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C8,3 + C8,3= 56+56=112
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Por que se soma ao invés de multiplicar?
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Concurseira Vip, são 8 setores, vou escolher entre os 8 qualquer uma das 3 passagens --> combinatória 8,3= 56
56 + __ __ eu vou somar porque são as maneiras distintas de se alocar o primeiro setor + a possibilidades de escolher o segundo setor(8x7= 56)
esse é o jeito certo 56 + 8 x 7= 112
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Obrigada, Alyson. Só que fiquei com dúvida do porquê na segunda possibilidade ter se considerado arranjo 8,2? O meu raciocínio para resolver isso foi o seguinte:
8 1 7 ------> Primeiro sorteio escolheu um número (8 possibilidades), o segundo sorteio vai repetir o número (1 possibilidade) e o terceiro vai sortear os números que sobraram (7 possibilidades). Não é combinação porque se eu escolher um número (exemplo: número 6), no segundo sorteio escolher, dentre os 8 números, o número 4, na terceira rodada eu posso ou não repetir os números se aplicar a C8,3. Logo, a segunda parte não pode ser C8,3.
A minha pergunta é: por que o cálculo é feito como arranjo, e não como C8,2?
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Alguém com um comentário mais explicativo? Não entendi os dos colegas
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Eu fiz assim:
_._._ (são 3 passagens)
8x7x6 (a primeira pode ser ganha por 8, a segunda por 7 e a terceira por 6)
Depois dividi por fatorial de 3! (3.2.1) porque a ordem não importa.
E depois multipliquei o resultado por 2. Afinal dobraram as chances.
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Acredito que a questão está errada, primeiro não acho que seja combinação, pois, os números de elementos, na minha opinião, não mudam como em um fatorial (como é na combinação). Ao falar que um setor pode ser contemplado até duas vezes deixa claro que no primeiro sorteio serão 8 setores disputando e no segundo sorteio também serão 8 setores, entretanto, no terceiro, seriam 7 setores disputando, mas apenas se os dois primeiros sorteios tivessem sido ganhos pelo mesmo setor (que não participaria do terceiro sorteio, por isso apenas 7). Mas, não podemos concluir que um setor ganharia os dois primeiros sorteios, assim, o terceiro sorteio também seria feito com 8 setores disputando, e ao final (8x8x8 possibilidades) retiramos a possibilidade do mesmo setor ganhar os 3 sorteios ( 8 vezes, pois são 8 setores e uma vez pra cada setor). Então o cálculo seria (8 x 8 x 8) - 8 = 504 possibilidades.
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8,3= 8! 7! 6! 8x7x6 336
_______ = _______ = ______= 56 (como um setor pode ser contemplado até duas vezes, então: 56+56=112
3! 3x2x1 6
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Eu pensei pelo Princípio Fundamental da Contagem (e permutação também). Imagine da seguinte forma:
Chamemos o setor contemplado de "A":
Primeiro sorteio: 8 possibilidades (e que neste sorteio "A" foi contemplado)
Segundo sorteio (considere que "A" tenha sido contemplado): 1 possibilidade;
Terceiro sorteio: 7 possibilidades.
Mas perceba "A" pode ser contemplado no segundo ou terceiro sorteio. Sendo assim, o número de combinações possíveis seria 2! = 2.
Logo, a solução seria: 8 * 7 * 2! = 112.
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Eu fiz assim:
C8,3=8X7X6!/3X2X1!=56 x2 ( "ser contemplado até DUAS vezes") =112
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Continuo sem entender, alguém poderia explicar melhor?
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Os colegas que multiplicam no final também estão certos. Mas de qualquer forma quando ele diz que se um setor puder ganhar duas passagens então 2*C8,3=112. Só isso. Item C.
AVANTE!!! RUMO À GLÓRIA!!! BRASIL!!!
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Possibilidades entre os setores:
8.7.6 = 336!
Possibilidades entre as passagens:
3.2.1 = 6!
Divido o número de Possibilidades entre os setores e passagens:
336 / 6 = 56
Multiplico o resultado por duas (chances):
56 x 2 = 112 (resultado final)
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Por que os colegas fizeram combinação? A ordem do sorteio não resulta em sorteios distintos? Se a ordem importa, não deveria ser arranjo?
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C3,8 + (C1,8)(C1,7)
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"[...] para esse sorteio..." blz, esse qual? Errei por interpretação. Levei em consideração o sorteio das 3 passagens. Mas explicando melhor:
Trata-se do sorteio somente para o setor que for contemplado 2 vezes!
Com isso temos:
____ ____ (2 sorteios) = C(8,3) + C(8,3) --------------------> vão sortear entre 8 setores por...3? são só duas passagens! NÃO EQUALIZEM O GABARITO, por favor! Isso atrapalha quem não entendeu.
A questão está mal formulada, aparentemente. Pois deveria ser C(8,2) + C(8,1), afinal de contas estamos querendo, de certa forma, distribuir 8 "coisas" em 2 "lugares" de modo que a ordem com que fazemos isso em cada "lugar" não importa, não fará diferença. Mesmo se levarmos em conta que "esse" se refira ao sorteio com 3 contemplados, no qual 1 setor pudesse ser contemplado 2 vezes, ficaria:
C(8,3) + C(8,2) + C(7,1) --------------> à medida em que o sorteio acontece, a quantidade daqueles que serão contemplados diminui; no 3° sorteio somente 7 setores poderão ser contemplados uma vez que outro setor já foi contemplado 2 vezes. Dariam 119 possibilidades.
Se eu estiver cometido algum equívoco me avisem no pv.
Abraço
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ESSA É SOBRE FATORAÇÃO OU SEJA 8,3 FATORIAL
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São 3 passagens para 8 setores com possibilidade de 1 setor ser contemplado duas vezes, então:
Possibilidades para a 1 passagem: 8
Possibilidades para a 2 passagem: 8 (pois aqui estamos contando a possibilidade do mesmo setor ser contemplado duas vezes)
Possibilidades para a 3 passagem: 7 (pois aqui estamos tirando o setor que já foi contemplado as duas vezes)
8x8x7 = 448 ---------------------> Entretanto, neste resultado está calculado o número de vezes que os setores podem ser contemplados APENAS UMA VEZ { 8x7x6 = 336} e este resultado a questão não quer, então:
448 - 336 = 112 possibilidades.
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C8,3 = 8x7x6/3x2x1 = 56 -> combinações possíveis sem repetição das empresas
__ . __ . __ = 8 x 1 x 7 = 56 -> Combinações repetindo as empresas, a primeira escolha tem 8 possibilidades, a segunda como é igual a primeira só tem 1 possibilidade, e para terceira só restam 7 possibilidades.
56 + 56 = 112
gabarito: Certo.
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Você faz combinação 8,3, depois multiplica por 2, no caso 112.
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Se um setor puder ser contemplado até duas vezes, então haverá 112 resultados distintos possíveis para esse sorteio.
Até duas contemplações
C(8,2) * C(6,1) = (8*7)/2 * 6 = 168
Contemplações diferentes
C(8,3)= (8*7*6) / (3*2*1) = 56
168 - 56 =112 (mas pq subtrai?)
Pq os 56 já estão dentro dos 168 e a questão pede resultados distintos.
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Quebrei a cabeça, mas consegui compreender o raciocínio da questão. Depois que você interpreta o que ele quer fica mais simples, vejam:
O enunciado quer o número de possibilidades em que um setor é sorteado ATÉ duas vezes, ou seja, isso inclui: possibilidades em que são sorteados setores diferentes (o setor aparece somente uma vez) OU os casos em que um setor é sorteado exatamente duas vezes.
Chances de serem sorteados apenas setores diversos: C8,3 = 56
Chances de serem sorteados dois setores iguais: 8x1x7 = 56
56 + 56 = 112
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Para quem bugou na hora de identificar se é arranjo ou combinação, sempre que tiver a preposição "até" ( contemplado até duas vezes ) se usará combinação. Pois, ele não deixa implícito que todos ganharão duas vezes. pode ser que um setor ganhe 1 vez e outro 2 vezes (não importando a ordem).
Usando combinação = 8*7*6 / 3*2*1 = 56. Agora devemos prever a possibilidade máxima que é todos os setores sendo contemplados 2 vezes, multiplicando o resultado da combinação por 2.
56 x 2 = 112.
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Bom, nesse tipo de questão que "distribui algo para um determinado grupo" utilizo a técnica do professor Guilherme Neves (Estratégia) das prateleiras móveis. A ideia é a seguinte:
1- O que tem para distribuir? 3 passagens.
2- Quem vai receber? 8 setores.
1º Passo: desenha as prateleiras com as divisórias entre os setores.
___|___|___|___|___|___|___|___ (8 setores e 7 divisórias).
2º Passo: divisão.
*Numerador: (o que tem para distribuir + quantidade de divisórias)!
*Denominador: (o que tem para distribuir)! x (quantidade de divisórias)!
Nessa questão, fica:
*Numerador: (3+7)!
*Denominador: 3! x 7!
= Resultado: 120 possibilidades.
Mas o que são essas 120 possibilidades? TODAS as possibilidades possíveis. Mas como há uma restrição no enunciado, deve-se subtrair essas possibilidades.
Qual a restrição? Que todas as 3 fiquem em 1 mesmo setor.
Restrição = {TODAS no 1} + {TODAS no 2} + {TODAS no 3} + [...] + {TODAS no 8} = 8 possibilidades.
Diante disso, a resolução da questão será:
= TOTAL de possibilidades - RESTRIÇÃO = 120 - 8 = 112.
Gabarito CORRETO.
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Sabe aquela explicaçãozinha que os professores fazem com "pauzinhos e bolinhas" pra resolver combinação com repetição? Então, esqueça isso e decore a fórmula kkkkkkkkkk
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COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO:
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8= 3 passagens (chamamos a soma dos elementos de p)
n=8
FÓRMULA: CR (n+p-1; p)
CR (8+3-1);3= C (10;3) = 10!/ 3!.7!= 120
MAS O ANUNCIADO QUER SOMENTE QUE CADA SETOR (Xi) GANHA 1 OU 2 PASSAGENS, NÃO PODE SER 3.
ENTÃO SE x1=3 ou x=3 ou x3=3 ou x4=3 ou x5=3 ou x6=3 ou x7=3 ou x8=3 REMOVEMOS ESSAS 8 POSSIBILIDADES.
COM O TOTAL DE 120-8= 112
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(C8,2) x 2
((8 x 7 x 6)/(3x2)) x 2 = 112
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Usando combinação = 8*7*6 / 3*2*1 = 56. Agora devemos prever a possibilidade máxima que é todos os setores sendo contemplados 2 vezes, multiplicando o resultado da combinação por 2.
56 x 2 = 112.
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Alcancei o resultado com uma solução diferente das demais (tô bem dividido, porque não sei se fui sucinto ou b*rro)
8 x 7 x 6 x 2 / 6 = 112
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É o seguinte,
Como um setor pode ser sorteado mais de uma vez, dá p fazer a combinação da seguinte maneira:
C8,3 = 56.
e
C8,2 = 56. (Por que 2? Pq uma passagem já foi sorteada anteriormente).
56 x 2 = 112.
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Se um setor puder ser contemplado até duas vezes, então haverá 112 resultados distintos possíveis para esse sorteio.
A ordem para ser contemplado importa? Não, só importaria se ele falasse que tal setor tinha que ser contemplado primeiro por exemplo.
Se a ordem não importa, então é combinação.
C8,3=56 pode ser contemplado até duas vezes(esse mesmo resultado pode se repetir mais uma vez), então vou multiplicar por dois. 56*2= 112
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Pessoal, eu fiz de uma maneira que eu acredito que boa parte que não entendeu, vai entender, vamos lá ?
Primeiro precisamos saber o total de resultados distintos onde cada setor SOMENTE pode ser contemplado uma única vez:
A 1º passagem corresponde a combinação de 8 setores para escolhermos 1 = 8
A 2º passagem corresponde a combinação de 7 setores (1 setor já foi) para escolhermos 1 = 7
A 3º passagem corresponde a combinação de 6 setores (2 setores já foram) para escolhermos 1 = 6
Multiplicando - 8x7x6 = 336 resultados distintos
Depois precisamos saber o total de resultados distintos onde cada setor poderá ser contemplado até duas vezes:
A 1º passagem corresponde a combinação de 8 setores para escolhermos 1 = 8
A 2º passagem também corresponde a combinação de 8 setores (o mesmo setor contemplado anteriormente poderá ser contemplado) para escolhermos 1 = 8
A 3º passagem corresponde a combinação de 7 setores (O mesmo que foi contemplado duas vezes não poderá ser contemplado neste caso) para escolhermos 1 = 7
Multiplicando - 8x8x7 = 448 resultados distintos
Agora é só subtrairmos o que não queremos do que já temos:
448 que temos - 336 que não queremos (contemplado somente 1x) = 112 resultados distintos