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Questões de Cálculo de Probabilidades

ID
27892
Banca
CESGRANRIO
Órgão
BNDES
Ano
2008
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

No lançamento simultâneo de dois dados comuns, a diferença (em valor absoluto) entre os dois resultados é aleatória, tem uma distribuição de probabilidades. Se os dados forem honestos, qual é a moda dessa distribuição?

Alternativas
Comentários
  • Possibilidades:1 - 1 = 01 - 2 = -11 - 3 = -21 - 4 = -31 - 5 = -41 - 6 = -52 - 1 = 12 - 2 = 02 - 3 = -1...6 - 6 = 0Com exceção da 1ª sequência (1º dado com valor "1") e da última (1º dado com valor "6"), em todas as demais sempre aparecerão os valores "-1" e "1", o que fará com que /+1/ (em termos absolutos) seja o número que mais se repete (no caso, serão 10 vezes). Logo, a moda (valor que mais se repete numa amostra) é 1.
  • Alguém poderia explicar por que não entrou na solução do problema os números 7,8 e 9?
  • Dejane,
    Um dado tem apenas 6 lados, contendo números que vão de 1 a 6.
  •  um dado COMUM é que tem 6 lados, mas se a questão não tivesse explicitado COMUM, daí caberia recurso com ctza.

  • A questão trata de valores absolutos para o a diferença entre o resultado do primeiro dado (D1) e o resultado do segundo dado (D2). Sendo assim, a primeira possibilidade seria sair "1" no primeiro dado e "1" também no segundo dado. Nesse caso 1 - 1 = 0. Seguindo em diante percebemos que:

    Quando no lançamento do primeiro dado sai o número 1, os resultados das diferenças entre o D1 e D2 ficam entre -5 e 0. Vejamos:

    D1 - D2
    1    -  1   =  0
    1    -  2   = -1
    1    -  3   = -2
    1    -  4   = -3
    1    -  5   = -4
    1    -  6   = -5

    Se fizermos o mesmo considerando que saia "2" no primeiro dado (D1), teremos as diferenças variando entre -4 e 1. E assim vai:

    D1          Variação dos resultados de D1 - D2
    1             [-5; 0]
    2             [-4; 1]
    3             [-3; 2]
    4             [-2; 3]
    5             [-1; 4]
    6             [ 0; 5]

    Como a questão trata de valor absoluto para a diferença D1 - D2, devemos considerar o módulo dos resultados de D1-D2, ou seja, tanto -1 quanto +1 significam "1" nesse caso. Vejamos abaixo, que -1 aparece 5 vezes, assim como +1 e nenhum outro número se repete tanto quanto eles. Portanto a moda = 1, letra D.

    -5          -4           -3           -2           -1            0           1            2            3            4            5
      |----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|

      |----------------------(D1=1)-----------x---------|
                    |----------------------(D1=2)-x-------------------x
                                   |---------------------x(D1=3)----------x----------|
                                                 |-----------x----------(D1=4)x--------------------|
                                                               |-x-------------------x(D1=5)---------------------|
                                                                              |----------x-----------(D1=6)---------------------|


     

  • 6 . 6 = 36 |Módulos ou Valores Absolutos|
    6 - 1 = 5, 6 - 2 = 4, ... 1 - 6 = |-5|, ...

    5 4 3 2 1 0
    4 3 2 1 0 1
    3 2 1 0 1 0
    2 1 0 1 2 3
    1 0 1 2 3 4
    0 1 2 3 4 5

    A Diferença = 1 é a que tem maior ocorrência, ou seja, a Moda = 1.

ID
58744
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRT - 17ª Região (ES)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere que Y seja uma variável aleatória de Bernoulli
com parâmetro p, em que p é a probabilidade de uma ação
judicial trabalhista ser julgada improcedente. De uma amostra
aleatória simples de 1.600 ações judiciais trabalhistas, uma
seguradora observou que, em média, 20% dessas ações foram
julgadas improcedentes.
Com base nessa situação hipotética, julgue os próximos itens.

O erro padrão para a estimativa da probabilidade p, segundo a estatística de Wald, é superior a 0,15.

Alternativas
Comentários

  • var = p(1-p) = 0,2*0,8 = 0,16
    s = raiz de var = 0,4
    erro padrão da estimativa = s / raiz de n = 0,4 / raiz de 1600 = 0,01
    http://www.brasilescola.com/matematica/erro-padrao-estimativa.htm

  • Erro padrão é a mesma coisa que desvio padrão, então o desvio padrão amostral é igual a:

    raiz[ (p . q) / n ]

    em que:

    p = probabilidade de sucesso = 0,8 ou 8/10

    q = probabilidade de falha = 0,2 ou 2/10

    n = número total da amostra = 1600

    logo: (deixem em formato de fração que facilita na hora das contas)

    raiz[ (8/10 . 2/10) / 1600]

    *multiplica o que está em cima com o que está em cima, o que está em baixo com o que está em baixo*

    raiz[ (16/100) / 1600]

    *multiplica a 1ª fração pelo inverso da 2ª*

    raiz[ (16/100) . (1/1600) ]

    *faz os cortes do que da pra cancelar*

    raiz[ 1/10000 ] = 1/100 = 1% = 0,01

    Inferior a 0,15, portanto, ERRADA

ID
58750
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRT - 17ª Região (ES)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere que Y seja uma variável aleatória de Bernoulli
com parâmetro p, em que p é a probabilidade de uma ação
judicial trabalhista ser julgada improcedente. De uma amostra
aleatória simples de 1.600 ações judiciais trabalhistas, uma
seguradora observou que, em média, 20% dessas ações foram
julgadas improcedentes.
Com base nessa situação hipotética, julgue os próximos itens.

O terceiro e o quarto momentos - ou momentos nãocentrais, ou momentos em torno da origem - da distribuição Y são iguais.

Alternativas
Comentários

  • o Momento de ordem n, na estatística, é dada pela esperança da variável elevada a n, E[x^n].

    e, por Y se tratar de uma variável de bernoulli, E[x] = E[x^n] para todo n.

    Logo, os momentos são iguais.

ID
58753
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRT - 17ª Região (ES)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere que Y seja uma variável aleatória de Bernoulli
com parâmetro p, em que p é a probabilidade de uma ação
judicial trabalhista ser julgada improcedente. De uma amostra
aleatória simples de 1.600 ações judiciais trabalhistas, uma
seguradora observou que, em média, 20% dessas ações foram
julgadas improcedentes.
Com base nessa situação hipotética, julgue os próximos itens.

A distribuição amostral do número de ações judiciais trabalhistas julgadas improcedentes segue uma distribuição binomial.

Alternativas
Comentários
  • A afirmativa está correta devido a correlação entre distribuição binomial e  a variável aleatória de Bernoulli, ou seja, apenas duas possibilidades.

    "Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de n tentativas tais que as tentativas são independentes; cada tentativa resulta apenas em duas possibilidades, sucesso ou fracasso (a que se chama de tentativa de Bernoulli); a probabilidade de cada tentativa, p, permanece constante."
    http://pt.wikipedia.org/wiki/Distribuição_binomial

  • Veja que temos n = 1600 tentativas. Aqui o “sucesso” é a ação ser julgada improcedente, afinal é essa a distribuição que o enunciado propôs. Temos que a probabilidade de sucesso é p = 20%. Portanto, temos uma distribuição binomial com parâmetros n = 1600 e p = 20%. Item CORRETO.

    Resposta: C

  • Comentário do Professor Arthur Lima do Direção Concursos:

    Veja que temos n = 1600 tentativas. Aqui o “sucesso” é a ação ser julgada improcedente, afinal é essa a distribuição que o enunciado propôs. Temos que a probabilidade de sucesso é p = 20%. Portanto, temos uma distribuição binomial com parâmetros n = 1600 e p = 20%. Item CORRETO.

  • O ensaio de Bernoulli consiste em realizar um experimento aleatório uma só vez e observar se certo evento ocorre ou não. Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli, com a mesma probabilidade de ocorrência de “sucesso” , dão origem ao modelo Binomial.

    Professora Tarciana Liberal. UFPB

  • Só lembrar que o Binomial nada mais é que vários ensaios de Bernoulli

  • É só lembrar que na distribuição de bernoulli, é admitido apenas dois resultados possíveis(sucesso ou fracasso).

    Exemplo: cara ou coroa, sucesso ou fracasso, item defeituoso ou item não defeituoso, e muitos outros possíveis pares.

    Questão correta!

  • Gab. C

    Não fixou a ordem = binomial;

    fixou a ordem = bernoulli.

ID
58756
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRT - 17ª Região (ES)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere que Y seja uma variável aleatória de Bernoulli
com parâmetro p, em que p é a probabilidade de uma ação
judicial trabalhista ser julgada improcedente. De uma amostra
aleatória simples de 1.600 ações judiciais trabalhistas, uma
seguradora observou que, em média, 20% dessas ações foram
julgadas improcedentes.
Com base nessa situação hipotética, julgue os próximos itens.

A estimativa de mínimos quadrados para a média da distribuição Y é superior a 0,25.

Alternativas
Comentários

  • A estimativa de mínimos quadrados para a média da distribuição Y é 0,2

  • Alguém sabe explicar essa resolução? provavelmente seja simples , mas eu não sei.

    Agradecida.

  • Na distribuição de Bernoulli:

    valor esperado = probabilidade de sucesso

    E(x)=P

    como a probabilidade da ação judicial ser julgada improcedente é em média 20% ou 0,2, sabe-se que a média também é 0,2.

  • 20% das ações foram julgadas improcedentes.

    0,20 x 1600 = 320

    MÉDIA BERNOULLI = p

    320 / 1600

    = 0,20. INFERIOR A 25%.

ID
58759
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRT - 17ª Região (ES)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere que Y seja uma variável aleatória de Bernoulli
com parâmetro p, em que p é a probabilidade de uma ação
judicial trabalhista ser julgada improcedente. De uma amostra
aleatória simples de 1.600 ações judiciais trabalhistas, uma
seguradora observou que, em média, 20% dessas ações foram
julgadas improcedentes.
Com base nessa situação hipotética, julgue os próximos itens.

A estimativa de máxima verossimilhança para a função geratriz de momentos de Y é igual a 0,2 + 0,8exp(t), em que t é um número real e exp(.) denota a função exponencial.

Alternativas
Comentários
ID
70741
Banca
FCC
Órgão
TRT - 3ª Região (MG)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A probabilidade de que um cliente de banco, escolhido aleatoriamente, participe de um fundo multimercado promovido pelo banco é 0,20. Se cinco clientes são escolhidos aleatoriamente e com reposição, a probabilidade de que a proporção de participantes seja exatamente 0,40 é

Alternativas
Comentários
  • p = 0,20 ou 1/5q = 0,80 ou 4/5ele quer uma proporcao de participante de 0,40, ou seja, exatamente 2 participantes.P(x=2) = C(5 2)*((1/5)^2)*((4/5)^3)C(5 2) = combinacao de 5, 2 a 2 = 5!/(2!*(5!-3!))
  • Apenas corrigindo a fórmula da combinação no provável erro de digitação do comentário abaixo:C(5 2) = combinacao de 5, 2 a 2 = 5!/(2!*(5!-2!))
  • Fazendo a correção da fórmula de Combinação das respostas anteriores: Cn,x= n! / ( x! * (n-x)! ), verifique que no denominador é (n-x)! e não n!- x!. Para o exemplo n=5 e x=2, C5,2= 5! / ( 2! * (5-2)!) logo  C5,2= 5! / ( 2! * 3!)

  • Vamos calcular quantos dos 5 clientes escolhidos devem ser participantes do fundo, para que a proporção de participantes seja exatamente igual a 0,4 (40%). Para isto, basta você montar a proporção a seguir:

    5 clientes -------------- 100% do grupo

    C clientes -------------- 40% do grupo

    Multiplicando as diagonais, temos:

    5 x 40% = C x 100%

    2 = C

    Portanto, queremos que exatamente 2 clientes escolhidos sejam participantes do fundo E os outros 3 não o sejam. A chance de um cliente ser participante do fundo é igual a 0,2. Assim, a chance de não ser participante é igual a 1 – 0,2 = 0,8.

    Vamos calcular a chance de exatamente o primeiro E o segundo clientes escolhidos serem participantes (“S”, de sim), E os 3 seguintes não o serem (“N”, de não):

    Veja que esta é a probabilidade de termos exatamente essa ordem: SSNNN. Precisamos ainda permutar esta ordem, observando que temos 5 elementos, com repetição de 2 S e de 3N:

    Portanto, a probabilidade de obter 5 pessoas conforme solicitado no enunciado é dado pela multiplicação de P pelo número de permutações (10):

    Resposta: E

  • Proporção de 0,4 -> x

    5 à 100%

    X  à 0,4

    X = 5*0,4 = 2

    2 pessoas correspondem a 40%

    5! =    5 * 4 * 3!  =   5*2 = 10 combinações

    3!2!    3! 2 * 1

    SSNNN = 10 (0,2 * 0,2 * 0,8 *0,8 * 0,8 ) = 10 (0,04 *0,64 *0,8) = 10*0,04 * 0,512 = 0,2048

ID
70744
Banca
FCC
Órgão
TRT - 3ª Região (MG)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Determinados processos de um tribunal são encaminhados para a análise de 3 analistas: X, Y e Z. Sabe-se que 30% de todos esses processos são encaminhados para X, 45% para Y e 25% para Z. Usualmente, por falta de documentação, uma parcela de tais processos é devolvida. Sabe-se que 5% , 10% e 10% dos processos de X, Y e Z, respectivamente, são devolvidos. A probabilidade de que um processo escolhido ao acaso tenha sido encaminhado para X, sabendo que foi devolvido, é

Alternativas
Comentários
  • Analistas Proc Encaminhados Devolvidos Não DevolvidosX 0,30 0,05 * 0,30 = 0,015 0,95 * 0,30 = 0,285Y 0,45 0,10 * 0,45 = 0,045 0,90 * 0,45 = 0,405Z 0,25 0,10 * 0,25 = 0,025 0,90 * 0,25 = 0,225Proporção do total 0,085 0,915 Após detalharmos as proporções de processos devolvidos e não devolvidos percebemos que os processos devolvidos por X equivalem a 1,5 % do total de processos; e que o somatório dos processos devolvidos pelos 3 analistas equivale a 8,5 % do total de processos. Ora, se a questão nos pede a probabilidade de que um processo escolhido ao acaso tenha sido encaminhado para X, sabendo que foi devolvido, então temos a proporção:0,015/0,085 = 3/17

  • Pelo enunciado x ficou com 30% dos processos, y com 45% e z com os restantes 25%. Foi acrescentado ainda que x teve devolvidos 5% dos processos recebidos, y 10% e z 10%. 

