A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à Análise Combinatória e à Probabilidade.
A Análise Combinatória, na Matemática, pode ser dividida, de uma forma geral, em Combinação e Arranjo.
Pode-se definir a Combinação da seguinte forma: contagem das possibilidades da composição de determinado subconjunto formado por p elementos distintos a partir de um conjunto global formado por n elementos distintos. Vale ressaltar que, na Combinação, a ordem dos elementos não importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é o mesmo conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo da Combinação é a seguinte:
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “C” a Combinação.
Nesse sentido, é possível definir o Arranjo da seguinte forma: cálculo da quantidade de possibilidades para se formar um agrupamento ordenado de p elementos distintos dentre um conjunto global formado por n elementos distintos. Frisa-se que, no Arranjo, diferentemente da Combinação, a ordem dos elementos importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é diferente do conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo do Arranjo é a seguinte:
A (n,p) = n! / ((n – p)!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “A” o Arranjo.
Por fim, importa salientar que a expressão “!” significa fatorial, ou seja, a seguinte multiplicação:
n! = n * (n - 1) * (n – 2) * ... * 1.
A título de exemplo, segue a fatoração do número “5”:
5! = 5 * (5 – 1) * (5 – 2) * (5 – 3) * (5 – 4) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Pode-se definir a probabilidade da seguinte forma: o número de ocorrências do(s) evento(s) esperado(s) dividido pelo número de eventos totais referentes a um experimento (espaço amostral).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “P” a probabilidade.
Referências Bibliográfica:
1. MORGADO, Augusto C.; CARVALHO, João B. P. de; CARVALHO, Paulo Cezar P.; FERNANDEZ, Pedro – Análise Combinatória e Probabilidade – 9ª ed. – Rio de Janeiro, SBM, 1991.
2. SANTOS, José Plínio O.; MELL, Margarida P.; MURARI, Idani T. C. – Introdução à Análise Combinatória – 4ª edição revista – Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2007.
Tal questão apresenta os seguintes dados, para a sua resolução:
1) Uma pessoa cria uma senha numérica e, passado algum tempo, ela a esquece.
2) No entanto, lembra-se somente que a senha é composta de quatro algarismos distintos.
Nesse sentido, tal questão deseja saber, se ela tentar uma única vez, escolhendo os algarismos ao acaso, a probabilidade de acertar a senha.
Resolvendo a questão
Inicialmente, deve-se destacar que o número de ocorrências do evento esperado, no contexto da questão, corresponde a uma única tentativa.
Logo, o número de ocorrências em tela é 1.
De modo a se facilitar a conta, iremos chamar de “N(e)” o número de ocorrências do evento esperado, sendo que este corresponde a 1, na situação em tela.
Nesse sentido, é importante destacar que a situação em tela corresponde a um Arranjo, já que a ordem dos elementos importa. Por exemplo, a senha "1234" é diferente da senha "1243". Portanto, a ordem dos elementos deve ser considerada para a resolução da questão em tela.
Assim, o espaço amostral, no contexto apresentado, será um Arranjo em que se formará um agrupamento ordenado de 4 elementos distintos dentre um conjunto global formado por 10 elementos distintos. Logo, o valor de p corresponde a 4 e o valor de n corresponde a 10. A partir disso, deverá ser feito o seguinte cálculo:
A (n,p) = n! / ((n – p)!), sendo que p = 4 e n = 10
A (10,4) = 10!/ ((10 - 4)!)
A (10,4) = 10!/6!
A (10,4) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)/(6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
A (10,4) = 10 * 9 * 8 * 7
A (10,4) = 5.040.
Logo, o espaço amostral em tela é 5.040.
De modo a se facilitar a conta, iremos chamar de “N(s)” o espaço amostral, sendo que este corresponde a 5.040, na situação em tela, conforme explanado acima.
Portanto, para se calcular a probabilidade, neste caso, tem-se o seguinte:
P = N(e)/N(s), sendo que N(e) = 1 e N(s) = 5.040
P = 1/5.040.
Portanto, na situação da questão em tela, se a pessoa tentar uma única vez, escolhendo os algarismos ao acaso, a probabilidade de se acertar a senha, nesta única tentativa, é de uma em 5.040.
Gabarito: letra "d".