Uma série temporal pode ser de?nida como uma sequência de observações de uma variável no tempo. O modelo de análise clássico distingue os seguintes componentes de uma série temporal, a saber: tendência; estacionalidade ou sazonalidade; ciclo e aleatoriedade. Com relação a esses componentes de uma série temporal, pode-se a?rmar que:
Sejam duas distribuições de probabilidade fortemente assimétricas: A e B. A distribuição A apresenta moda > mediana > média. A distribuição B apresenta média > mediana > moda. Com essas a? rmações pode-se, corretamente, a?rmar que:
Uma variável aleatória x tem média igual a 6 e coe?ciente de variação igual a 0,50. A partir disso, pode-se a?rmar que .o coe? ciente de variação da variável y = 5x -2/ 2 é igual a:
Uma empresa adquiriu, em janeiro de 2010, 100 unidades de um componente de fabricação, ao preço unitário de R$ 200,00. Em fevereiro do mesmo ano, essa empresa adquiriu 96 unidades ao preço unitário de R$ 260,00. Desse modo, pode-se a?rmar que, com base em janeiro:
Em um período de cinco anos, Maria teve seu salário majorado em 80,32%. Nesse mesmo período, a in?ação acusou uma elevação de 96%. Desse modo, a perda percentual do poder aquisitivo do salário de Maria no ?nal de cinco anos foi igual a
Seja x1 ; x2 ; x3 ; .......xn uma amostra aleatória de tamanho n de uma população qualquer. Construindo-se um intervalo de 95% de con? ança para a média, pode-se, corretamente, a?rmar que:
Dado o conjunto de valores {1 , 2 , 3 , 4 , 5}, pode-se a?rmar que:
Considere a seguinte amostra de uma variável de média e variância desconhecidas:
3, 1, 5, 2, 3, 4, 5, 2, 2, 4, 6, 11. Assim, o valor da estimativa não tendenciosa da variância populacional é igual a:
Três variáveis aleatórias independentes, x1 , x2 e x3 , possuem médias iguais a 50, 5, e 30, respectivamente. Os desvios-padrão são, respectivamente, iguais a 12, 2 e 6. Sabendo-se que a variável Z é dada por:
Z= - x1+ 4x + x3
2
Assim, pode-se a?rmar que a variância de Z é igual a:
O faturamento de uma empresa aumentou de 4 mil dólares em 2010 para 8 mil dólares em 2011. Com um programa de publicidade, o faturamento de 8 mil dólares em 2011 aumentou para 10 mil dólares em 2012. Desse modo, pode-se a?rmar que a proporção média de aumento anual é igual a:
Uma variável X tem distribuição normal, com média 20 e desvio-padrão 10. A probabilidade de essa população gerar uma amostra de tamanho 25, cuja média seja maior ou igual a 20 é igual a:
Dois eventos, A e B, são ditos independentes quando:
Dois eventos A e B são tais que: P(A) = 0,25; P(B/A) = 0,5; P(A/B) = 0,25. Assim, pode-se a?rmar que:
Em uma universidade, 30% dos alunos são estrangeiros. Entre os alunos estrangeiros, 60% são mulheres. As mulheres constituem 50 % dos alunos dessa universidade. Desse modo, o percentual de estrangeiros entre os homens é igual a:
Uma moeda não viciada é lançada 4 vezes. Assim, a probabilidade de se obter 2 caras é igual a:
Quando Maria vai visitar sua família, a probabilidade de Maria encontrar sua ?lha Kátia é 0,25; a probabilidade de Maria encontrar seu primo Josino é igual a 0,30; a probabilidade de Maria encontrar ambos - Kátia e Josino - é igual a 0,05. Sabendo-se que, ao visitar sua família, Maria encontrou Kátia, então a probabilidade de ela ter encontrado Josino é igual a:
Beto e Bóris são grandes amigos e moram em cidades diferentes. Durante uma viagem que realizaram ao Rio de Janeiro para participar de um congresso, Beto ?cou devendo a Bóris 500 dólares. Bóris, um rico empresário, disse a Beto que não se preocupasse com a dívida, pois assim teria um motivo para viajar até a cidade de Beto, tantas vezes quantas forem necessárias, para cobrar a dívida. Como Beto reside sozinho e costuma sair muito, Bóris só poderá cobrar a dívida se encontrar Beto em sua casa. Sabe-se que a probabilidade de Beto ser encontrado em casa é 1/5. Então, a probabilidade de Bóris ter de ir mais de 2 vezes à casa de Beto para cobrar a dívida é dada por:
O processo de produção de uma fábrica de copos está apresentando um grande número de copos defeituosos, ou seja: copos trincados. Antonio e Ricardo estão realizando um estudo para analisar a quantidade de copos trincados. Antonio embala em uma caixa 8 copos, dos quais 3 estão trincados. Ricardo retira, aleatoriamente, e sem reposição, 4 copos da caixa. Então, a probabilidade de Ricardo retirar, exatamente, dois copos trincados é igual a:
Coruja e Pardal são dois jogadores do Futebol Clube Natureza, FCN. Talvez Coruja e Pardal não possam defender o FCN em sua próxima partida, contra seu temido adversário, o Futebol Clube Verde, FCV. A probabilidade de Coruja jogar é 40% e a de Pardal jogar é 70%. Com ambos os jogadores em campo, o FCN terá 60% de probabilidade de vencer o FCV. Mas se nem Coruja e nem Pardal jogarem, a probabilidade de vitória do FCN passa para 30%. No entanto, se Coruja jogar e Pardal não jogar, a probabilidade de o FCN vencer o FCV é de 50%. Se Pardal jogar e Coruja não jogar, essa probabilidade passa para 40%. Sabendo-se que o fato de Coruja jogar ou não é independente de Pardal jogar ou não, então a probabilidade de o FCN vencer seu temido adversário é igual a:
Em um clube, 5% dos homens e 2% das mulheres praticam basquete. Sabe-se que 40% dos frequentadores são mulheres. Selecionando-se, ao acaso, um frequentador desse clube, veri?cou-se que ele pratica basquete. Assim, a probabilidade desse frequentador ser mulher é igual a:
A variável aleatória X é uma variável aleatória de? nida pela função densidade dada por:
f(x) = 0 para x < 0
f(x) = p para 0 = x < 1
f(x) = p (2 - x) para 1 = x < 2
f(x) = 0 para x = 2
Desse modo, o valor da constante p é igual a:
Uma caixa contém 6 moedas de ouro e 4 moedas de prata. Três moedas são retiradas, sem reposição, dessa caixa. Em um jogo, Odete ganha R$ 2,00 por moeda de ouro retirada e perde R$1,00 por moeda de prata retirada. Para tornar o jogo justo, o valor que Odete deverá pagar - em reais - para entrar no jogo é igual a:
O tempo de vida útil - em anos - de uma máquina de cortar papel é uma variável aleatória X com função densidade igual a:
f(x) = 1/5 e (-x/5) para x ≥ 0 e f(x) = 0 para x < 0
Assim, a probabilidade de o tempo de vida útil da máquina ser maior do que a média da variável X é igual a:
Uma variável aleatória contínua x possui função densidade dada por: f(x) = 0 para x < 0; f(x) = 3 x2 para 0 = x = 1; f(x) = 0 para x > 1. Desse modo, a expectância de x é igual a:
Considerando a variável aleatória contínua bidimensional de? nida por f (x,y) = 6xy para 0 = x = 1 e 0 = y = 1, então a probabilidade de conjuntamente ocorrer 0 = x = 0,5 e 0 = y = 0,5, ou seja, P(x = 0,5 , y = 0,5) é igual a:
Uma variável aleatória bidimensional discreta (X , Y) possui distribuição conjunta. Os valores assumidos pela variável X são {1 , 3}. Os valores assumidos pela variável Y são {-3 , 2 , 4}. Sabendo-se que:
P(X = 1 ∩ Y= - 3) = 0,1; P(X = 1 ∩ Y= 2) = 0,2; P(X = 1 ∩ Y = 4) = 0,2 P(X = 3 ∩ Y = -3) = 0,3; P(X = 3 ∩ Y = 2) = 0,1; P(X = 3 ∩Y = 4) = 0,1.
