A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à Análise Combinatória.
A Análise Combinatória, na Matemática, pode ser dividida, de uma forma geral, em Combinação e Arranjo.
Pode-se definir a Combinação da seguinte forma: contagem das possibilidades da composição de determinado subconjunto formado por p elementos distintos a partir de um conjunto global formado por n elementos distintos. Vale ressaltar que, na Combinação, a ordem dos elementos não importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é o mesmo conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo da Combinação é a seguinte:
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “C” a Combinação.
Nesse sentido, é possível definir o Arranjo da seguinte forma: cálculo da quantidade de possibilidades para se formar um agrupamento ordenado de p elementos distintos dentre um conjunto global formado por n elementos distintos. Frisa-se que, no Arranjo, diferentemente da Combinação, a ordem dos elementos importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é diferente do conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo do Arranjo é a seguinte:
A (n,p) = n! / ((n – p)!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “A” o Arranjo.
Por fim, importa salientar que a expressão “!” significa fatorial, ou seja, a seguinte multiplicação:
n! = n * (n - 1) * (n – 2) * ... * 1.
A título de exemplo, segue a fatoração do número “5”:
5! = 5 * (5 – 1) * (5 – 2) * (5 – 3) * (5 – 4) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Referências Bibliográfica:
1. MORGADO, Augusto C.; CARVALHO, João B. P. de; CARVALHO, Paulo Cezar P.; FERNANDEZ, Pedro – Análise Combinatória e Probabilidade – 9ª ed. – Rio de Janeiro, SBM, 1991.
2. SANTOS, José Plínio O.; MELL, Margarida P.; MURARI, Idani T. C. – Introdução à Análise Combinatória – 4ª edição revista – Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2007.
Tal questão apresenta os seguintes dados, para a sua resolução:
1) Fernanda foi com suas amigas em uma lanchonete que trabalha com oito tipos de suco e doze tipos de sanduíche.
2) A partir da informação acima, pode-se concluir que a situação em tela se trata de uma Combinação, já que a ordem dos elementos não importa. Por exemplo, ao se escolher o lanche "A" com o suco "B", tem-se a mesma situação em que se escolhe o suco "B" com o lanche "A".
Nesse sentido, tal questão deseja saber qual o número de possibilidades que ela tem para escolher um suco e um sanduíche.
Resolvendo a questão
Conforme explanado anteriormente, no contexto apresentado, trata-se de uma Combinação em que se escolherá 1 (um) lanche dentre um conjunto global formado por 12 (doze) lanches e também se escolherá 1 (um) suco dentre um conjunto global formado por 8 (oito) sucos. Neste caso, cabe destacar que o resultado das combinações deverá ser multiplicado.
Ao se escolher o lanche, o valor de p corresponde a 1 e o valor de n corresponde a 12. A partir disso, deverá ser feito o seguinte cálculo:
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!), sendo que p = 1 e n = 12
C (12,1) = 12! / (((12 - 1)!) * 1!)
C (12,1) = (12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((11!) * 1)
C (12,1) = (12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 1)
C (12,1) = (12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
C (12,1) = 12.
Nesse sentido, ao se escolher o suco, o valor de p corresponde a 1 e o valor de n corresponde a 8. A partir disso, deverá ser feito o seguinte cálculo:
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!), sendo que p = 1 e n = 8
C (8,1) = 8! / (((8 - 1)!) * 1!)
C (8,1) = (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((7!) * 1)
C (8,1) = (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 1)
C (8,1) = (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
C (8,1) = 8.
Por fim, devem ser multiplicados os valores encontrados acima, a partir dos cálculos referentes à combinação.
Assim, tem-se o seguinte:
12 * 8 = 96.
Portanto, o número de possibilidades que Fernanda tem para escolher um suco e um sanduíche corresponde a 96 possibilidades.
Gabarito: letra "e".