    Quer dizer que do total dos processos, 1,5% dos processos foram devolvidos por x (0,30 * 0,05), y 4,5% e z 2,5%. Somando temos que 8,5% dos processos foram devolvidos. 

    A questão quer saber, se ele foi devolvido, qual a probabilidade de ter sido encaminhado para x? 

    1,5/8,5 = 3/17 

    Gabarito B 

  • Imagine que temos 100 processos. Portanto, 30 foram encaminhados para X, 45 para Y e 25 para Z.

                   X devolveu 5% dos 30 processos que recebeu, isto é, devolveu 5% * 30 = 1,5 processos.

                   Y devolveu 10% dos 45 processos que recebeu, ou seja, 4,5 processos.

                   Z devolveu 10% dos 25 processos que recebeu, ou seja, 2,5 processos.

                   Ao todo, 1,5 + 4,5 + 2,5 = 8,5 processos são devolvidos. Destes, 1,5 são devolvidos por X.

    Assim, sabendo que um processo foi devolvido, a chance de ele ter sido encaminhado para X é:

  • Total devolvido = 1,5 + 4,5 + 2,5 =8,5

    1,5/8,5 =  15    =  3

                     85       17  

ID
73120
Banca
FGV
Órgão
SEFAZ-RJ
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre os quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em qualquer jogo entre dois dos quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar.

Na primeira rodada, eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários definidos por sorteio. Os vencedores disputarão a final. A probabilidade de que o torneio termine com A derrotando B na final é:

Alternativas
Comentários
  • 1) Jogos da primeira rodada : C4,2 = 6 jogos possíveis => nessa fase, A não pode jogar com B e, por consequencia, C não pode jogar com D. Com isso, para conseguirmos o resultado final, somente há 4 jogos viáveis. 4/6

    2)A e B devem ganhar seus jogos, logo 1/2 de chance para cada

    3) A deve ganhar de B na final, 1/2

    4/6 * (1/2)3 = 1/12
        
  • Gente achei esse comentário mais didático:

    Tenistas:     A, B, C e D

    Jogos possíveis: 

    AB e CD
    AC e BD
    AD e BC

    Para termos A e B na final vemos que só as duas últimas possibilidades são viáveis, logo: P = 2/3

    Agora, vamos trabalhar as probabilidades de A e B ganharem seus jogos e, ainda, A ganhar de B na final.

    P(A avançar pra final) = 1/2
    AC e BD
    AD e BC

    P(B avançar pra final) = 1/2
    AC e BD
    AD e BC

    P(A ser campeão) = 1/2
    A e B na final

    P(total) = (2/3).(1/2).(1/2).(1/2) = 1/12

  • RESOLUÇÃO:

    Chamemos de C e D os outros dois tenistas. Para que A e B disputem a final entre si, é preciso que na primeira rodada eles não joguem um contra o outro, mas sim contra C ou D. Isto é, precisamos ter:

    A x C    e            B x D

    ou

    A x D    e            B x C

    A probabilidade de que o adversário de A seja C ou D, e não B, é de 2 em 3 possibilidades, isto é, 2/3. Com isto, automaticamente o adversário de B será o outro (C ou D).

    A probabilidade de A ganhar seu jogo na primeira rodada é de ½, sendo também esta a probabilidade de B ganhar o seu jogo.

    Por fim, a probabilidade de A vencer B na final também é de ½. Ao todo, para cumprir o exigido pelo enunciado, é preciso que tudo isto ocorra:

    - A enfrente C ou D na primeira rodada (de modo que B enfrentará D ou C);

    - A vença seu jogo;

    - B vença seu jogo;

    - A vença B na final.

    Para tudo isto ocorrer, a probabilidade é de:

    P = (2/3) x (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/12

    Resposta: E

ID
73690
Banca
FGV
Órgão
SEFAZ-RJ
Ano
2008
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Os jogadores A e B se encontram para jogar uma partida de tênis em no máximo cinco sets, na qual será vencedor aquele que primeiro ganhar três sets.

Por exemplo, partidas terminadas poderão ter como resultado: AAA, AABA, BABAB, etc. Então, o número de possíveis resultados para uma partida terminada é:

Alternativas
Comentários
  • Está questão pode ser resolvida através do Diagrama de Árvore, pois existem sequências de tamanhos variados, vamos a ele: 1º 2º 3º 4º 5º (RESULTADOS) -- A (A,A,A) | -- A -| -- A (A,A,B,A) | | | | -- B -| | | -- A (A,A,B,B,A) | -- B -| | -- B (A,A,B,B,B) | A -| | -- A (A,B,A,A) | | | -- A -| | | | -- A (A,B,A,B,A) | | -- B -| | | -- B (A,B,A,B,B) -- B -| | -- A (A,B,B,A,A) | -- A -| | | -- B (A,B,B,A,B) -- B -| | -- B (A,B,B,B)Logo acima se encontra a primeira parte do Diagrama de Árvore, como a outra parte é simétrica a ele, conclui-se que a quantidade de resultados possíveis é:(20) -> alternativa D
  • Uma maneira mais fácil de resolver esta questão é através da permutação com repetição, considerando que temos que arrumar 3 letras A (vitória do primeiro jogador) e 2 letras B (vitórias do segundo jogador) e depois fazer o caso inverso, isto é, arrumar 3 letras B (vitórias do segundo jogador)  e 2 letras A (vitória do primeiro jogador). Este é um caso de permutação com repetição das letras. O enunciado já deu a dica que qual seria o método mais rápido para resolver a questão.
     Deste modo, temos:

    2 x (5!/ 2!3!) = 2 x 10 = 20 possibilidades.

  • Na verdade, não é um exemplo de permutação c/ repetição (onde a fórmula é C n+p-1,p), Alexandre. 

    Para se achar a solução da questão, o entendimento correto é permutar (s/ reposição) os 5 sets em 3 vitórias p/ A e para B: C5,3 = 5!/2!3! = 10 x 2 = 20.

    (o cálculo é o mesmo)

    Abs!


  • Se usarmos a permutação dos 5 sets teremos, dentre os resultados: AAABB e BBBAA, que não são possíveis pois quem ganha os primeiros 3 sets já vence a partida, neste caso as formas corretas deveriam ser AAA e BBB, ao invés, AAABB e BBBAA.

    Considerando a vitória de A:

    Permutação de AAABB, considerando a repetição de 3 A's e 2 B's: P (5, 3 e 2) = 5! / (3! * 2!) = 10 . Porém, precisamos subtrair um resultado que não é possível (AAABB), conforme explicado acima, com isso teremos 10 -1 = 9 resultados possíveis. O mesmo serve para a vitória de B, que terá 9 resultados possíveis, pois excluímos BBBAA (totalizando 9 + 9 = 18 resultados até aqui). Além disso, devemos considerar as duas situações de vitória nos três primeiros sets (AAA e BBB), totalizando mais 2 resultados possíves e, portanto, o total de 18 + 2 = 20 resultados

  • Condição 1: Jogador A GANHA

    Para saber quantas combinações possíveis usamos combinação. Então, temos

    Ca5,3 = 5! / ( 3! * ( 5! - 2! ) ) => Ca5,3 = 10.

    Ou seja, há 10 possíveis maneiras do jogador A ganhar.

    Condição 2: Jogador B GANHA

    Para saber quantas combinações possíveis usamos combinação. Então, temos

    Cb5,3 = 5! / ( 3! * ( 5! - 2! ) ) => Cb5,3 = 10.

    Ou seja, há 10 possíveis maneiras do jogador B ganhar.

    Finalmente,

    Ct = Ca + Cb

    Ct = 10 + 10

    Ct = 20

  • Aqui o melhor é listar todos os resultados possíveis. Para vitória de A, temos as seguintes possibilidades:

    AAA

    AABA

    ABAA

    BAAA

    AABBA

    ABABA

    ABBAA

    BABAA

    BBAAA

    BAABA

    Ao todo temos 10 resultados possíveis onde A ganha, pois leva 3 sets. Da mesma forma, teremos mais 10 resultados possíveis onde B ganha, totalizando 20 possibilidades de resultado.

    Resposta: D

ID
77167
Banca
CESGRANRIO
Órgão
BACEN
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

.Sobre variáveis aleatórias, considere as afirmações a seguir.

I - Para toda e qualquer variável aleatória, sua função de densidade de probabilidade fornece a probabili- dade de ocorrência de cada valor da variável aleatória considerada, exceto no caso de variáveis aleatórias contínuas, para as quais a probabilidade de ocorrência de um valor específico é zero.

II - A esperança matemática (expectância) de uma variável aleatória discreta, ou seja, seu valor esperado, é a média dessa variável aleatória, que é definida como um navos do somatório dos valores possíveis dessa variável multiplicados por suas respectivas probabilidades.

III - A distribuição binomial é uma extensão direta da Distribuição de Bernoulli, uma vez que o experimento aleatório que caracteriza a binomial nada mais é do que um Experimento de Bernoulli repetido n vezes.

É correto APENAS o que se afirma em

Alternativas
Comentários
  • I - Na verdade, para variáveis discretas, não se dá o nome de função densidade de probabilidade, mas de função de probabilidade. De qualquer forma, a idéia está correta.II - A esperança matemática (expectância) de uma variável aleatória discreta, ou seja, seu valor esperado, é a média dessa variável aleatória, que é definida como o somatório dos valores possíveis dessa variável multiplicados por suas respectivas probabilidades.III - Correta
  • I - C, Função probabilidade: é a função P que associada a cada evento de F um número real pertencente ao intervalo (0,1). se o evento é impossível, então P(0) = 0.
    II -E,  Na teoria das probabilidades, o valor esperado de uma variável aleatória é a soma das probabilidades de cada possibilidade de saída da experiência multiplicada pelo seu valor. Se todos eventos tiverem igual probabilidade o valor esperado é a média aritmética.
    III - C, Distribuição Binomial: consideramos N tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório. Cada tentativa admite apenas 2 resultados fracasso P e sucesso Q., P+Q=1.
    Distribuição Bernoulli: consideramos uma única tentativa de experimento aleatório. Podemos ter sucesso;fracasso nessa tentativa, se P é sucesso e Q fracasso, P+Q=1.
  • Olá, pessoal!
     
    O gabarito foi atualizado para "B", após recursos, conforme gabarito definitivo publicado pela banca, e postado no site.

    Bons estudos!
  • Gabarito: Letra B
    Erros das afirmativas:
    I - As funções de probabilidades são representadas como: como função de probabilidade (se X é uma variável aleatória discreta) ou função densidade de probabilidade (se X é contínua). Assim a alternativa cometo o erro ao afimar que para qualquer variável aleatória existe uma função de densidade de probabilidade (fdp);
    II - A esperança matemática (expectância) de uma variável aleatória discreta, ou seja, seu valor esperado, é a média dessa variável aleatória, que é definida como um n-avos do somatório dos valores possíveis dessa variável multiplicados por suas respectivas probabilidades.

    A média/expectância das Variáveis Aleatórias Discretas (VAD) é o somatório de i até n de seus pontos valor (X = xi) multiplicados por suas respectivas probabillidades; e não uma faixa de valores possíveis como as Variáveis Aleatória Contínuas (VAC) em um intervalo de f(X).

    Fórmula de uma esperança matemática de uma VAD:
     

    Recordação sobre VAC:
    - Assume valores num intervalo de números reais;
    - Diferentemente das VAD, não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores de uma VAC;
    - Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.
ID
100204
Banca
FGV
Órgão
SEAD-AP
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Uma urna contém 50 bolinhas idênticas numeradas de 1 a 50. Se quatro bolinhas são aleatoriamente sorteadas com reposição, a probabilidade de que, dos quatro números sorteados, dois sejam pares e dois sejam impares é igual a:

Alternativas
Comentários
  • 4 . 1/16 = 0,25 = 25% (gaba errado), smj!
  • A resposta está correta.C4,2. (1/2)^2 . (1/2)^2 = 0,375.

  • O comentário da Lizinha está correto.

  • Trata-se de uma distribuição binomial, portanto a probabilidade de sair um número par será p = 25/50 = 1/2 e número ímpar q = 25/50 = 1/2. Deste modo, para que saiam 2 números pares e 2 ímpares teremos:

    P = C4,2 . (1/2)^2.(1/2)^2 = 0.375.
  • Utiliza-se distribuição binomial mas para facilitar o cálculo usa-se a análise combinatória:

    ( 4 2) . ( 0,5) ^2 . ( 0,5) ^2 = 6. 0,25 . 0,25 = 0,375.


    Gabarito LETRA C.

  • Veja que temos reposição, ou seja, a probabilidade de tirar uma bolinha par ou ímpar não muda a cada tentativa. Definindo como “sucesso” a retirada de um número par, o nosso objetivo é conseguir k = 2 sucessos em n = 4 tentativas, sabendo que a probabilidade de sucesso em cada tentativa é p = 50% (afinal metade das bolas são pares). Estamos diante de uma distribuição binomial, cuja probabilidade é dada por:

    Resposta: C

  • Também é possível resolver a questão da seguinte maneira:

    Na situação, existem 6 resultados que satisfazem as condições impostas pelo enunciado:

    Par Par Impar Impar

    Impar Impar Par Par

    Par Impar Par Impar

    Impar Par Impar Par

    Par Impar Impar Par

    Impar Par Par Impar

    A probabilidade de qualquer desses resultados é dada por:

    1/2 * 1/2 *1/2 *1/2 = 1/16

    Dessa forma, para satisfazer as condições impostas, temos que multiplicar a probabilidade de cada resultado pelo número de resultados que satisfazem as condições (6):

    1/16 * 6 = 6/16 (37,50%)

ID
124285
Banca
FGV
Órgão
SEFAZ-RJ
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Se A e B são eventos independentes com probabilidades P[A] = 0,4 e P[B] = 0,5 então P[A ∪ B] é igual a:

Alternativas
Comentários
  • Nao esta aparecendo o sinal de uniao no meu PC. 
    p (A U B) = p (A) + P(B) - P(Â^B) = 0,9 - 0,2 = 0,7

  • Se A e B são independentes, então a probabilidade de A intersecção B é igual ao produto das probabilidades de A e B, logo: p(A U B) = 0,4 +0,5 - 0,4*0,5 = 0,7.

     

  • Axioma da Contabilidade:

    P(A U B ) = P(A) + P(B) - P (A^B)

    Como são eventos independente:

    P (A^B) = P(A) x  P(B)

    Logo:


    P(A U B ) = P(A) + P(B) -(     P(A) x  P(B) )
    = 0.4 + 0.5 -(0.4x0.5)
    =0.7

  • estou começando agora nessa parte da matéria e por favor, me tirem uma duvida...

     

    se os eventos são independentes, não seria correto 

    P(AUB) = P(A) + P(B)   ?

    já que não há intersecção entre eles, apenas considero ele zero?

  • Pensei o mesmo, Bruno Ali!!

  • Se os eventos são independentes, sabemos que . Assim, 

    Resposta: D 

  • muita gente erra por confundir eventos mutuamente excludentes com eventos independentes.

  • bruno ali abou ali

    Também ja tive essa mesma dúvida, ocorre que em eventos mutuamente excludentes a intersecção é sempre 0. Nos eventos independentes é que precisamos calcular a intersecção.

  • GABARITO LETRA "D"

    Se os eventos são independentes, sabemos que P (A ∩ B) = P (A) x P (B) = 0,4 x 0,5 = 0,2.

    Logo:

    P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

    P (A U B) = 0,4 + 0,5 − 0,2

    P (A U B) = 0,9 - 0,2

    P (A U B) = 0,7

    FONTE: Prof. Arthur Lima.

    "Se não puder se destacar pelo talento, vença pelo esforço".

ID
125674
Banca
ESAF
Órgão
Prefeitura de Natal - RN
Ano
2008
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Se x é uma v. a. - variável aleatória com função densidade de probabilidade f(x), caracterizada pelo modelo normal, podemos afi rmar que:

Alternativas
Comentários
  • A questão é apenas teórica.

    Se a distribuição é uma distribuição normal, logo ela é em formato de SINO, dessa forma é simétrica tanto da primeira metade quanto da segunda metade.

    Pelo fato de ser simétrica, caso haja o cálculo da média o valor tem de ser o mesmo ao ser calculado a moda e a mediana.

    Atentar ao fato de que em caso de assimetria, os valores são diferentes.d

  • Se o enunciado fôsse normal padrão as letras A e B estariam corretas. 

  • A distribuição normal possui média, moda e mediana iguais (é totalmente simétrica). Com isso já podemos marcar a alternativa D. Vejamos os erros das demais.

                   Lembrando que apenas a curva normal padronizada possui, obrigatoriamente, desvio-padrão 1 e média 0, você pode descartar as 2 primeiras alternativas.

                   A função de distribuição acumulada é aquela que, para um determinado valor x, nos dá a probabilidade de P(X . Essa função só assume valor 1 (ou seja, 100% de probabilidade de X x quando x tende ao infinito). Isto torna o item “c” falso.

                   Por fim, sabemos que a variância é igual ao quadrado do desvio-padrão, e não da média, sendo este o erro da letra “e”.

    Resposta: D

  • A distribuição normal possui média, moda e mediana iguais (é totalmente simétrica). Com isso já podemos marcar a alternativa D. Vejamos os erros das demais.

                   Lembrando que apenas a curva normal padronizada possui, obrigatoriamente, desvio-padrão 1 e média 0, você pode descartar as 2 primeiras alternativas.

                   A função de distribuição acumulada é aquela que, para um determinado valor x, nos dá a probabilidade de P(X . Essa função só assume valor 1 (ou seja, 100% de probabilidade de X  x quando x tende ao infinito). Isto torna o item “c” falso.

                   Por fim, sabemos que a variância é igual ao quadrado do desvio-padrão, e não da média, sendo este o erro da letra “e”.

    Resposta: D

    Arthur Lima | Direção Concursos

ID
125677
Banca
ESAF
Órgão
Prefeitura de Natal - RN
Ano
2008
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Uma urna contém: 1 bola amarela; 4 bolas azuis; 10 bolas brancas; 15 bolas vermelhas; e 20 bolas pretas. Dado que na primeira extração foi retirada uma bola vermelha, a probabilidade de na segunda tentativa retirar uma bola vermelha, novamente, é:

Alternativas
Comentários
  • Dados do texto:
     1 bola Amarela
     4 bolas Azuis
    10 bolas Brancas
    15 bolas Vermelhas
    20 bolas Pretas

    Espaço Amostral 50 bolas

    Se a primeira bola saiu Vermelha então a proxima bola a sair a amostra é de apenas 49. Então vamos as opções.

    Primeira Vermelha menos 1 das 15
    então
    a segunda vermelha temos 14/49

    a) maior que retirar uma bola branca ou azul.   14/49  - ERRADA - pois é IGUAL
    b) maior que retirar uma bola preta. 20/49  -  ERRADA  - pois é MENOR
    c) menor que retirar uma bola branca.   10/49    - ERRADA - Pois é MAIOR     
    d) menor que retirar uma bola azul.     4/49   - ERRADA - Pois é MAIOR     
    e) menor que retirar uma bola amarela ou branca ou azul. 15/49   CERTO  POIS É MENOR
  • Para essa questão fiz o seguinte raciocínio:

    COR             QTD         %        1º RETIRADA
    Amarela         1     =     2%
    Azul                 4     =     8%
    Branca          10    =   20%
    Vermelha      15    =   30%     1 = 2%  ===>>>> 14 = 28%
    Preta              20    =   40%
    ________________________________
    TOTAL            50    =  100%


    Para facilitar, cada bola corresponde a um percentual de 2%, pois temos 50 bolas = 100%, ao dividir temos 2% por bola.

    Ao retirar uma bola vermelha, retiramos 2% do total, logo ficou 28% dos 30% totais de bolas vermelhas.

    "...a probabilidade de na segunda tentativa retirar uma bola vermelha, novamente, é: "

    a) maior que retirar uma bola branca ou azul.

    Branca = 10 = 20%
    Azul       = 4   =  8%
    TOTAL  = 14 = 28%

    28% = 28%
    igual não maior.

    b) maior que retirar uma bola preta.

    Preta 20 = 40%

    28% < 40%
    menor não maior.

    c) menor que retirar uma bola branca.

    Branca 10 = 20%

    28% > 20%
    maior não menor.

    d) menor que retirar uma bola azul.

    Azul 4 = 8%

    28% > 8%
    maior não menor.

    e) menor que retirar uma bola amarela ou branca ou azul.

    Amarela 1 = 2%
    Branca  10 = 20%
    Azul         4  = 8%
    TOTAL  25 = 30%

    Logo a probabilidade de se retirar uma segunda bola vermelha é de 28%, menor que retirar uma bola amarela, branca ou azul 30%.

    Letra E correta!


  • onde ta falando q é SEM reposiçao? pq eu fiz com reposição e deu gabarito letra A!!

  • Persistência sempre 2 ELE NÃO FALA QUE REPÕE A BOLA, APENAS QUE RETIRA. ENTÃO É PARA CALCULAR SEM REPOSIÇÃO.

ID
129343
Banca
ESAF
Órgão
SUSEP
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Admita que a probabilidade de uma pessoa de um particular grupo genético ter uma determinada doença é de 30%. Um custoso e invasivo exame para diagnóstico específi co dessa doença tem uma probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um resultado falso negativo de 30%. Considerando que uma pessoa desse grupo genético com suspeita da doença fez o referido exame, qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do exame foi negativo?

Alternativas
Comentários
  • - Falso Positivo: quando os exames indicam que a pessoa está doente, mas não está;
    - Falso Negativo: quando os exames indicam que a pessoa está saudável, mas não está.

    Seja, a seguinte notação: D para doentes; P(D) a probabilidade de um grupo ter a doença; P(~D) a probabilidade de um grupo não ter a doença.

    Logo;

    P(D) = 0.3

    Se 0.3 tem a doença, o complemento não tem, assim:

    P(~D) = 0.7 

    O exercício tb fornece as probabilidades condicionais:

    P(Neg / D) = 0.3 "falso negativo"
    P(Pos/~D) = 0.1 "falso positivo"

    Ou seja, no primeiro caso temos a probabilidade de dado que é doente o exame dar negativo, e no segundo dado q é saudável o exame dar positivo.

    Como queremos P(D/Neg) temos q usar a regra de Bayes;

    P(D/Neg) = P(Neg/D)P(D) / (PNeg)

    P(D/Neg) =  0.3 x 0.3 / [P(Neg/D)P(D) + P(Neg/~D)P(~D)]

    P(D/Neg) = 0.09 / [0.3x0.3 + 0.9x0.7] = 0.09/0.72 = 12.5%



    * Só lembrando que como foi dado P(Pos/~D) = 0.1, podemos calcular seu complemento para colocar na fórmula;
    P(Pos/~D) + P(Neg/~D)= 1

    Assim; P(Neg/~D) = 0.9


  • Resp: 9 / 72 = 12.5%
    Sempre me confundo em montar o Bayes. Prefiro pensar fazendo a tabelinha:
      DOENTE NÃO DOENTE  
    exame positivo 70% 10%  
    exame negativo 30% 90%  
           
    Amostra 100 pessoas DOENTE NÃO DOENTE totais
    exame positivo 21 7 28
    exame negativo 9 63 72
      30 70 100

  • Pelo diagrama de árvore:

                                                 


                                                         positivo 0,7

    de ter a doença 0,3 ----- exame<

                                                         negativo 0,3


        

                                                          positivo 0,1

    não ter a doença 0,7------exame<

                                                          negativo 0,9


    Multiplica ter, pelo exame negativo e divide pela multiplicação de ter pelo exame negativo somado com não ter multiplicado pelo exame negativo. Ou seja, o que se procura dividido pelas possibilidades:

    P ( D ) = 0,3 . 0,3 / ( 0,3 . 0,3 ) + ( 0,7 . 0,9 ) = 0,9 / 0,9 + 0,63 = 0,9 / 0,72 = 0,125    x    100 = 12,5 %

  • Pessoal ainda não entendi.  Tenho dificuldade em matemática. Dessa maneira, devido ao meu limitado conhecimento, pensei assim:

    Probabilidade de ter a doença= 30 %

    Probabilidade de resultado falso negativo = 30 %

    Probabilidade de ter a doença e dar resultado negativo= 30 % x 30 %= 9 %


    Alguém poderia contra- argumentar?


    Obrigado

  • Alguém poderia indicar um bom curso sobre probabilidade. Não entendi nada!

  • Sempre em probabilidade a formula será  o que QUERO / TENHO. 

    Quero exame negativo x total da doença (30% x 30%) = 9%                                                                                                                 Tenho serão os 9% + (não doença x (100% - falso positivo)) => 9% + (70% x 90%) = 72%
                                                                          Quero / Tenho = 9% / 72% = 12,5%

  • O que pega nessa questão é a INTERPRETAÇÃO:

    Falso positivo: pessoa não está doente e o exame diz que ela está (incorretamente)

    Falso negativo: pessoa está doente e o exame diz que ela não está (incorretamente)

     

    Total: 100 pessoas

     

    70 não-doentes (70% do total)

    → 10% de 70 = 7 falso positivo 

    → 90% de 70= 63 negativo (de fato não estão doentes)

     

    30 doentes (30% do total)

    → 30% de 30 = 9 falso negativo (exame deu negativo, mas estão doentes)

    → 70% de 30 = 21 positivo 

     

    p = doentes negativos/ total negativos

    p = 9/72

    p= 0.125

  • Questão esquisita, pois para mim, negativo= falso positivo, mas a questão considerou o negativo= falso negativo. Essas interpretações são fodas...

  • Veja que há 30% de chance da pessoa efetivamente ter a doença, e 70% de chance dela não ter a doença.

           Um resultado falso negativo ocorre quando a pessoa tem a doença, mas o exame indica que a pessoa não a tem. Já um falso positivo ocorre quando a pessoa não tem a doença, mas o exame indica que a pessoa a tem.

           Assim, o resultado do exame pode dar negativo em 2 casos:

    - a pessoa ter a doença (probabilidade = 30%) e o resultado do exame for der negativo (isto é, ocorrer um falso negativo à probabilidade = 30%).

           As chances disso acontecer são P= 30% x 30% = 9%

    - a pessoa não ter a doença (probabilidade = 70%), e o diagnóstico dado pelo exame for correto (isto é, não ocorrer um falso positivo à probabilidade = 1 – 10% = 90%).

           As chances disso acontecer são P = 70% x 90% = 63%.

           Ou seja, no TOTAL, a chance de o resultado do exame dar negativo é dada pela soma de 9% + 63% = 72%. Desses 72%, apenas em 9% dos casos a pessoa efetivamente tem a doença. Portanto, as chances de a pessoa ter a doença, mesmo o exame dando resultado negativo, são:

    P = favoráveis/total = 9% / 72% = 0,125 = 12,5%

    Resposta: E

ID
129352
Banca
ESAF
Órgão
SUSEP
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 são estrangeiros. Ao se escolher ao acaso 3 pessoas do grupo, sem reposição, qual a probabilidade de exatamente uma das três pessoas escolhidas ser um estrangeiro?

Alternativas
Comentários
  • ___ ___ ___ => ( 5/15 x 10/14 x 9/13 ) x 3 = 45/91
  • Tem-se 5 estrangeiros e 10  não estrangeiro = 15 pessoas.

    A probabilidade de se encontrar exatamente 1 estrangeiro é:

    1ª retirada: (5/15) (estrangeiro) * (10/14) * (9/13) = 450/2730
    2ª retirada: (10/15)  * 5/14 (estrangeiro) * (9/13) = 450/2730
    3ª retirada: (10/15)  * (9/14) *  (05/13) (estrangeiro)= 450/2730

    Assim, calcula-se o MMC e se tem: (450 + 450 + 450)/2730 = 45/91
  • Total: 15 pessoas -> escolhendo: 3 pessoas

    C (15, 3) = 455
    5 estrangeiros -> escolhendo 1

    C (5, 1)  = 5
    10 não estrangeiros -> escolhendo 2

    C (10, 2) = 45
    5*45 / 455 = 225 / 455 = 45 / 91.
  • P = [(C5,1*C10,2) / C3,15]

  • 5 estrangeiros

    10 não estrangeiros

    15 total

    P(EXX) = (5/15).(10/14).(9/13) = 15/91

    Como o estrangeiro pode ser o primeiro, o segundo ou o terceiro selecionado:

    P(EXX) = 3.15/91 = 45/91



  • Também dá pra resolver usando distribuição hipergeométrica:

    C 5,1 x C(15 - 5, 3 - 1) / C 15, 3

  • Gabarito: Letra A

    1) O número de formas de se escolher 3 pessoas em um grupo de 15, sem reposição, é C(15,3) = 455.

    2) Para formar grupos com exatamente 1 estrangeiro e 2 brasileiros, temos 5 possibilidades de escolha do estrangeiro e C(10,2) = 45 formas de escolher os brasileiros. Ao todo, temos 5 x 45 = 225 formas de escolher 1 estrangeiro e 2 brasileiros.

    3) Portanto, a chance de formar grupos dessa forma é: P = favoráveis/total = 225 / 455 = 45/91


    Fonte:     ESTRATÉGIA CONCURSOS

  • Essa questão deveria ser anulada, pois esse valor 45/91 seria COM REPOSIÇÃO!!!!

     

    O valor SEM REPOSIÇÃO é:

     

    5/15 * 10/14 * 9/13 = 15/91

     

    ou

     

    (C5,1 * C10,1 * C9,1) / (C15,1 * C14,1 * C13,1) = 15/91

  • O número de formas de se escolher 3 pessoas em um grupo de 15, sem reposição, é C(15,3) = 455.

           Para formar grupos com exatamente 1 estrangeiro e 2 brasileiros, temos 5 possibilidades de escolha do estrangeiro e C(10,2) = 45 formas de escolher os brasileiros. Ao todo, temos 5 x 45 = 225 formas de escolher 1 estrangeiro e 2 brasileiros.

           Portanto, a chance de formar grupos dessa forma é:

    P = favoráveis/total = 225 / 455 = 45/91

    Resposta: A

ID
135613
Banca
FGV
Órgão
SEAD-AP
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Numa sala estão reunidos quatro auditores e seis fiscais. Se três dessas pessoas forem aleatoriamente sorteadas para formar uma comissão, a probabilidade de que a comissão seja composta por dois auditores e um fiscal é igual a:

Alternativas
Comentários
  • Essa questão é de probabilidade utilizando análise combinatória.
    (4 2) . ( 6 1)= 6.6= 36 
    ---------------------------- = 36/ 120= 0,3
         ( 10 3)= 120
  • O total de pessoa é 10 (4 auditores e 6 ficais). Temos C(10;3) = 120 maneiras de escolher três pessoas quaiquer.Para escolher 2 auditores há C(4;2) = 6 maneiras, e para escolher 1 fiscal há C(6;1) = 6 maneiras. Há, assim, 6*6 = 36 formas de escolher a comissão.A probabilidade, portanto, é 36/120 = 3/10 = 0,3.Letra C.Opus Pi.

  • [img alt="Qcv2_thumb_avatar" src="http://qcon-assets-production.s3.amazonaws.com/user/foto/000/000/015/qcv2_thumb_avatar.png">

    Opus Pi

    O total de pessoa é 10 (4 auditores e 6 ficais). Temos C(10;3) = 120 maneiras de escolher três pessoas quaiquer.Para escolher 2 auditores há C(4;2) = 6 maneiras, e para escolher 1 fiscal há C(6;1) = 6 maneiras. Há, assim, 6*6 = 36 formas de escolher a comissão.A probabilidade, portanto, é 36/120 = 3/10 = 0,3.Letra C.Opus Pi.


  • Auditores = 4

    Fiscais = 6

    Sorteio = 3

    ------------------------

    ​P = na / n

    P = 3 (número de sorteios) / 10 (total de auditores e fiscais)

    P = 0,3

  • O total de comissões formados por 3 dessas 10 pessoas é de: C(10,3) = 120. Para formar comissões com 2 auditores e 1 fiscal, temos C(4,2) = 6 possibilidades de escolher 2 dos 4 fiscais e 6 possibilidades de escolher um dos 6 auditores, totalizando 6 x 6 = 36 comissões possíveis.

    A probabilidade de escolher uma dessas 36 comissões é:

    P = 36 / 120 = 0,3

    Resposta: C

  • O total de comissões formados por 3 dessas 10 pessoas é de: C(10,3) = 120.

    Para formar comissões com 2 auditores e 1 fiscal, temos C(4,2) = 6 possibilidades de escolher 2 dos 4 fiscais e 6 possibilidades de escolher um dos 6 auditores, totalizando 6 x 6 = 36 comissões possíveis.

    A probabilidade de escolher uma dessas 36 comissões é: P = 36 / 120 = 0,3

ID
172990
Banca
FCC
Órgão
MPU
Ano
2007
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito segue um modelo com densidade Uniforme no intervalo de 5 a 15 (em minutos). Um paciente é selecionado ao acaso entre os que tomaram o remédio. A probabilidade do medicamento fazer efeito em até 10 minutos, neste paciente, é

Alternativas
Comentários

  • A função densidade de probabilidade é p(x = t) = 1/(15 - 5) = 1/10 = 0,1. A probabilidade pedida é p(5 <= x <= 10) = (10 - 5)*0,1 = 5*0,1 = 0,5.

    Resposta: c.

    Opus Pi.

  • Resposta correta: 0,5

  • XMAX - XMIN / 2

    Praticamente o calculo da média.

ID
173005
Banca
FCC
Órgão
MPU
Ano
2007
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Em uma livraria 4 livros didáticos com defeito foram misturados a outros 16 livros sem defeito. Um professor foi à livraria e escolheu, aleatoriamente, 4 desses livros para presentear seus alunos. A probabilidade de ter escolhido 3 livros com defeito é

Alternativas
Comentários

  • Temos C(20; 4) de escolher 4 livros. Desse total há C(4; 3) de escolher três livros com defeito e C(16; 1) de escolher 1 livro sem defeito. Pelo princípio fundamental da contagem, temos C(4; 3)*C(16; 1) forma de escolher os 4 livros sendo 3 com defeito. Sendo assim, a probabilidade é C(4; 3)*C(16; 1)/C(20; 4).

    Resposta: a.

    Opus Pi.

  • Alguém explica?

  • Gabarito letra B

     

    Segue a resposta para quem não é assinante e não consegue ver a explicação do professor:

     

    Temos C(20; 4) de escolher 4 livros. Desse total há C(4; 3) de escolher três livros com defeito e C(16; 1) de escolher 1 livro sem defeito. Pelo princípio fundamental da contagem, temos C(4; 3)*C(16; 1) forma de escolher os 4 livros sendo 3 com defeito. Sendo assim, a probabilidade é C(4; 3)*C(16; 1)/C(20; 4).

    Resposta: a.

    Opus Pi.

ID
173065
Banca
FCC
Órgão
MPU
Ano
2007
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A amostra 0,3; 1,2; 1,1; 0,9; 0,8; 0,5; procede de uma população com função densidade f(x) = 1/θ, 0 < x < θ. Os estimadores de máxima verossimilhança da média e da variância da população são, respectivamente,

Alternativas
Comentários

  • var(x) = e(x^2) - (e(x))^2

ID
177673
Banca
FCC
Órgão
TRT - 9ª REGIÃO (PR)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Seja X uma variável aleatória contínua com média igual a ?. Utilizando o teorema de Tchebyshev, obteve-se a probabilidade mínima de que X pertença ao intervalo (? ? 1,6; ? + 1,6) igual a 36%. O valor do desvio padrão de X é igual a

Alternativas
Comentários

  • Correção: onde há "(? ? 1,6; ? + 1,6)" no enunciado o correto é "(u - 1,6; u + 1,6)"; u representando a letra grega "mi" e significando a média. (ver arquivo da prova).

    O teorema de Tchebyschev diz:

    "Seja X é uma variável aleatória com média u. Então, para qualquer t > 0, temos P(|X - u| >= t) <= Var(X)/t^2."

    A probabilidade de X pertencer ao intervalo (u - 1,6; u + 1,6) é P(u - 1,6 <= X <= u + 1,6) = P(-1,6 < X - u < 1,6) = P(|X - u| < 1,6).

    Sabemos que P(|X - u| < 1,6) = 1 - P(|X - u| >= 1,6), ou seja, P(|X - u| >= 1,6) = 1 - P(|X - u| < 1,6) . Tomando t = 1,6 e usando o teorema, temos:

    1 - P(|X - u| < 1,6) = Var(X)/1,6^2

    Foi dito que P(|X - u| < 1,6) = 36% = 0,36, assim,

    1 - 0,36 = Var(X)/1,6^2

    Var(X) = 1,6^2*0,64.

    Como o desvio-padrão Dp é a raiz quadrada positiva da variânca, segue-se que Dp(X) = 1,6*0,8 = 1,28.

    Resposta: d.

    Opus Pi.

  • http://www.forumconcurseiros.com/forum/forum/disciplinas/estat%C3%ADstica/79998-fcc-2010-trt-9%C2%AA-regi%C3%83o-pr-analista-judici%C3%A1rio

    O teorema de Tchebyschev diz:

    "Seja X é uma variável aleatória com média u. Então, para qualquer t > 0, temos P(|X - u| >= t) <= var>http://www.forumconcurseiros.com/forum/member/147190-opus-pi às Tue, 29/03/11, 03:47 PM.

  • sigma^2 / (n*e^2) = 1 - 0,36,

    n = 1;
    e = 1,6;
    logo sigma = 1,28

  • dica: quando falar em probabilidade mínima pega o complementar da probabilidade do enunciado, quando falar em probabilidade máxima, pega a probabilidade do enunciado

ID
177709
Banca
FCC
Órgão
TRT - 9ª REGIÃO (PR)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Em uma população suponha que:

? 80% dos adultos do sexo masculino sejam alfabetizados;
? 60% dos adultos do sexo feminino sejam alfabetizados.

A proporção de adultos do sexo masculino e feminino é igual.

Sorteando-se ao acaso e com reposição uma amostra de 3 pessoas desta população, a probabilidade de se encontrar pelo menos uma alfabetizada na amostra é

Alternativas
Comentários

  • Sem perda de generalidade, considere que há 100 pessoas na população. Desse total:

            - 50 são do sexo masculino e 50 do feminino (pois a proporção é igual);

            - Das 50 do sexo masculino, 40 são alfabetizadas (80%) e 10 são analfabetas (o restante).

            - Das 50 do sexo feminino, 30 são alfabetizadas (60%) e 20 são analfabetas (o restante).

    Assim, do total de 100, temos 40 + 30 = 70 alfabetizadas e 10 + 20 = 30 analfabetas.

    A probabilidade de encontrar pelo menos uma alfabetizada é igual 1 - p(as 3 analfabetas).

    p(as 3 analfabetas) = p(primeira analfabeta)*p(segunda analfabeta)*p(segunda analfabeta)

    p(as 3 analfabetas) = (30/100)*(30/100)*(30/100) = 0,027. Portanto, a probabilidade procurada é 1 - 0,027 = 0,973.

    Resposta: d.

    Opus Pi.

  • população de homem = população mulher = x,

    alfabetizado = (0,8x + 0,6x) / (x + x) = 0,7,
    não alfabetizado = 0,3,
    prob de encontrar ao menos um alfabetizado = 1 - prob de encontrar 3 não alfabetizado = 1 - 0,3^3 = 0,973

  • Binominal : sabe-se que 40% são masculinos e alfabetizados e 30% femininos e alfabetizados,pq a questão diz que tem populações iguais,ou seja, 0,5x0,8 bem como 0,5x0,6.

    Logo: chance de nenhum ser alfabetizado:

    C 3,0 x 0,7^0 x 0,3^3 = 0,027

    Pelo menos 1 alfabetizado= 1-0,027= 0,973

ID
177712
Banca
FCC
Órgão
TRT - 9ª REGIÃO (PR)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A caixa X tem 5 bolas numeradas de 1 a 5 e a caixa Y tem 7 bolas numeradas de 1 a 7. Uma caixa é selecionada ao acaso e desta seleciona-se aleatoriamente uma bola. Se a bola selecionada apresenta um número ímpar, a probabilidade de que ela tenha vindo da caixa Y é

Alternativas
Comentários

  • A probabilidade de escolher qualquer das caixas é 1/2. Para a caixa X a probabilidade de sair um número ímpar é 3/5. Sendo assim, a probabilidade de a caixar ser escolhida ser X e saí ímpar é (1/2)*(3/5) = 3/10.

    De modo análogo, para a caixa Y, a probabilidade de sair ímpar é 4/7. Sendo assim, a probabilidade de a caixar ser escolhida ser Y e saí ímpar é (1/2)*(4/7) = 2/7.

    Se a caixa escolhida é a Y, a probabilidade de o numero ser ímpar é (2/7)/(2/7 + 3/10) = 20/41.

    Resposta: e.

    Opus Pi.

  • X = 1, 2, 3, 4, 5 = ÍMPAR = 3/5

    Y= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 = ÍMPAR = 4/7

    Probabilidade de ser ímpar = (3/5) + (7/7) = 41/35

    Probabilidade de ser da caixa Y e ímpar = (4/7) / (41/35) = (4/7) x (35/41) = (4/1) x (5/41) = 20/41 >>>> GAB: E

ID
177718
Banca
FCC
Órgão
TRT - 9ª REGIÃO (PR)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Em um lote de 8 peças há duas defeituosas e 6 boas. Escolhendo-se ao acaso e sem reposição 3 peças do lote, a probabilidade de se encontrar no máximo uma defeituosa é

Alternativas
Comentários

  • p(no máximo uma defeituosa) = p(nenhuma defeituosa) + p(apenas uma defeituosa), sendo:

    p(nenhum defeituosa) = p(primeira boa)*(segunda boa)*p(terceira boa)

    p(nenhum defeituosa) = (6/8)*(5/7)*(4/6) = 5/14

    p(apenas uma defeituosa) = 3*(2/8)*(6/7)*(5/6) = 15/28

    Assim, p(no máximo uma defeituosa) = 5/14 + 15/28 = 25/28.

    Resposta: c.

    Opus Pi.

  • sem reposição: usar hipergeométrica

  • alguém poderia resolver essa questão por Distribuição Binomial, por gentileza?

  • Fiz por combinação: Nenhuma defeituosa C 6,3 = 20 / TOTAL =C8/3 =56

    1 defeituosa: C 2,1 =2 x C 6,2 =15 =30

    20/56+30/56 = 50/56 simplificando por 2 = 25/28

ID
177721
Banca
FCC
Órgão
TRT - 9ª REGIÃO (PR)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A inspeção para o controle de qualidade de uma firma examinou os itens de um lote que tem n peças boas e m peças defeituosas (n é muito maior do que m). Uma verificação dos primeiros k(k < m ? 1) itens mostrou que todos eram defeituosos. A probabilidade de que, entre os dois próximos itens selecionados ao acaso, dos restantes, pelo menos um seja defeituoso é:

Alternativas
Comentários

  • O total de peças no lote é n + m. Se k desses itens são defeituosos e já foram examinados, restam n + m - k itens, sendo n bons e m - k defeituosos. Dois itens seguintes serão analisados e queremos saber p(pelo menos um seja defeituoso). Podemos afirmar que:

    p(pelo menos um defeituoso) = 1 - p(nenhum defeituoso)

    Mas

    p(nenhum defeituoso) = p(primeiro ser peça boa)*p(segundo ser peça boa).

    Cada uma das probabilidade do segundo membro é:

    p(primeiro ser peça boa) = n/(n + m - k)

    p(segundo ser peça boa) = (n - 1)/(n + m - k -1).

    Observe que após retirar o primeiro, restam n - 1 bons e m - k defeituosos, de forma que o total é n - 1 + m - k = n + m - k - 1.

    Assim,

    p(nenhum defeituoso) = (n/(n + m - k)).((n - 1)/(n + m - k -1)), o que resulta,

    p(pelo menos um defeituoso) = 1 - [(n/(n + m - k)).((n - 1)/(n + m - k -1))]

    Resposta: a.

    Opus Pi.

ID
199414
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
MS
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

João foi submetido a um teste de laboratório para o diagnóstico de uma doença rara. A probabilidade de essa doença se desenvolver em um indivíduo como o João é igual a 0,001. Sabe-se que esse teste pode resultar em "falso positivo", ou seja, indicar que João possui essa doença, quando na verdade ele não a tem. Ou, o teste pode resultar em "falso negativo", isto é, indicar que João não possui a doença, quando na verdade ele está doente. A probabilidade de o teste resultar em falso positivo é igual a 0,05 e a probabilidade de o teste resultar em falso negativo é igual a 0,02.

Com base nas informações dessa situação hipotética, julgue os itens subsequentes.

Se qualquer indivíduo como João submeter-se ao teste, então a probabilidade de o teste produzir um resultado negativo é superior a 0,94 e é inferior a 0,98.

Alternativas
Comentários

  • Galera, foi como eu resolvi, espero que seja a forma correta e não esteja falando besteira. É o jeito que encontramos para tentar nos virar, haja vista que o QC não faz o mínimo esforço para pôr professores de estatística. Qualquer erro, mandem uma mensagem, pois não sou dono da verdade.

    Bora lá, monstrinhos lindos:

    Tudo que vou jogar agora está no enunciado:

    • Ter doença é 0,1%
    • Não ter doença é 99,9

    Quando você faz o deste e não tem doença, pode ter apenas 2 resultados 99,9%

    1. Resultado errado, falso-positivo, que fala que você tem, mesmo que não tenha 5%
    2. Resultado correto, negativo, porque você não tem de fato 95%

    Quando você faz o teste E tem doença, pode ter também somente 2 resultados 0,1%

    1. Resultado errado, falso-negativo, que fala que você não tem, mas você está ferrado e tem 2%
    2. Resultado correto, positivo, porque você tem mesmo e o teste prestou 98%

    Agora, a questão pede o resultado seja negativo, tendo duas hipóteses:

    • Você tem a doença, mas o resultado errou (falso-negativo), dizendo que você não tem.
    • 0,1% x 2% = 0,002%
    • Você não tem a doença, e o resultado acertou (falou que você não tem de fato)
    • 99,9% x 95% = 94,90%

    Somando os dois casos, temos

    94,902%

    Gab C.

    #pas

  • Galera, foi como eu resolvi, espero que seja a forma correta e não esteja falando besteira. É o jeito que encontramos para tentar nos virar, haja vista que o QC não faz o mínimo esforço para pôr professores de estatística. Qualquer erro, mandem uma mensagem, pois não sou dono da verdade.

    Bora lá, monstrinhos lindos:

    Tudo que vou jogar agora está no enunciado:

    • Ter doença é 0,1%
    • Não ter doença é 99,9

    Quando você faz o deste e não tem doença, pode ter apenas 2 resultados 99,9%

    1. Resultado errado, falso-positivo, que fala que você tem, mesmo que não tenha 5%
    2. Resultado correto, negativo, porque você não tem de fato 95%

    Quando você faz o teste E tem doença, pode ter também somente 2 resultados 0,1%

    1. Resultado errado, falso-negativo, que fala que você não tem, mas você está ferrado e tem 2%
    2. Resultado correto, positivo, porque você tem mesmo e o teste prestou 98%

    Agora, a questão pede o resultado seja negativo, tendo duas hipóteses:

    • Você tem a doença, mas o resultado errou (falso-negativo), dizendo que você não tem.
    • 0,1% x 2% = 0,002%
    • Você não tem a doença, e o resultado acertou (falou que você não tem de fato)
    • 99,9% x 95% = 94,90%

    Somando os dois casos, temos

    94,902%

    Gab C.

    #pas

ID
199417
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
MS
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

João foi submetido a um teste de laboratório para o diagnóstico de uma doença rara. A probabilidade de essa doença se desenvolver em um indivíduo como o João é igual a 0,001. Sabe-se que esse teste pode resultar em “falso positivo”, ou seja, indicar que João possui essa doença, quando na verdade ele não a tem. Ou, o teste pode resultar em “falso negativo”, isto é, indicar que João não possui a doença, quando na verdade ele está doente. A probabilidade de o teste resultar em falso positivo é igual a 0,05 e a probabilidade de o teste resultar em falso negativo é igual a 0,02

Com base nas informações dessa situação hipotética, julgue o iten subsequente.

Se o teste ao qual João foi submetido der resultado positivo, então a probabilidade de ele estar de fato com a doença é inferior a 0,02.

Alternativas
Comentários

  • Sabendo que o teste deu positivo:

    • Não ter (99,9%) e deu falso-positivo (5%)
    • Ter (0,1%) e o resultado acertou (98%)

    (99,9% x 5%) + (0,1% x 98%) = 5,098%

    Agora, qual a probabilidade de estar doente? 0,1%

    Estar doente/Sabendo que deu positivo

    0,1%/5,098% = 0,0196

    Logo, deu bom. Gab Certo

  • uma dúvida sobre a resolução do colega. Não estaria faltando mais uma possibilidade no espaço amostral? que seria ele ter a doença(0,1%) e o resultado deu falso-positivo(5%)

    alguém pra conceder uma luz

ID
199420
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
MS
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

João foi submetido a um teste de laboratório para o diagnóstico de uma doença rara. A probabilidade de essa doença se desenvolver em um indivíduo como o João é igual a 0,001. Sabe-se que esse teste pode resultar em “falso positivo”, ou seja, indicar que João possui essa doença, quando na verdade ele não a tem. Ou, o teste pode resultar em “falso negativo”, isto é, indicar que João não possui a doença, quando na verdade ele está doente. A probabilidade de o teste resultar em falso positivo é igual a 0,05 e a probabilidade de o teste resultar em falso negativo é igual a 0,02.


Com base nas informações dessa situação hipotética, julgue o item.


Se quatro indivíduos que possuem essa doença forem selecionados ao acaso e submetidos ao referido teste de laboratório, e se os resultados forem independentes entre si, então a probabilidade de ocorrerem exatamente dois resultados negativos e dois resultados positivos é inferior a 0,005.

Alternativas
Comentários

  • Binomial, lindezas:

    C4,2 x (2%) * (2%) * (98%) * (98%) = 0,0023

    Gab C

ID
199423
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
MS
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Um laboratório farmacêutico produz certo medicamento em três locais diferentes: A, B e C. Do total produzido, 40% têm origem em A; 35% em B e o restante, 25%, tem origem em C. As probabilidades de que haja defeitos no produto final variam segundo o local de origem e são iguais a 0,01, 0,02 e 0,03 para os locais A, B e C, respectivamente. A produção desse laboratório é reunida em certo local D para ser vendida, de maneira que os medicamentos são misturados ao acaso, fazendo com que a identificação da sua origem (A, B ou C) seja impossível.

Considerando essa situação hipotética, julgue o item abaixo.

Se um comprador adquire um medicamento defeituoso no local D, é mais provável que sua origem seja de A.

Alternativas
Comentários

  • Convertendo a porcentagem fica melhor. É produzido: A= 40 ; B= 35 ; C= 25. Destes, possuem defeitos:

    1% de A= 0,40;

    2% de B= 0,70;

    3% de C= 0,75.

    Logo, se um comprador adquire um medicamento defeituoso no local D, é mais provável que sua origem seja de C.

ID
202282
Banca
FCC
Órgão
SEFAZ-SP
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

O total de funcionários em uma repartição pública é igual a 6. João e sua esposa trabalham nesta repartição em que será formada uma comissão de 3 funcionários escolhidos aleatoriamente. A probabilidade de que no máximo um deles, João ou sua esposa, faça parte da comissão é

Alternativas
Comentários

  • Comentário objetivo:

    O número total de possibilidades para a formação da comissão é igual a:

    C6,3 = 6! / 3! 3! = 20 casos

    Podemos calcular os casos não desejados. Não desejamos que ambos, João e sua esposa, participem da comissão. Se João e sua esposa participarem da comissão, temos que escolher mais um pessoa dentre 4 restantes.

    Isso acontece em:

    C4,1 = 4! / 1! 3! = 4 casos

    Esses são os casos não desejados. Como o total é 20, desejamos 20 – 4 = 16 casos.

    Assim, a probabilidade pedida é 16/20 = 4/5 (GABARITO D)  

  • Gabarito: Letra D

    1) O total de comissões com 3 funcionários que podem ser formadas a partir de um grupo de 6 funcionários é dada pela combinação de 6, 3 a 3:
    C(6,3) = 20

    2) Dessas, estamos interessados apenas nas que tenham, no máximo, ou João ou sua esposa. Isto é, elas podem ter apenas João, apenas a esposa ou nenhum deles.

    3) Podemos resolver esse problema calculando quantas comissões podem ser formadas incluindo tanto João quanto sua esposa. Neste caso, já temos 2 das 3 pessoas da comissão escolhidas. Temos ainda 4 pessoas disponíveis para a última vaga restante, isto é, 4 possibilidades.

    4) Se existem 4 possíveis comissões incluindo João e também sua esposa, então o número de comissões que tenha, no máximo, um deles, é 20 – 4 = 16. Assim, a chance de obter uma comissão que tenha no máximo 1 deles é: P = 16/20 = 4/5


    Fonte:     ESTRATÉGIA CONCURSOS

  • Veja que queremos calcular a probabilidade do evento “no máximo um fazer parte”. Ao invés disto, podemos calcular a probabilidade do seu complemento, isto é, “os dois fazerem parte” da comissão. Podemos dizer que:

    P (no máximo um fazer parte) = 100% - P (os dois fazerem parte)

    Para que ambos façam parte da comissão de 3 funcionários, veja que 2 vagas já estão reservadas para o casal. Falta escolher apenas mais 1 elemento, em um total de 6 – 2 = 4 pessoas disponíveis. Isto é, podemos formar 4 comissões diferentes contendo o casal e mais uma pessoa. Esses são os casos FAVORÁVEIS. O TOTAL de comissões com 3 pessoas que podemos formar a partir de um grupo de 6 é dado por C(6,3) = 6x5x4/(3x2x1) = 20. Portanto,

    P(os dois fazerem parte) = 4/20 = 1/5

    Assim, podemos encontrar o que buscamos:

    P (no máximo um fazer parte) = 100% - P (os dois fazerem parte)

    P (no máximo um fazer parte) = 1 – 1/5

    P (no máximo um fazer parte) = 4/5

    Resposta: D

  • Probabilidade: Casos favoráveis/Casos possíves totais

    Casos possíveis totais: C6,3=6!/3!3! = 20 comissões possíveis

    Casos favoráveis:

    Atenção aqui. NO MÁXIMO UM DELES, ou seja, que possua João, sua esposa, ou nenhum deles.

    Retirando João e sua Esposa da lista de funcionários nos sobram 4.

    Comssiões com João: C4,2 = 4!/2!2! = 6(uma vez que João já está nela)

    Comissões com Esposa: C4,2 = 4!/2!2! = 6 (mesmo raciocínio)

    Comissões sem João e sua Esposa: C4,3 = 4!/3!1! = 4

    Somando-se os casos favoráveis = 6 + 6 + 4 = 16

    GABA = 16/20 = 4/5

  • Fiz por binomial:

    1-P(x=2)

    P(knp) = Cn,k * P^(k)*(1-p)^(n-k)

    P(2,6,1/6) = C6,2 * (1/6)^(2)*(1-(1/6))^(6-2) = 0,20

    1 - 0,20 = 0,8 ou seja, 5/4

ID
203599
Banca
FEPESE
Órgão
SEFAZ-SC
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Seja a variável aleatória discreta X número de acidentes em um cruzamento registrado em um mês. A probabilidade de que X seja menor ou igual a 2 (ou seja, que ocorram até 2 acidentes no cruzamento em um mês) vale 0,0015.

Qual é a probabilidade de que ocorram mais de 2 acidentes no cruzamento em um mês?

Alternativas
Comentários

  • Alternativa E: Considerando o segundo axioma da Probabilidade (a probabilidade de um evento elementar em todo o espaço da amostra é igual a 1). P = 1.

    Assim: 1 - 0,0015 = 0,9985.

  • complementar

ID
206236
Banca
FEPESE
Órgão
SEFAZ-SC
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Sejam dois eventos, A e B, mutuamente exclusivos. A probabilidade de ocorrência de A vale 0,2. A probabilidade de ocorrência de B vale 0,4.

Quanto vale a probabilidade de ocorrência do evento A união B?

Alternativas
Comentários
  • UNIÃO significa OU.
    P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B)

    P(A e B) para eventos mutuamentes exclusivos é igual a zero.

    Assim: P(A ou B) = 0,2 + 0,4 - 0  =  0,6

  • Eventos excludentes, soma P(A) + P(B) e corre pro abraço.

ID
221449
Banca
FCC
Órgão
TRT - 4ª REGIÃO (RS)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A média aritmética e a variância dos salários dos empregados da empresa Gama são R$ 1.500,00 e 1.600,00 (R$)2, respectivamente. Como a distribuição destes salários é desconhecida, utilizou-se o teorema de Tchebyshev para saber qual é a proporção de empregados com salários inferiores ou iguais a R$ 1.400,00 ou salários superiores ou iguais a R$ 1.600,00. Esta proporção é no máximo

Alternativas
Comentários
  • Comentário objetivo:

    DADOS
    σ2 = 1.600 -> σ = 40
    μ = 1.500

    APLICANDO O TEOREMA DE TCHEBYSHEV
    PMÁX = 1 / k2
    k = d / σ
    dddf d = (Lsup - Linf) / 2

    Assim,

    d = (1.600 - 1.400) / 2 = 100
    k = 100 / 40 = 2,5
    PMÁX = 1 / (2,5)2 = 1 / 6,25 = 0,16 = 16% (GABARITO B)

  • média = 1500

    var = 1600

    dp = raiz de 1600 = 40

    1/k² = proporção máxima

    quem é k?

    k = erro/dp

    quem é o erro?

    erro é dado assim maior valor do intervalo menos a média ou media menos o menor valor do intervalo, ou seja:

    1600 -1500 = 100

    1500 - 1400 = 100

    Basta substituir:

    k = erro/dp

    k = 100/40

    k = 2,5

    Assim,

    1/k² = proporção máxima

    1/2,5² = proporção maxima

    0,16 = proporção máxima

    Gabarito: Letra B

ID
221488
Banca
FCC
Órgão
TRT - 4ª REGIÃO (RS)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere amostras ordenadas de tamanho 4 com repetição, com escolhas aleatórias tomadas de uma população de tamanho 10. A probabilidade de que nenhum elemento apareça mais de uma vez na amostra é

Alternativas
Comentários

  • (10/10 * 9/10 * 8/10 * 7/10) = 63 / 125

ID
221491
Banca
FCC
Órgão
TRT - 4ª REGIÃO (RS)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso igual a 0,4. O número esperado de ensaios para que se obtenha o segundo sucesso é

Alternativas
Comentários

  • como a probabilidade de sucesso é 0,4.. esperamos que em 10 ensaios tenhamos 4 sucessos
    10 - 4
    x - 2
    4x = 20
    x = 5

  • https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/117190?orgao=trt-4&cargo=analista-judiciario-trt-4-regiao&ano=2009

  • E(X)=1/p   

    1/0.4=2.5

    2.5+2.5=5

  • Na Distribuição de Bernoulli, o sucesso é representado por p. O fracasso é representado por q.

    Assim, a questão nos dá que p = 0,4. Significa 4/10, ou seja, para cada 10 sequências, temos 4 sucessos. Como a questão pede o 2º acerto, é só dividir a fração:

    4/10 dividido por 2 (para achar o 2º sucesso) = 2/5

    Ou seja, em 5 sequências temos 2 sucessos, mantendo a probabilidade de 0,4.

    GAB E

    Recomendo aos colegas esse vídeo do Prof. Jhoni Zini: www.youtube.com/watch?v=RrgQJ-9y-ds

  • DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI

    É uma distribuição em que as respostas somente poderão ser SIM ou NÃO. Ou seja, há apenas duas possibilidades: ou sucesso ou fracasso. Sucesso = 1 (p); fracasso = 0 (q).

    A esperança é igual ao sucesso, ou seja, p

    A variância é igual a p.q

    Teoria extraída de www.youtube.com/watch?v=RrgQJ-9y-ds

ID
221494
Banca
FCC
Órgão
TRT - 4ª REGIÃO (RS)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Uma urna contém n bolas numeradas de 1 até n. Duas bolas são retiradas ao acaso e com reposição. Seja X a variável aleatória que representa o valor da diferença absoluta entre os dois números observados. A probabilidade de X ser igual a um é

Alternativas
Comentários
  • Pensei da seguinte forma: X=|Y-Z|
    Para X=1, teremos:
    Se Y=1, Z tem que ser 2, então P(Y=1 e Z=2)=1/n^2
    Se Y=2, Z tem que ser 1 ou 3, então P(Y=2 e Z=1)+ P(Y=2 e Z=3)=2/n^2
    ...
    Se Y=n, Z tem que ser n-1, então P(Y=n e Z=n-1)=1/n^2

    Como para Y=1 e Y=n, P(X)=1/n^2 e para as outras (n-2) possibilidades, P(X=1)=2/n^2, então:
    P(X=1)= 2*(1/n^2)+(n-2)*( 2/n^2)=2(n-1)/n^2

  • Façamos n = 3
    Assim temos:
        1 2 3
    1  0 1 2
    2  1 0 1
    3  2 1 0
    os valores das diferenças estão em módulo
    prob da diferença ser 1 em módulo = 4/9 para n = 3
    substitua nas alternativas esse valor de n = 3 e terá a letra b como resposta



     

  • https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/117207?orgao=trt-4&cargo=analista-judiciario-trt-4-regiao&ano=2009

ID
221497
Banca
FCC
Órgão
TRT - 4ª REGIÃO (RS)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Suponha que se realiza cinco ensaios independentes todos com probabilidade de sucesso igual a 0,3. Seja X a variável aleatória que representa o número de sucessos nesses cinco ensaios e seja Y a variável aleatória que representa o número de sucessos nos três primeiros ensaios. Nessas condições, a probabilidade de Y ser igual a dois, dado que X assumiu o valor três, é igual a

Alternativas
Comentários
  • https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/117211?orgao=trt-4&cargo=analista-judiciario-trt-4-regiao&ano=2009

ID
221521
Banca
FCC
Órgão
TRT - 4ª REGIÃO (RS)
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere uma sequência de ensaios de Bernoulli, independentes, e onde a probabilidade de sucesso é p. Seja X o número de ensaios necessários até a ocorrência do primeiro sucesso. Suponha que em quatro repetições desse experimento observou-se para X os valores: 1, 3, 2, 4. O estimador de máxima verossimilhança de p, baseado nesta amostra, é

Alternativas
Comentários

  • Numero de ensaios ate o primeiro sucesso tem distribuicao geometrica
    em que: o numero esperado de fracassos ate o primeiro sucesso é dado por: (1 - p) / p
    1, 3, 2, 4 representam o numero de ENSAIOS ate o primeiro sucesso
    o numero de FRACASSOS ate o primeiro sucesso é respectivamente: 0, 2, 1, 3. A media desses ultimos 4 valores é 1,5
    ou seja, sao necessarios em media 1,5 fracassos para a obtencao do primeiro sucesso
    logo: (1 - p) / p = 1,5
    p = 0,4

     

  • https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/117247?orgao=trt-4&cargo=analista-judiciario-trt-4-regiao&ano=2009

ID
229282
Banca
FCC
Órgão
TJ-AP
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Uma variável aleatória X tem média igual a 10 e desvio padrão igual a 2. Pelo teorema de Tchebyshev, se 0 < k < 10 a probabilidade mínima de que X pertença ao intervalo (10?k, 10+k) é igual a

Alternativas
Comentários
  • Teorema de Tcheb:

    Probabilidade Máxima = 1 / k2
    Probabilidade Mínima = 1 - (Prob Máx)


    K = D / desvio padrão ( D = intervalo superior  - média,  na curva normal)

    Prob Máxima: fora do intervalo
    Prob Mínima: dentro do intervalo


    Resolução:

    K= D/dp
    K= ](10+D) - 10] / 2
    K= D/2


    Prob Máx= 1/k2
    Prob Máx= 1 / (D/2)2  = 1 - 4D-2


    Prob Mín = 1 - Prob Máx
    Prob Mín = 1 -




  • k* vezes sigma = erro = k
    2k* = k
    logo k* = k / 2
    prob minima = 1 - 1 / (k* ^2) = letra B
    OBSERVACAO: A banca errou em chamar o erro de k. Por isso, eu diferenciei k* de k na resolucao da questao. Ninguem sabe se o k da resposta é referente ao erro k, ou se é o k de Tchebyshev. Tem que ser deste. Essa ambiguidade sucitaria a anulacao da questao.

ID
229303
Banca
FCC
Órgão
TJ-AP
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Dois processadores tipos A e B são colocados em teste por mil horas. A probabilidade de que um erro de cálculo aconteça em um processador do tipo A é de 3%, do tipo B é 2% e em ambos é de 0,3%. A probabilidade de que nenhum processador tenha apresentado erro é igual a

Alternativas
Comentários
  • Comentário objetivo:

    Para resolver essa questão, temos que trabalhar com o conceito de evento complementar. Assim temos:

    DADOS FORNECIDOS PELA QUESTÃO
    P(A ter erro) = 3%
    P(B ter erro) = 2%
    P(A ter erro e B ter erro) = 0,3%

    APLICANDO A FÓRMULA DO "OU"
    A probabilidade de que algum dos processadores tenha erro é calculada pela fórmula do "OU", da seguinte fórmula:

    P (A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B)
    P (A ter erro ou B ter erro) = P(A ter erro) + P(B ter erro) - P(A ter erro e B ter erro)
    P (A ter erro ou B ter erro) = 3% + 2% - 0,3%
    P (A ter erro ou B ter erro) = 4,7%

    UTILIZANDO O CONCEITO DE EVENTO COMPLEMENTAR
    Como encontramos no passo acima a probabilidade de que algum dos processadores (A ou B) tenha erro, para acharmos a probabilidade de que
    nenhum deles tenha erro devemos aplicar o conceito de evento complementar, da seguinte forma:

    P(A não ter erro e B não ter erro) = 100% - P (A ter erro ou B ter erro)
    P(A não ter erro e B não ter erro) = 100% - 4,7%
    P(A não ter erro e B não ter erro) = 95,3%
    P(A não ter erro e B não ter erro) = 0,953 (GABARITO A)
  • Acho que essa questão não tem resposta:

    P(A não ter erro e B não ter erro)= 100%- [ P(A ter erro) + P(B ter erro) + P(A e B terem erros)]=1-[0,03+0,02+0,003]=0,947
ID
229306
Banca
FCC
Órgão
TJ-AP
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Dos 8 caminhões de entrega de uma loja de departamento, três emitem excesso de poluentes. Selecionados aleatoriamente, para a inspeção, 4 dos 8 caminhões, a probabilidade dessa amostra incluir exatamente 2 caminhões que emitem excesso de poluentes é

Alternativas
Comentários

  • Dos 8 caminhões 3 emitem excesso de poluentes. Consequentemente os outros 5 não emitem. Se queremos escolher 4 sendo que exatamente 2 emitem excesso, então os outros 2 necessariamente não devem emitir excesso. Sendo assim, nossa escolha dos quatro será da seguinte forma:

    1) escolher 2 dos 3 que emitem excesso; e

    2) escolher 2 dos 5 que não emitem excesso.

    No caso 1) há C(3;2) = 3 maneiras de escolher e no caso 2) há C(5;2) = 10. Assim, há 3*10 = 30 maneiras de escolher os 4 carros, sendo exatos 2 emitentes de excesso.

    Como temos C(8;4) = 70 maneiras de escolher 4 carros quaisquer, então a probabilidade pedida é 30/70 = 3/7.

    Resposta: d.

    Opus Pi.

  • GABARITO: Letra D

    Probabilidade = Quero/Total

    Dos 4 que vou selecionar, quero 2 poluentes. Logo preciso de outros 2 não poluentes = C(3,2)*C(5,2) = 3*10= 30

    Total de grupos que pode ser formado = C(8,4) = (8*7*6*5)/(4*3*2*1) = 70

    Probabilidade = 30/70 = 3/7

ID
229309
Banca
FCC
Órgão
TJ-AP
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

De todas as pessoas que preencheram a declaração do Imposto de Renda em uma comunidade, num determinado ano fiscal, sabe-se que: 10% incluíram deduções que elas sabiam ser ilegais, 5% preencheram a declaração fazendo deduções ilegais por não conhecerem as instruções exatas, enquanto que as demais pessoas a preencheram de forma correta. Sabe-se que 95% das declarações que continham erros propositais e 90% das que continham erros por desconhecimento, foram barradas na malha fina (todas as preenchidas corretamente não foram barradas). Uma declaração é escolhida aleatoriamente dentre as citadas e sabe-se que ela foi barrada na malha fina. A probabilidade da declaração ser de um contribuinte que errou propositalmente é

Alternativas
ID
229312
Banca
FCC
Órgão
TJ-AP
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Um auditor foi contratado para examinar uma coleção de faturas de vendas das quais 10% contêm erros. Ele selecionou, aleatoriamente e com reposição, uma amostra de 4 faturas. A probabilidade de exatamente duas conterem erro é

Alternativas
Comentários

  • prob de exatamente duas com erro = (4 2)*(0,9^2)*(0,1^2) = 0,0486
    obs: (4 2) = combinacao de 4, 2 a 2

  • Poderia explicar melhor essa questão !?. Ainda não consegui entender !

ID
233329
Banca
FUNIVERSA
Órgão
CEB-DISTRIBUIÇÃO S/A
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Um professor de probabilidade aplica a seus alunos
um teste com questões de múltipla escolha de quatro
alternativas (A, B, C, D), sendo apenas uma verdadeira. O
discente deve seguir as instruções: ele pode escolher até
quatro alternativas para ganhar três pontos na marcação
certa e perde um ponto por marcação errada.

Se um aluno fez pelo menos uma marcação em uma questão, qual a probabilidade de ele ter obtido 1 ponto nessa questão?

Alternativas
ID
233332
Banca
FUNIVERSA
Órgão
CEB-DISTRIBUIÇÃO S/A
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Um professor de probabilidade aplica a seus alunos
um teste com questões de múltipla escolha de quatro
alternativas (A, B, C, D), sendo apenas uma verdadeira. O
discente deve seguir as instruções: ele pode escolher até
quatro alternativas para ganhar três pontos na marcação
certa e perde um ponto por marcação errada.

Para obter a melhor pontuação por questão, o número de marcações que o aluno deve fazer, em cada uma delas, é

Alternativas
ID
233350
Banca
FUNIVERSA
Órgão
CEB-DISTRIBUIÇÃO S/A
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Amélia vai sair de férias e pediu ao porteiro do seu edifício que regasse suas plantas aos sábados. Se a planta não for regada durante as férias, a probabilidade de sobreviver é de 10%; se for regada, essa probabilidade é de 50%. Amélia perguntou ao síndico sobre a frequência com que o porteiro atende aos pedidos dos moradores e ele lhe disse que, em 25% dos casos, o porteiro se esquece de atender aos pedidos. Quando Amélia voltar de férias, caso ela encontre as plantas mortas, qual a probabilidade de o porteiro ter se esquecido do pedido dela?

Alternativas
ID
233353
Banca
FUNIVERSA
Órgão
CEB-DISTRIBUIÇÃO S/A
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Ivan usa sua calculadora para gerar números aleatórios entre 0 e 3. Ele está interessado em calcular a sua diferença. Qual a probabilidade de que a diferença obtida seja maior que 2?

Alternativas
Comentários
  • Alguém saberia resolver esta questão?

    Obrigado.
  • Pode-se perceber que estamos trabalhando com uma variável aleatória contínua com função distribuição de probabilidade uniforme.

    Deste modo, para 2 números tais que a diferença entre eles seja igual a 2 (b-a =2), a probabilidade seria a área do retângulo: P = (1/3).(b-a) = 2/3.
    Sobrando então os casos nos quais b-a>2 e b-a<2, tal que a probabilidade para esses 2 casos seria 1 - 2/3 =1/3. Assim, como queremos o caso onde b-a>2, a probabilidade teria que ser menor do que 1/3, o que eliminaria os itens C, D e E.

    Entretanto, não sei como chegar a resposta correta que seria a letra A (1/9) ou B (2/9).
  • Os números aleatórios são entre 0 e 3, assim temos 9 possibilidades: 0 e 3; 1 e 3; 2 e 3; 3 e 3; 0 e 2; 1 e 2; 2 e 2; 0 e 1; 1 e 1. Para que a diferença obtida seja maior que 2, só existe uma possibilidade: 0 e 3, diferença = 3. Logo a probabilidade é 1 em 9, alternativa A.
  • Existem DEZ possibilidades, pois além daquelas citadas pelo colega haveria ainda a chance de as variáveis serem 0 e 0, logo a resposta seria 1/10.
    Questão passivel de recurso.

    abs
  • Vejo 16 possibilidades:
    00
    01
    02
    03
    11
    10
    12
    13
    22
    20
    21
    23
    33
    31
    32
    33
  • Entendo que os números aleatórios vão de 0,0001 a 2,99999.
    Para a diferença ser maior que 2, necessariamente a parte inteira do primeiro número terá que ser 0, e a parte inteira do segundo terá que ser 2.
    As únicas partes inteiras possíveis são 0, 1 ou 2.
    Assim, a probabilidade do primeiro ter parte inteira 0 é de 1/3, e do segundo ter parte inteira 2 é também 1/3.
    A probabilidade final é: P = 1/3 * 1/3 = 1/9 (letra A)
ID
243667
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Petrobras
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Em um posto de combustíveis entram, por hora, cerca de 300 clientes. Desses, 210 vão colocar combustível, 130 vão completar o óleo lubrificante e 120 vão calibrar os pneus. Sabe-se, ainda, que 70 colocam combustível e completam o óleo; 80 colocam combustível e calibram os pneus e 50 colocam combustível, completam o óleo e calibram os pneus. Considerando que os 300 clientes entram no posto de combustíveis para executar uma ou mais das atividades acima mencionadas, qual a probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o óleo e calibrar os pneus?

Alternativas
Comentários
  • Teoria dos Conjuntos, começa a montar do 50 (que é comum para os 3), depois vai subtraindo.

    Combustível: 210 - 50 - 30 - 20 = 110 (só combustível)
    Pneus: 120 - 50 - 30 = 40
    Óleo: 130 - 50 - 20 = 60

    50: combust. + pneus + óleo
    30: combust. + pneus (80 - 50)
    20: combust. + óleo (70 - 50)


    Deste total teremos: 50 + 20 + 30 + 110 + 60 + 40 = 310, subentende-se que pneus + óleo seria 10, pois a quant. de clientes é 300.

    Por isso, calibrar pneus + completar óleo = 60 clientes
    300 clientes .....................100 %
    60 clientes ....................... x          X = 20 resp. letra B
  • Não entendo, se somente 40 clientes calibraram pneus, como pode calibrar pneus e completar óleo totalizar 60 clientes?
  • Cálculo simples e lógico
    § Se 130 vão completar o óleo
    § Se 120 vão calibrar os pneus
    § Se 300/hora

    Então:

    120+130 = 250 fazem os 2 serviços

    300/250 = 1,20 ou 0,20

    letra B
  • 1) Encontrar quais clientes apenas completaram óleo e calibraram pneus:

    210+130+120-70-80-x=300
    x=10 clientes que APENAS completaram óleo e calibraram pneus.

    2) Somar os que apenas completaram o óleo e calibraram pneus com aqueles que utilizaram todos os serviços.

    10+50=60 TOTAL de clientes que calibraram pneus e completaram o óleo

    3) Calcular a porcentagem TOTAL de clientes que completaram o óleo e calibraram os pneus:

    60/300 = 20%
  • Temos três eventos mutuamente exclusivos. Se chamarmos de A o evento "combustível", de B o evento "óleo" e de C o evento "pneus", ao aplicarmos a regra da adição para três eventos (Diagrama de Venn), temos:

    • P (A ou B ou C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A e B) - P (A e C) - P (B e C) + P (A e B e C), onde:

    P (B e C) corresponde ao total de clientes que entram no posto para completar o óleo e calibrar os pneus;

    • Assim:
    300 = 210 + 130 + 120 - 70 - 80 - P (B e C) + 50

    • Logo:
    P (B e C) = 60 clientes;

    • Portanto:
    P (E) = frequencia do evento / frequencia total = 60/300 = 0,2

     
  • Pessoal, vmaos pela fórumla que é muito simples:
    A+B+C-(AUB+AUC+BUC)+A∩B∩C = Total
    210+130+120-(80+70+x)+50=300
    x=60

    p = 60/300 = 20%

  • Cláudio Martins, já tinha chegado aos 10 clientes que calibraram o pneu e botaram óleo. Mas não estava entendendo da onde vinha o 60 rs.

    Acontece que temos que adicionar a esses 10 clientes, os 50 clientes que fizeram os tres serviços, pois eles tbm calibraram o pneu e botaram oleo.

  • muito mal elaborada!!

ID
263926
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Petrobras
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Um jogo consiste em lançar uma moeda honesta até obter duas caras consecutivas ou duas coroas consecutivas. Na primeira situação, ao obter duas caras consecutivas, ganha-se o jogo. Na segunda, ao obter duas coroas consecutivas, perde-se o jogo. A probabilidade de que o jogo termine, com vitória, até o sexto lance, é

Alternativas
Comentários
  • Total de casos = 2^6 = 64

    Casos de empate ----> CKCKCK e KCKCKC ----> 2 casos (K = cara, C = coroa)

    Sobram 62 casos, sendo 31 de vitória e 31 de derrota

    Pv = 31/64
  • Legenda:
    C: cara
    K: coroa

    Ganha-se obtendo duas caras consecutivas, dessa forma, eu ganho tirando:
    CC = 1/2*1/2 = 1/4
    KCC = 1/2*1/2*1/2 = 1/8
    CKCC = 1/2*1/2*1/2*1/2 = 1/16
    KCKCC = 1/2*1/2*1/2*1/2*1/2 = 1/32
    CKCKCC = 1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2 = 1/64

    somando tudo temos 31/64.
  • Para os 6 lançamentos da moeda, quantos são os casos possíveis?   Ora, temos 6 lançamentos, e cada um deles tem dois resultados possíveis (K ou C). Aplicando o princípio fundamental da contagem, onúmero de casos possíveis é:   2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 64   Tudo certo até aqui?   Continuando.    Há situações em que não ocorre nem a vitória nem a derrota. Tais situações correspondem aos casos em que cara e coroa se intercalam. São dois casos desse tipo:   C, K, C, K, C, K K, C, K, C, K, C   Tínhamos então 64 possíveis.   Em 2 desses 64 casos, não temos nem vitória nem derrota.   Sobram 64 - 2 = 62.   Nesses 62 que sobraram, ou temos vitória ou temos derrota.   Como a chance de K ou C é a mesma (50% para cada lado), a chance de derrota é igual à chance de vitória. Assim, metade dos 62 casos correspondem a vitórias e metade correspondem a derrotas.   Disto resulta que em 62 / 2 = 31 casos nós temos vitória até o sexto lançamento. Em outras palavras, são 31 casos favoráveis.   A probabilidade é dada pela relação entre número de casos favoráveis e número de casos possíveis. Ficamos com:   P = 31 / 64
  • Questão muito interessante. O cálculo combinatório direto é um pouco difícil, mas felizmente podemos obter a resposta indiretamente. Qualquer seja o número de lances, o jogo só não termina em 2 possibilidades: uma sequência alternada se iniciando em cara, ou coroa. Vemos então que, em 6 lances, a chance do jogo não terminar é 2/64. (pois 64=2^6 é o número total de possibilidades em 6 lances). Das possibilidades restantes, é fácil ver que metade termina em vitória e metade em derrota, ou seja, o número de possibilidades de vitória é 62/2=31, donde P_vitória = 31/64. 

    (B) 31/64 (Resposta correta)
  • Explicando a fórmula de probabilidade a qual é dada pela relação entre número de casos favoráveis / número de casos possíveis; 
    Se temos duas possibilidade (K ou C) a cada arremesso...;
    Considerando seis arremessos, significa dizer que existem 2 (elevado) a 6 (2^6)=64 chances de vitória ou derrota (casos possíveis)...; 
    Descartamos duas situações em que não saiu coroa, logo 64 - 2 = 62... Isto significa que temos 31 possibilidades de K + 31 de C,  O problema pede apenas as chances de vitória consideraremos apenas 31 K (casos favoráveis) dentre 64 chances no total(casos possíveis). Na relação de probabilidade conforme a fórmula descrita temos P=31/64.   

  • entendi foi nada

  • São 64 possibilidades.
    Apenas dois empates: KCKCKC ou CKCKCK
    Sobram 62 possibilidades, sendo 31 pra cada.

    31/64 é a resposta.

ID
269557
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRE-ES
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Julgue os itens a seguir, relativos ao cálculo de probabilidades.

Considere que um jogador pague R$ 1,00 para retirar aleatoriamente duas bolas de uma urna que contém dez bolas numeradas de 1 a 10 e, que, se ele retirar as duas bolas numeradas com 1, 2 ou 3, ele ganhe R$ 10,00. Nesse caso, a expectativa de ganho desse jogador será positiva somente se as bolas forem retiradas com reposição.

Alternativas
Comentários

  • com reposicao:
    3/10 * 3/10 = 9/100 (probabilidade de tirar duas bolas numeradas com 1, 2 ou 3)
    lucro = ganho - gasto
    ganho = 9/100 * 10 = 0,90
    logo, lucro = 0,90 - 1 = -0,10
    a banca empregou erroneamente o termo expectativa de ganho.. o correto é expectativa de lucro
     

ID
269590
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRE-ES
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Com relação ao algoritmo EM (expectation-maximization), julgue os itens que se seguem.

Se X e Y forem variáveis aleatórias independentes e se 2 for um parâmetro da distribuição de X, em que X é uma variável não observada, então o algoritmo EM será um método adequado para se obter estimativas de máxima verossimilhança para 2.

Alternativas
ID
269635
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRE-ES
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Julgue os itens subsecutivos, acerca de análise multivariada e distribuições conjuntas.

Se o vetor (X, Y) seguir uma distribuição normal bivariada, e se as distribuições marginais X e Y não forem correlacionadas, então a densidade conjunta de (X, Y) será igual ao produto das funções de densidade de X e de Y.

Alternativas
ID
313150
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TJ-ES
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Estão em uma sala quatro pessoas que foram convocadas
por um juiz: duas delas efetivamente testemunharão; as outras se
recusarão a testemunhar acerca de determinado fato. O juiz chamará
essas pessoas, uma a uma, para outra sala, mediante sorteio
aleatório. Considere que X seja a variável aleatória que indica o
número de pessoas chamadas até se encontrar a primeira pessoa
disposta a testemunhar.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.

A probabilidade de X ser igual a 1 ou 2 é superior a 0,8.

Alternativas
Comentários
  • certo.

