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                                Gabarito Letra E A1=1 , a2=k , a3 =a1+a2 = 1 + k. a4=a1+a2+a3= 2+2k a5=a1+a2+a3+a4= 4+4k. Percebe-se que o termo a4 é o dobro de a3 e que a5 é o dobro de a4...e assim sucessivamente. a5=2*a4=4+4k. a6=2*a5 ... Então,desenvolvendo:a13=1024+1024k. Como a13=6144 , temos que 6144=1024+1024k. K=(6144-1024)/1024 K=5.       Editei meu comentário para detalhar para quem ficou com dúvida: A partir do termo a3 ,o termo seguinte é sempre o dobro do termo anterior. Por exemplo,se a4=2*a3 ; a13=2*a12 ... Posso escrever meu termo a13 em função de a3 sabendo que multiplicarei por 2 , 10 vezes. A13=(2^10)*A3 = (2^10)*(1+1k) 2^10=1024 -> A13=1024+1024k.     Se ainda não ficou claro,de maneira simplificada: A13=2*A12. Mas quem é A12? A12=2*A11 . A13=2*(2*A11) Quem é A11? A11=2*A10... Nessa brincadeira, chegaremos até A3 ,resultando na expressão geral acima A13=(2^10)*A3. 
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                                Pensei da seguinte forma: a soma do 1° e do último(13) = 6145 que é divisível por 5. OU... o próximo numero divisível por 13 é o 6149 ou seja Somado +5 ao 13° termo.   Propriedades da P.A Soma de termos equidistantes aos extremos é igual à soma dos extremos. 
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                                JÁ EU NÃO PENSEI NADA!!!! 
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                                Fui na soma humilde, testei o valor mais alto e depois num intermediário.  
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                                Desculpem, não entendi. Esse 1024? Alguém pode me dizer como surgiu? rs 
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                                Dá onde surgiu 1024 ?!?!!?  
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                                Me resta rezar para que uma maldita dessas não caia numa prova que eu for fazer 
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                                a1= 1 a2= k a3= 1+k ---------------------------------- a4= 2+2K   a5= 4+4k = 2.2 + 2.2.k   a6= 8+8k = 2.2.2 + 2.2.2.k ... a13= 2^10 + 2^10.k   obs. do a4 a a13 existem 10 elementos, por isso o 2^10 2^10 = 1024    Se o 13° termo é 6144, o valor de k é 1024+1024k = 6144   k=5 
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                                A lógica é de sempre dobrar os número a partir da posição 3. O número 6144 é 2 elevado a 11 vezes 3 e ocupa a posição 13. A posição 12 é 2 elevado a 10 vezes 3 e ocupa a posição 12. Sempre vai tirando assim e vamos chegar a posição 3, que é 2 elevado a 1 vezes 3. Logo, a posição 3 é 6. Então, sabemos que o número K + 1 = 6 Logo, K = 5.   
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                                PARA CHEGAR NO 1024 (que o colega Victor Matheus e o professor Thiago Nunes citam nas explicações deles)   Se a4 = 2 + 2k e a5 = 4 + 4k então: a6 = 8 + 8k a7 = 16 + 16k a8 = 32 + 32k a9 = 64 + 64k a10 = 128 +128k a11 = 256 + 256k a12 = 512 + 512k a13 = 1024 +1024k (sempre dobra o valor)   Eu fiz por dedução (alternativa por alternativa) 1, 5 (supondo que k seria 5), 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536, 3072, 6144 Realmente a partir da 4 posição sempre dobra o valor     @carol.nostribunais 
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                                Teve que ser na raça mesmo, testando o maior e depois o intermediário, como um colega disse nos comentários. 