então, a expectância da distribuição de X condicionada a Y = -3 é igual a:
O coe?ciente de correlação linear entre as variáveis aleatórias x e y é igual a 0,99. A partir disso pode-se, corretamente, a?rmar que:
Uma variável aleatória x qualquer possui média igual a 4 metros. Sabendo-se que a média do quadrado dos valores de x é igual a 36 m2 , então a variância relativa de x é igual a:
Uma máquina de produzir garrafas apresenta 2% das garrafas com algum tipo de defeito. Reinaldo, que é engenheiro de produção, está realizando um trabalho para diminuir o percentual de garrafas defeituosas. Para dar continuidade ao trabalho, ele precisa conhecer a probabilidade de se obter 3 garrafas defeituosas. Para tanto, Reinaldo retirou, aleatoriamente, uma amostra de 100 garrafas. Sabendo-se que Reinaldo utilizou a Distribuição de Poisson para calcular de modo aproximado essa probabilidade, então o resultado obtido por Reinaldo é igual a:
Um dado é lançado 20 vezes. Desse modo, a probabilidade de a face 6 aparecer 3 vezes, a face 5 aparecer 2 vezes e a face 1 aparecer 4 vezes e as demais aparecerem uma vez é igual a:
Uma variável aleatória X possui função de densidade uniforme com parâmetros α e ß, sendo α < ß. Sendo a expectância de x, a variância de x e a função distribuição de x denotados, respectivamente, por E(X), Var (x) e F(x). Desse modo, pode-se a?rmar que
Matias é arquiteto e está desenvolvendo o projeto para um grande condomínio horizontal. Os condôminos sempre estão em contato com Matias perguntando quando o projeto ?cará pronto. Sabendo-se que Matias recebe desses condôminos, em média, 2 mensagens por dia em seu celular, então a probabilidade de Matias receber 2 mensagens em 4 dias é igual a:
A retirada de amostras aleatórias simples pode ser realizada segundo dois critérios, a saber: com ou sem reposição. Considerando-se uma população de tamanho N = 10 e amostras de tamanho n = 3, o número de possíveis amostras aleatórias simples que podem ser retiradas dessa população, utilizando-se os critérios com e sem reposição são, respectivamente, iguais a:
Em um modelo de regressão linear simples da forma Y = α + β X + μ , foram calculadas, pelo método de mínimos quadrados ordinários, as estimativas dos parâmetros obtendo-se Y = a + b X , cujo coe?ciente de determinação é igual a 0,95. Isso signi?ca que:
Com relação aos erros que podem ocorrer em um teste de hipóteses, pode-se afirmar que:
O Teste de Kolmogorov-Smirnov de uma amostra é baseado na diferença entre duas funções: a Função Distribuição, F(x), e a Função Distribuição Empírica da amostra, de?nida como a proporção das observações da amostra menores ou iguais a 1. Com relação a esse teste, pode-se a?rmar que a escala de medida da variável aleatória x deve ter seu nível de mensuração:
Rita é professora de estatística e está orientando o Trabalho de Conclusão de Curso de seu aluno Roberto. Em uma reunião, para dar prosseguimento ao referido trabalho, Rita informa a Roberto que a diferença entre duas médias amostrais, de populações independentes e de variância conhecidas, é estatisticamente signi?cativa ao nível de signi?cância 5%. A partir dessa informação, Roberto pode concluir que a probabilidade de as duas médias populacionais serem:
Para se estimar a tendência das importações de determinada matéria-prima realizadas por uma grande empresa, foram coletados, em 2010, os seguintes dados de importações durante os meses 1, 2, 3 e 4. Nesses meses, as importações realizadas por essa empresa, em milhares de dólares, foram iguais a 2, 5, 4 e 3, respectivamente. Sabendo-se que a reta de tendência linear Imp(t) = a + bt + u foi estimada pelo método de mínimos quadrados ordinários, então a função tendência das importações é dada por:
A nota média dos alunos de Estatística Inferencial é 80. Esses alunos de Estatística Inferencial ?zeram um curso de aperfeiçoamento. Para testar a hipótese de que o curso de aperfeiçoamento não alterou a média desses alunos, foi retirada uma amostra, ao acaso, de 16 notas, obtendo- se média igual a 83 e variância igual a 25. Sendo o nível de signi?cância igual a 0,05, então:
Para testar a hipótese de que a variância de uma população é 25, foi retirada uma amostra aleatória de 25 elementos, obtendo-se uma variância estimada igual a 15. Realizando-se o teste de hipóteses unicaudal à esquerda para a variância, com nível de significância de 10%, pode-se concluir que:
Para testar a hipótese de que a média de uma população qualquer é 115, construiu-se um teste de hipóteses no qual: H0: μ = 115, contra a hipótese alternativa de que a média da população é diferente de 115, Ha: μ; ≠ 115. Para isso, retirou-se uma amostra de tamanho n = 16, obtendo-se X = 118 e variância estimada igual a σ2 = 25. Assim, com relação ao teste de hipóteses e à construção de intervalos de con?ança para a média, pode-se a?rmar que
De uma população foi retirada uma amostra de 5 elementos de cada uma das variáveis X e Y. Para saber se há ou não correlação linear entre essas duas variáveis na população, da qual foi retirada esta amostra, foi realizado um teste de hipóteses bilateral, para veri? car a nulidade do coe? ciente de correlação linear, ? na população. O valor da estimativa do coe? ciente de correlação foi igual a 0,95. Sabendo-se que o teste foi realizado com um nível de signi? cância de 5 %, então o valor calculado da estatística de teste é igual a
Uma variável aleatória possui distribuição normal com média μ = 16. Dessa população foi retirada uma amostra de tamanho n = 100, cuja média é igual a 12 e variância estimada igual a 4, ou seja: σ2 = 4. Assim, x tem distribuição de probabilidade:
Um instituto de pesquisa está interessado no percentual de brasileiros que costumam usar transporte coletivo para ir ao trabalho. Para isso, foi retirada uma amostra de tamanho n, cuja proporção de brasileiros que costumam utilizar transporte coletivo para ir ao trabalho é igual a 30%. No entanto, por ?carem inseguros com o resultado obtido, os pesquisadores resolveram determinar que o erro de estimação deve ser de 1%, ao nível de con? ança igual a 95%. Assim, o tamanho m de uma nova amostra deverá ser igual a:
Uma variável aleatória X possui distribuição normal, com desvio-padrão igual a 2 unidades. O tamanho da amostra necessário para se ter 95,44% de con?ança de que o erro padrão da estimativa da média populacional não seja maior do que 0,5 unidades é:
Com relação à amostragem, pode-se a?rmar que:
A produção anual de determinado produto é de 1000 unidades. Dessa produção, retirou-se uma amostra de 100 unidades, observando-se uma proporção amostral de 30% de produtos defeituosos. Desse modo, pode-se a? rmar que o erro amostral ao nível de con?ança de 95% é dado por:
O Departamento de Recursos Humanos de uma grande empresa veri? cou que os salários dos funcionários da área ? nanceira são normalmente distribuídos. Uma amostra aleatória de n salários apresentou desvio-padrão estimado igual a s. Assim, pode-se a? rmar que o intervalo de p % de con?ança para a variância populacional é igual a: