  • Na distribuição de Bernoulli, a média = valor de p (sucesso)

    P(x=1) à (1= sucesso) significa que foi dado 90% de chance de sucesso e 10% de chance de fracasso

    P(y=0) à (0= fracasso) significa que foi dado 90% de chance de fracasso e 10% de chance de sucesso. Como a média é igual a probabilidade de sucesso, logo a média é 0,1.

    R: item errado. O item estaria certo se tivesse perguntado a respeito da média de x. 

  • ERRADO.

    A média(Esperança) de Y = 0,1

    E(y) = p

    Var(y) p.q

    p = sucesso (0,1)

    q = fracasso (0,9)

ID
2096290
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TCE-PA
Ano
2016
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Se as variáveis aleatórias X e Y seguem distribuições de Bernoulli, tais que P[X = 1] = P[Y = 0] = 0,9, então

P[X = 0, Y = 0] > 0,2.

Alternativas
Comentários

  • P[X = 0, Y = 0] por independência = P(x=0)*p(y=0) = 0,1*0,9 = 0,09

  • P[X=0 e  Y=0] =

    P(X=0) x P(Y=0) + P(Y=0) x P(X=0) =

    0,1*0,9 + 0,9*0,1 = 0,18

  • O exercício destaca duas variáveis X e Y e afirma que elas seguem uma distribuição de Bernoulli. Nesse tipo de distribuição, trabalhamos com apenas duas hipóteses de probabilidade : sucesso (p) ou fracasso (q).

    Normalmente, em alternativa às letras p e q, atribuim-se os valores de 0 para o fracasso e 1 para o sucesso. Isso seria crucial para resolução do item, porque quando a questão afirma que P[X = 1] = P[Y = 0] = 0,9, você deveria entender da seguinte maneira:

    Variável X:

    0 (probabilidade de fracasso) = 0,1

    1 (probabilidade de sucesso) = 0,9

    Variável Y:

    0 (probabilidade de fracasso) = 0,9

    1 (probabilidade de sucesso) = 0,1

    Agora vamos ao que assertiva pede:

    Ele afirma que P[X = 0, Y = 0] > 0,2. Basicamente, ele procura saber qual a probabilidade conjunta entre X = 0, Y = 0, a qual seria 0,1 x 0,9 = 0,09

    0,09 é menor que 0,2

    Logo, o item estaria errado.

  • Não tem dado suficiente para esse cálculo, porém, é claro que a intersecção não é maior que 2

    Basta perceber que P(X=0) = 0,1, Ora, se um dos conjuntos é 0,1, é impossível a intersecção ser maior do que isso.

    O correto seria :

    P[X = 0, Y = 0] ≤ 0,1

  • Basta pensar em sucesso x fracasso.

    Vejam que:

    P[ x=1] sucesso= 0,9

    Logo o fracasso P[x=0] = 0,1

    Para y, teremos

    P[y=1] sucesso de y= 0,1

    P[y=0] fracasso = 0,9

    Questão pede fracassos de x e y

    P[x=0] e P[y=0] = 0,1 x 0,9= 0,09

    Gabarito errado.

  • P(X=0) = 0,1, logo < 0,2

  • Bora por parte:

    1 - Se as variáveis aleatórias X e Y seguem distribuições de Bernoulli = nesta distribuição só temos dois valores para um evento que ocorre somente uma vez. Esses valores são 0 (zero) e o 1 (um).

    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    O zero será sempre nosso fracasso, representado pela letra q.

    O um será sempre nosso sucesso, representado pela letra p.

    -------------[ A QUESTÃO NÃO EXIGE ISSO! É SÓ PARA AGREGAR VALOR À EXPLICAÇÃO MESMO! rs] --------

    2 -Se as variáveis aleatórias X e Y seguem distribuições de Bernoulli = ou seja, iremos trabalhar com duas variáveis, x e y. Cada uma delas terá apenas dois valores, lembra? 0 (zero), fracasso ; e 1 (um) sucesso. Fica assim:

    x y

    0 0

    1 1

    Como estamos trabalhando com PROBABILIDADE e a probabilidade só pode ser entre 0 e 1, a soma dos valores das variáveis sempre terão que dar um valor 1. Ok???

    3- (...) tais que P[X = 1] = P[Y = 0] = 0,9 = Atribua esses valores às variáveis que montei para você. Siga:

    x y

    0= ??? 0=0,9

    1=0,9 1=???

    Lembra do que eu falei??? Repito:

    Como estamos trabalhando com PROBABILIDADE e a probabilidade só pode ser entre 0 e 1, a soma dos valores das variáveis sempre terão que dar um valor 1. Ok???

    4 - (...) então P[X = 0, Y = 0] > 0,2. = tente colocar, só para testar, o valor 0,2 no lugar de cada uma das distribuições, meu brother!!!!

    Tentou?

    Agora some os valores de x (ou de y, se quiser também). Assim, oh: 0,2 + 0,9 .

    Deu quanto?

    1,1 , não é???

    Passou de 1?

    Sim!

    Beleza! então a questão está errada!

    A resposta certa seria 0,1 , pois eu teria o número 1 como resultado.

    LEEEEEEEEEEEEEEEEEmbre.....toda probabilidade é no mínimo 0 ou no máximo 1, em outras palavras [0< p(x)<1]

ID
2293111
Banca
FCC
Órgão
TRT - 20ª REGIÃO (SE)
Ano
2016
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere as seguintes afirmações relativas a modelos markovianos de filas:

I. No modelo M/M/1 com taxa de chegada de 1 cliente a cada 20 minutos e taxa de atendimento de 4 clientes a cada hora, o número médio de pacientes na fila é igual a 2,25.
II. No modelo M/M/2 com fator de utilização igual a 40% e taxa de chegada de 2 clientes em 30 minutos, a taxa de atendimento é de 4,5 clientes por hora.
III. No modelo M/M/1/K a taxa de chegada pode ser maior do que a taxa de atendimento.
IV. No modelo M/M/1 o número médio de usuários na fila é igual ao valor do produto entre a taxa de chegada e tempo médio que cada usuário permanece na fila.

Está correto o que se afirma APENAS em 

Alternativas
Comentários

  • número médio de pacientes na fila é (λ /µ) *  λ / (µ − λ) = 9/4 = 2,25

    onde λ = 3 e µ = 4

    https://www.ime.unicamp.br/~nancy/Cursos/me501/filas_final.pdf

ID
2311429
Banca
IBFC
Órgão
EBSERH
Ano
2017
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Para qualquer conjunto de dados (população ou amostra) e qualquer constante k maior do que 1, a proporção de dados que devem estar a menos de k-desvios de qualquer um dos dois lados da média é pelo menos 1 - 1/k2. Essa definição refere-se ao:

Alternativas
ID
2705479
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
MPU
Ano
2013
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

As variáveis aleatórias X e Y seguem uma distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso igual a 0,4. Considerando S = X + Y e que os eventos aleatórios A = [X = 1] e B = [Y = 1] sejam mutuamente exclusivos, julgue o item subsequente.


A variável aleatória S segue uma distribuição de Bernoulli.

Alternativas
Comentários

  • Se X e Y fossem independentes a soma destas seria Binomial. Como o comando da questão não indicou explicitamente isto então podemos considerá S como Bernoulli

  • Toda vez que tivermos experimentos que se baseiam em somente 2 opções (sucesso x fracasso) teremos uma distribuição de bernoulli.

  • Cuidado com esse tipo de questão. Não é simplesmente falar que vai ser uma distribuição de Bernoulli. A média e a variância ainda devem ser verificadas. Com a correspondência E(S)=p e Var(S)=p(1-p), além de perceber que S só pode assumir o valor 0 ou 1 já que X=1 e Y=1 não podem ocorrer ao mesmo tempo.

    E(S)=E(X)+E(Y)=0,4+0,4=0,8 

    Var(S)=Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y) 

    = 0,4*0,6 + 0,4*0,6 +2[E(XY)-E(X)E(Y)]

    = 0,48 + 2 [E(XY)-0,4*0,4]

    = 0,48 + 2 [E(XY) - 0,16]  

    Aqui vai ter que criar uma tabela pra achar E(XY)

    X   Y    XY   P(XY)

    0   0     0      a

    0   1     0      b

    1   0     0      c

    1   1     1      0   (Enunciado disse que A = [X = 1] e B = [Y = 1] sejam mutuamente exclusivos, então a interseção é nula) 

    Sendo assim, a esperança é E(XY)=0*a+0*b+0*c+1*0 = 0. Agora sim, sabemos que E(XY)=0. 

    Então, Var(S)=0,48 - 2 [E(XY) - 0,16] = 0,48+2[0 - 0,16]= 0,48 - 0,32 = 0,16. 

    Temos então E(S)= p = 0,8 e só podemos dizer que é uma distribuição de Bernoulli se Var(S)=p(1-p)=0,8*0,2=0,16.  

    Perfeito! Bateu com o que achamos e podemos afirmar que temos uma distribuição de Bernoulli. 

    Essa é a resolução correta, existem questões do CESPE que ele pergunta se é de Bernoulli, mas se você for calcular a variância, não vai bater e a questão fica ERRADA.  

ID
2705482
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
MPU
Ano
2013
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

As variáveis aleatórias X e Y seguem uma distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso igual a 0,4. Considerando S = X + Y e que os eventos aleatórios A = [X = 1] e B = [Y = 1] sejam mutuamente exclusivos, julgue o item subsequente.


P([X = 0] ∩ [Y = 0]) < 0,1.

Alternativas
Comentários

  • P([X = 0] ∩ [Y = 0]) => P(X = 0) . P(Y = 0) = 0,6 . 0,6 = 0,36.

    0,36 > 0,1

  • Mutuamente exclusivos = (ou será X ou será Y), ou seja, a intersecção entre os dois será 100% de certeza que terá como valor o zero, ou seja, P([X = 0] ∩ [Y = 0]) = 100%, portanto 100% é maior (>) que 0,1.

  • Gente entendi quase tudo, somente esse símbolo ∩? eu não sei o que significa

  • Pela Lei de Morgan, temos:

    P([X = 0] ∩ [Y = 0]) = 1 − P([X = 1] ∪ [Y = 1])

    Como [X = 1] e [Y = 1] são mutuamente exclusivos, então a probabilidade da união é dada por:

    P([X = 1] ∪ [Y = 1]) = P[X = 1] + P[Y = 1] = 0,4 + 0,4 = 0,8

    Logo:

    P([X = 0] ∩ [Y = 0]) = 1 − 0,8 = 0,2

    Gabarito: Errado

    Fonte: PDF Estratégia

  • É simples

    x=0

    y=0

    fracassos = 0,6

    P( X e Y) < 01

    o "E" multiplica 0,6 x 0,6 = 0,36

    Veja, a questão anterior dessa prova:

    S=1

    Sucesso = 0,4

    (A ou B) = 0,8

    o "OU" remete à soma, então 0,4 + 0,4 = 0,8

ID
2705485
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
MPU
Ano
2013
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

As variáveis aleatórias X e Y seguem uma distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso igual a 0,4. Considerando S = X + Y e que os eventos aleatórios A = [X = 1] e B = [Y = 1] sejam mutuamente exclusivos, julgue o item subsequente.


O desvio padrão da soma S é igual a 0,4.

Alternativas
Comentários

  • x=1 (sucesso) ----- 0,4

    y=1 (sucesso) ----- 0,4

    logo,

    S = x+y ---- S = 0,4+0,4 = 0,8

    Var(S) = p.q

    Var(S) = 0,8.0,2 = 0,16

    Desvio Padrão de (S) = raiz da Var(S) ------ raiz de 0,16 = 0,4

    Conclui-se:

    Desvio Padrão de (S) = 0,4

  • O enunciado afirma que as Probabilidades de Sucesso de X e de Y são IGUAIS.

    P(SUCESSO de X) = 0,4

    P(SUCESSO de Y) = 0,4

    O comando da questão pede a SOMA do Desvio Padrão (S):

    S = X + Y

    S = 0,4 + 0,4

    S = 0,8.

    OBS: Se o S = 0,8, então o seu Oposto será seu Complementar = 0,2.

    OBS: A questão cita "mutuamente exclusivos" tal expressão refere-se a Distribuição Discreta de Bernoulli, cuja Variância (fórmula que usaremos para encontrar o Desvio Padrão) é S² = P x Q.

    S² = 0,8 x 0,2 ---> 0,16

    S = raiz de 0,16 ----> 0,4.

    Gab. CORRETO.

  • Não entendi a resolução deles não. Não teria que jogar na fórmula pra achar variância de S?

    Var(S) = Var(X+Y), ai desenvolve.

  • Cuidado com esse tipo de questão. Não é simplesmente falar que vai ser uma distribuição de Bernoulli. A média e a variância ainda devem ser verificadas. Com a correspondência E(S)=p e Var(S)=p(1-p). 

    E(S)=E(X)+E(Y)=0,4+0,4=0,8 

    Var(S)=Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y) 

    = 0,4*0,6 + 0,4*0,6 +2[E(XY)-E(X)E(Y)]

    = 0,48 + 2 [E(XY)-0,4*0,4]

    = 0,48 + 2 [E(XY) - 0,16]  

    Aqui vai ter que criar uma tabela pra achar E(XY)

    X   Y    XY   P(XY)

    0   0     0      a

    0   1     0      b

    1   0     0      c

    1   1     1      0   (Enunciado disse que A = [X = 1] e B = [Y = 1] sejam mutuamente exclusivos, então a interseção é nula) 

    Sendo assim, a esperança é E(XY)=0*a+0*b+0*c+1*0 = 0. Agora sim, sabemos que E(XY)=0. 

    Então, Var(S)=0,48 - 2 [E(XY) - 0,16] = 0,48+2[0 - 0,16]= 0,48 - 0,32 = 0,16. 

    Temos então E(S)= p = 0,8 e só podemos dizer que é uma distribuição de Bernoulli se Var(S)=p(1-p)=0,8*0,2=0,16. 

    Fonte: Transcrição do comentário do colega Áleff R, retirado da questão Q901826.

    Então, raiz(0,16) = 0,4.

  • Só o melagrião essa questão. Pq são conceitos simples, porém causa confusão na cabeça do candidato.

ID
2705491
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
MPU
Ano
2013
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

As variáveis aleatórias X e Y seguem uma distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso igual a 0,4. Considerando S = X + Y e que os eventos aleatórios A = [X = 1] e B = [Y = 1] sejam mutuamente exclusivos, julgue o item subsequente.


É correto afirmar que P(A ∪ B) = P(S = 1) = 0,8.

Alternativas
Comentários

  • A probabilidade de um evento união é dada por:

    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

    Se eventos são mutuamente exclusivos P(A ∩ B) = 0.

    Aplicando na questão:

    P(A ∪ B) = 0,4 + 0,4 - 0,0 = 0,8

    Gabarito Certo

    Qualquer equívoco, favor informar.

  • Não estaria errado pq numa distribuição de bernoulli os eventos não são mutuamente excludentes?

  • S segue uma distribuição de Bernoulli com p=0,8. Isso é provado na questão Q901824. Sendo assim, P(S=1)=0,8. 

    E P(AuB)=P(X=1 ∪ Y=1) =P(X=1)+P(Y=1)=0,8. (São mutuamente exclusivos)

    Portanto, P(S=1)=0,8=P(AuB). 

    CORRETA.  

  • Por quê P(S=1) também é 0,8?

  • P(x)= 0,4

    Q(x)=0,6

    P(y)=0,4

    Q(y)=0,6

    A questão pede apenas o sucesso.

    S= x+y, qndo A = (x=1) e B =(y=1)

    S= 0,4+ 0,4= 0,8

ID
2776924
Banca
FCC
Órgão
TRT - 14ª Região (RO e AC)
Ano
2018
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A média de uma variável aleatória X, cuja distribuição é desconhecida, é igual a m, com m > 0. Pelo Teorema de Tchebichev, a probabilidade de X não pertencer ao intervalo (m − θ, m + θ), com m > θ, é no máximo igual a 16%. O desvio padrão de X é então igual a θ multiplicado por

Alternativas
Comentários

  • A probabilidade de X não pertencer ao intervalo é de no máximo 16%, ou seja, pela equação:

    1/k² = 0,16

    k² = 1/0,16

    k² = 100/16 (Multiplicando por 100 o numerador e denominador pra facilitar o cálculo)

    k = √100/16

    k = 10/4

    k = 2,5.

    Esse variação θ em torno da média é dado por: k*σ (constante "k" encontrada multiplicado pelo desvio padrão)

    ENtão:

    k*σ = θ

    2,5*σ = θ

    σ = θ/2,5 (multiplicando por 2 o numerador e denominador)

    σ = 2θ/5

    σ = (2/5)*θ

    letra A.

ID
2783263
Banca
FGV
Órgão
AL-RO
Ano
2018
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Se X1, X2, ..., Xn é uma amostra aleatória simples de uma distribuição Bernoulli (p), então o estimador de máxima verossimilhança da variância populacional é

Alternativas
Comentários

  • O ensaio de Bernoulli é a distribuição binomial feita com amostra n=1.

    Na distribuição binomial:

    estimador da média= n.p

    estimador da variância= n p (1-p)

    sendo p a probabilidade de sucesso.

    Questão semelhante: Q933275

  • a média, esperança, de uma distribuição binomial é p = x barra

    a variancia de uma distribuição binomial = pq = p*(1-p)

    assim, letra e

  • media eh o mesmo que esperança

ID
3364435
Banca
IBADE
Órgão
IPM - JP
Ano
2018
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Sabe-se que a distribuição geométrica pode ser interpretada como uma sequência de ensaios de Bernoulli, independentes, até a ocorrência do primeiro sucesso. Assinale a alternativa que indica c o r r e t a m e n t e a m é d i a e a v a r i â n c i a , respectivamente, de uma distribuição geométrica cujo parâmetro é p = 0,64 e tendo como parametrização o número de ensaios de Bernoulli até se obter um sucesso.

Alternativas
Comentários

  • Média ou valor esperado = 1/p; logo: 1 / 0,64 = 1,56

    Variância = (1-p) / p²; logo: (1 - 0,64) / 0,4096 = 0,878 que, aproximando, fica 0,88

    Letra b)

  • Não seria 0,36/0,40= 0,9?

  • Quando pede a média, devemos usar a fórmula de valor esperado. Sendo assim, por se tratar de distribuição geométrica, o cálculo fica da seguinte forma:

    Valor esperado

    E (X) = 1/P

    E (X) = 1/0,64

    E (X) = 1,56 -----> Logo, sabemos que a média é 1,56. Então, descartamos as alternativas C e D.

    Vâriancia

    VAR (X) = (1-P)/P²

    VAR (X) = 0,36/0,64²

    VAR (X)= 0,88 (valor aproximado)

    Alternativa correta: (B)