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                                há ótimos comentários, bem detalhados até. Pra quem continuou com dúvidas, sugiro tentar refazer as contas na mão, na munheca, acompanhando os comentários. Primeiro termo, a1= 1 a2 = k A partir daqui, os próximos "a"s serão compostos pela soma dos "a"s anteriores - foi o q a questão nos disse. a3 = soma dos "a"s anteriores. Logo, a3 = a2 + a1 Veja q a2 = k e a1 = 1 a3 = k + 1 E a4? é a soma das "s" anteriores. a4 = a3 + a2 + a1 = (k+1) + k + 1 = 2k + 2 a5 = somas dos "a"s anteriores. a5 = (2k + 2) + (k+1) + k + 1 = 4k + 4 A partir daqui já dá de perceber q o próximo "a" terá o "k" do "a" anterior mas multiplicado por 2 Perceba nos valores q achamos de a5 e a5 a5 = 4k + 4 a4 = 2k + 2 Se vc ainda não percebeu, olhe para o a5 da seguinte forma: a5 = 2*(k+1) Só coloquei o dois em evidência. Os próximos termos seguirão a mesma lógica, sempre o anterior multiplicado por 2 a6 = a5*2 a7 = a6*2 a8 = a7*2 . . a13 = a12*2 = (512k + 512)*2 = 1024k + 1024 Agora, basta igualar com o valor de a13 q nos foi dado e isolar o k 1024k + 1024 = 6144 k = 5 
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                                A questão fala que  o a1= 1 e o a2= k.   Do ''a3'' para frente, todos os termos serão o resultado da soma do termos anteriores:   a3= a1 + a2 a3= 1 + k = 1( k + 1)   a4= a1 + a2 + a3 a4= 1 + k + 1( 1+k)= 2( k + 1)   a5= a1+ a2 + a3 + a4 a5= 1 + k + 1(1 + k) + ( 1 + k + ( 1 +k)= 4( k + 1 )   a6= a1 + a2 + a3 + a4 + a5 a6 = 8( k+1)   Percebe-se que a partir do ''a3'' dobra a quantidade de ''k+1'', isto é, uma P.G de razão ''2'.   Então, precisa-se saber quantos ''k+1'' vão ter no ''a13''.   Como é a partir do ''a3'' que começa dobrar os ''k+1'', então é daqui que devemos considerar a quantidade de termos.   a3-a4-a5-a6-a7-a8-a9-a10-a11-a12-a13= tem 11 termos e dobrou 10x.(a3-a4 dobrou 1; do a4-a5 dobrou 2......a12-a13 dobrou 10).   Vamos aplicar na P.G:   an= a1. q^n-1.   an= termo que eu quero saber que 11º termo que é o ''a13''.   a1= é o primeiro termo da nossa P.G que é o ''1'' do 1(k+1).   q= é a nossa razão que é ''2'' porque dobra a quantidade de ''k+1'' a cada termo.   11º= 1. q^11-1 11º=1. 2^10 11º= 1024   então no nosso 11º termo, isto é, ''a13'', teremos 1024(k+1).   Agora, é só substituir.   a13= 1024(k+1) 6144= 1024 + 1024k 6144-1024= 1024k 5120=1024k 5120/1024=k 5=k       Galera, parece um monstrinho, mas isso é prática. Todo mundo que conseguiu resolver essa não conseguiu resolver várias até chegar a acertar.   Deus os abençoe. Bons estudos.   
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                                Percebe-se que do A3 em diante é sempre o dobro, logo, é só pegar o valor de A13 = 6144 e ir dividindo por 2 (são divisões rápidas e simples).   Quando chegar no resultado A3 = 6 está resolvido,   A1 = 1 A2 = k A3 = 1 + k   Sabemos que A3 é 6, então substituindo achamos K = 5   "Não é força, é jeito, desloca o goleiro"     
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                                DEUS ME LIVRE 
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                                Essa é aquela pra voce nao deixar em branco.. Não, pera...    
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                                essa é aquela que fica por último, quando você levanta pra tomar uma água, passa o gabarito... e vai roendo  
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                                A1=1 A2=k   A3=A1+A2=1+K A4=A1+A2+A3=2+2K A5= . . . = 4+4k A6= . . . = 8+8K A7= . . . = 16+16K A8= . . . = 32+32K A9= . . . = 64+64K A10= . . . = 128+128k A11= . . . = 256+256K A12= . . . = 512+512k A13= . . . = 1024+1024K   Diminui o primeiro, pois quer o valor de "K".   6144-1024=5120   Divide-se o resultado por "K"   5120/1024= 5   Tem uma pegadinha pro caso de alguém esquecer de diminuir, colocaram como opção de resposta.   Boa Sorte para todos nós! 
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                                Pessoal, acho que a dificuldade maior da questão está em entender o enunciado (pra mim pelo menos). Então, lá vai!   Dicionário: a = número e n = posição   an = an − 1 + ... + a1    Lendo isso em português: o número da posição atual (an) é igual ao número da posição atual menos uma posição (número da posição anterior) (an - 1) mais os números anteriores até chegar na primeira posição (+ ... + a1).   Passando para a linguagem matemática e fazendo o terceiro termo: a3 (número da posição 3) = K + 1 (k = número da posição anterior; + 1 =números das posições anteriores).   a1= 1 a2 = K a3 = K+1 a4 = (K+1)+ K + 1   Minha dica (de quem tem muita dificuldade com matemática) é escrever "na raça" as primeiras sequências até vc perceber um padrão para conseguir chegar ao resultado de alguma forma.   Qualquer erro, me avisem!  :)