    1) probabilidade para x=1

    2/4= 0,50

    2) probabilidade para x=2

    2/4 x 2/3  =  4/12  = 1/3 = 0,33

    3) resposta
    0,50 + 0,33 == 0,88
  • Vamos exemplificar:
    Pessoas "A" e "B" testemunharão
    Pessoas "C" e "D" não testemunharão
     
    1) Probabilidade de ser "A" ou "B", em apenas uma chamada:
    O juiz poderá chamar A,B,C ou D.]
    A probabilidade de ser A ou B será: 2 entre 4, ou seja: 2/4 = 0,5
     
    1) Probabilidade de ser "A" ou "B", em exatas duas chamadas:
    O juiz poderá chamar A,B,C ou D.
    Na primeira chamada, a probabilidade de ser C ou D será: 2 entre 4, ou seja: 2/4
    Na segunda chamada, a probabilidade de ser A ou B será: 2 entre 3, ou seja: 2/3;
    tendo em vista que neste caso uma já foi chamada na primeira, sobrando apenas
    três pessoas.
    Bom, agora é só efetuar o cálculo, conforme já comentei, ok.
    Bons estudos.
ID
313153
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TJ-ES
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Estão em uma sala quatro pessoas que foram convocadas
por um juiz: duas delas efetivamente testemunharão; as outras se
recusarão a testemunhar acerca de determinado fato. O juiz chamará
essas pessoas, uma a uma, para outra sala, mediante sorteio
aleatório. Considere que X seja a variável aleatória que indica o
número de pessoas chamadas até se encontrar a primeira pessoa
disposta a testemunhar.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.

Se Y for a variável que denota o número de pessoas chamadas até que a segunda pessoa disposta a testemunhar seja encontrada, então P(Y = y) = P(X = 5 - y), em que y = 1, 2, 3, 4.

Alternativas
Comentários
  • Para X:   Px(1) = 2/4=1/2;
                    Px(2) = 2/4*2/3;
                    Px(3) = 2/4*1/3*2/2;

    Para Y:   Py(2) = 2/4*1/3;
                    Py(3) = 2/4*1/3*2/2 + 2/4*2/3*1/2 = 2/4*2/3;
                    Py(4) = 2/4*1/3*2/2 + 2/4*2/3*1/2 + 2/4*2/3*1/2 = 1/2;

    Logo,
    Py(4) = Px(1)
    Py(3) = Px(2)
    Py(2) = Px(3)

    Questão verdadeira!!!
  • Só faltou Py(1) = Px(4) = 0
ID
313156
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TJ-ES
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Estão em uma sala quatro pessoas que foram convocadas
por um juiz: duas delas efetivamente testemunharão; as outras se
recusarão a testemunhar acerca de determinado fato. O juiz chamará
essas pessoas, uma a uma, para outra sala, mediante sorteio
aleatório. Considere que X seja a variável aleatória que indica o
número de pessoas chamadas até se encontrar a primeira pessoa
disposta a testemunhar.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.

A variável aleatória X segue uma distribuição geométrica com parâmetro p = 0,5.

Alternativas
Comentários

  • http://translate.google.com.br/translate?hl=pt-BR&langpair=en%7Cpt&u=http://www.aiaccess.net/English/Glossaries/GlosMod/e_gm_geometric.htm

  • Prob da primeira pessoa a ser chamada estar disposta a testemunhar = 2/4 = 1/2 >> X = 1

    Prob da segunda pessoa a ser chamada estar disposta a testemunhar e a primeira não = (2/4)*(2/3) = 1/3 >> X = 2

    Prob da terceira pessoa a ser chamada estar disposta a testemunhar, e as primeira e segunda não = (2/4)*(1/3)*(2/2) = 1/2 >> X = 3


    Número médio de pessoas a ser chamadas = E(X)  = Somatório de X*P(X) = 1/2*1 + 1/3*2 + 1/2*3 = 1,33

    Geométrica:

    p = 1 / E(x) = 1/1,33 = 0,75

     

  • Só complementando, P(3) = 1/6 e não igual a 1/2.

    De qualquer forma, E(X) não corresponde ao de uma distribuição geométrica.

  • Nossa, demorei pra entender! Essa Cespe é do mal, mas entendi!!

     

    Na distribuição geométrica, a probabilidade de fracasso e sucesso permanecem sempre constante. Não acontece aqui. A partir do segundo evento, se quisermos calcular qual seria a probabildiade de se ter FRACASSO na primeira tentativa  SUCESSO na segunda tentativa, as probabilidades dos parâmetros mudam, como mostraram os colegas nas explicações abaixo.

     

    Na geométrica os parâmetros não mudam. Pense no seguinte: ao passar no semáfaro perto de sua casa a chance de vc pegar ele aberto é de 15%. Qual a probabilidade de encontrá-lo fechado 5 vezes seguidas e apenas na 6ª vez é que você irá passar no verde? Você terá 5 fracassos seguidos e no sexto evento um sucesso, da seguinte forma:

     

    FFFFFS

    0,75 * 0,75 * 0,75 * 0,75 * 0,75 * 0,15 = 0,035   

     

    Os parâmetros p e q são constantes para todos os eventos.

ID
314224
Banca
FCC
Órgão
TRT - 1ª REGIÃO (RJ)
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Utilizando o Teorema de Tchebyshev, obteve-se que o valor máximo da probabilidade dos empregados de uma empresa, que ganham um salário igual ou inferior a R$ 1.500,00 ou um salário igual ou maior a R$ 1.700,00, é 25%. Sabendo-se que a média destes salários é igual a R$ 1.600,00, encontra-se a respectiva variância, em (R$) 2, que é

Alternativas
Comentários

  • 1 / k^2 = 0,25, logo k = 2
    k*sigma = 100 (tamanho do erro)
    logo sigma = 50
    sigma ^ 2 = variancia = 2500 = letra A

ID
314278
Banca
FCC
Órgão
TRT - 1ª REGIÃO (RJ)
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Um estudo sobre salários associados ao estado civil dos indivíduos de certa comunidade revelou que a proporção de indivíduos:

I. solteiros é de 0,4.

II. que recebem até 5 salários mínimos é de 0,3.

III. que recebem entre 5 (exclusive) e 10 (inclusive) salários mínimos é de 0,5.

IV. que recebem até 5 salários mínimos entre os solteiros é de 0,3.

V. que são não solteiros dentre os que recebem mais do que 10 salários mínimos é de 0,8.

Um indivíduo é selecionado ao acaso dessa comunidade. A probabilidade de ele ser solteiro e ganhar entre 5 (exclusive) e 10 (inclusive) salários mínimos é

Alternativas
Comentários
  • Solteiro e ganhar ate 5 salarios = 0,4 * 0,3 = 0,12
    Logo não solteiro com igual salario = 0,6 * 0,3 = 0,18
    Não solteiro e ganhar mais de 10 salarios = 0,6 * 0,2 = 0,12
    Solteiro com igual salario = 0,4 * 0,2 = 0,08
    Não solteiro ganhando entre 5 e 10 salarios = 0,6 * 0,5 = 0,3
    Solteiro ganhando igual salario = 0,5 * 0,4 = 0,2: nao tem essa resposta em nenhuma das alternativas

    Observe que a soma de todos os eventos dá 1.

  • O gabarito é a letra A

    Encontrei uma resolução mais clara no Fórum

    Como a questão deu apenas valores relativos (proporções), podemos, sem perda de generalidade, assumir um valor para o total de indivíduos. Para facilitar as contas, suponhamos que seja 100. Montemos a tabela (SM é salário mínino e S é o salário):

    _____________S <= 5 SM______5 SM < S <= 10 SM______S > 10 SM___Total
    solteiros_________A___________________B___________ ______C_______D
    não-solteiros_____E___________________F_______________ ___G_______H
    Total____________M___________________N____________ _____P______100

    A questão quer saber o valor de B/100.

    I. solteiros é de 0,4.

    Isso significa que D = 0,4*100 = 40.

    II. que recebem até 5 salários mínimos é de 0,3.

    Isso significa que M = 0,3*100 = 30.

    III. que recebem entre 5 (exclusive) e 10 (inclusive) salários mínimos é de 0,5.

    Isso significa que N = 0,5*100 = 50.

    IV. que recebem até 5 salários mínimos entre os solteiros é de 0,3.

    Isso significa que A = 0,3*D = 0,3*40 = 12.

    V. que são não solteiros dentre os que recebem mais do que 10 salários mínimos é de 0,8.

    Isso significa que G = 0,8*P. Observe que M + N + P = 100, ou seja, 30 + 50 + P = 100, portanto P = 20. Resta que G = 16.

    Colocando os valores encontrados acima na tabela:

    _____________S <= 5 SM______5 SM < S <= 10 SM______S > 10 SM___Total
    solteiros_________12___________________B__________ _______C_______40
    não-solteiros_____E___________________F_______________ ___16_______H
    Total____________30__________________50___________ _____20______100

    Pela tabela, C + 16 = 20 => C = 4.

    Também temos 12 + B + C = 40 => 12 + B + 4 = 40 => B = 24.

    Portanto, B/100 = 24/100 = 0,24.
ID
314299
Banca
FCC
Órgão
TRT - 1ª REGIÃO (RJ)
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considere duas variáveis aleatórias discretas X e Y, ambas com distribuição binomial. Sabe-se que: X: b (2, p) e Y: b (4, p). Se P (X ≥ 1) = 5⁄9 então P (Y = 1) é

Alternativas
Comentários

  • Se P (X ≥ 1) = 5⁄9

    ou seja P(X = 0) = 1 - P (X ≥ 1) = 4/9

    binomial: P(X = k) = (n k) p^k (1 - p)^(n - k)

    seja b (2, p), temos então que:

    n = 2

    P(X = k = 0) = (2 0) p^0 (1 - p)^(2 - 0) = 4/9

    logo p = 1/3

    para b(4, p)

    P(Y = 1) = 32/81


  • Se P (X ≥ 1) = 5/9

    P(X = 0) = 1 - P(X ≥ 1) → 1 - 5/9 = 4/9

    Binomial: P(X = k) = Cn;k x Pk x (1 - P)n - k

    .

    Para b(2,p) → n = 2

    P(X = 0) = C2,0 x P0 x (1- P)2-0

    4/9 = 1 x 1 x (1- P)2

    4/9 = (1- P)2

    (4/9)1/2 = ((1- P)2) 1/2

    2/3 = 1- P → P = 1/3

    .

    Para b(4,p) → n = 4

    P(Y = 1) = C4,1 x P1 x (1- P)4-1

    P(Y = 1) = 4 x (1/3)1 x (1- 1/3)3

    P(Y = 1) = 4 x 1/3 x (2/3)3

    P(Y = 1) = 4 x 1/3 x 8/27

    P(Y = 1) = 32/81


  • Às vezes é interessante relatar o porquê do cálculo... a resolução da binominal eu sei fazer, mas não tenho ideia de como foi montada a estrutura. Alguém explica? Não entendi a nomenclatura dos dados também. Primeira vez que vejo dessa forma.

  • a distribuição binomial pode ser denotada por Binomial (n,p) .. ou simplesmente  b(n,p).

     

  • K deve ser inteiro .... por isso que K=0 é o complemento de K>=1, ou seja P(K=0) = 1-4/9

    X: b(2,p) é o mesmo que dizer: X ~ B(n, p), que é o mesmo que dizer que temos K quantidades de sucessos em n tentativas como probabilidade de sucesso em cada tentativa de p .....

    espero ter ajudado

ID
314302
Banca
FCC
Órgão
TRT - 1ª REGIÃO (RJ)
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Após o lançamento de um novo modelo de automóvel observou-se que 20% deles apresentavam defeitos na suspensão, 15% no sistema elétrico e 5% na suspensão e no sistema elétrico. Selecionaram-se aleatoriamente e com reposição 3 automóveis do modelo novo. A probabilidade de pelo menos dois apresentarem algum tipo de defeito é

Alternativas
Comentários

  • Como 5% tem ambos os tipos de defeito, então, 15% (20 - 5) tem só defeito na suspensão e 10% (15 - 5) só defeito elétrico. Assim, a probabilidade do item apresentar defeito é igual a 30% (5 + 15 + 10).
    prob (3 com defeito) = 0,3^3 = 0,027
    prob (2 com defeito) = combinacao de (3 2)*(0,3^2)*(0,7) = 0,189
    a soma destas duas ultimas probabilidades responde o que foi solicitado no problema = letra E
     

  • Carlos Eduardo,
    Não entendi  parte final da sua explicação "cominação de 3 2"?
    Poderia por favor detalharmais sua explicação? Obrigado.


  • Raciocinando por Análise Combinatória, pensei o seguinte:

    Excluir os carros que têm os 2 defeitos para saber quantos carros efetivamente saem com defeito
    20% - suspensão                        20% - 5% = 15% - suspensão
    15% - elétrico                                15% - 5% = 10% - elétrico
    5% - suspensão e elétrico                                 5% - suspensão e elétrico
                             Total de carros com defeito = 30%
    Ou seja, se tivermos 100 carros, 30 saem algum defeito e 70 saem perfeitos.

    Ele quer pelo menos 2 com algum defeito de 3 carros retirados, então podem ser:
     D .   D.   D      30/100  .  30/100  .  30/100   
    OU +  
      D.    D.    P   30/100 .  30/100  .  70/100 .   3!/2! (multi por 3 fatorial pq tem q permutar D . D. P entre si)  (dividi por 2 fatorial pq D aparece 2X)

    Fazendo as contas acharemos:
                27/1000    +   189/1000  =  216/1000  = 0,216  ----------- Resp. : E.
       
            

ID
318361
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
FUB
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considerando-se duas variáveis aleatórias contínuas X e Y, em que
X tem função de densidade arbitrária f com função geradora de
momentos M(t) e Y = exp(X), julgue os próximos itens.

E(Y) = M(1).

Alternativas
Comentários

  • esperança = E(Y) = M(1) = primeiro momento

ID
318418
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
FUB
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Julgue o item que se segue, referente ao controle estatístico de qualidade.

Em um processo industrial que está sob controle, a probabilidade de erro tipo I deve ser utilizada para se determinar o tempo médio de espera até a observação do primeiro alarme falso.

Alternativas
Comentários
  • erro tipo I = rej h0 dado q h0 é verdadeira = falar que o produto tem defeito quando na verdade ele nao tem = alarme falso

    exemplo:

    h0: leite tem 0,01 de açúcar ou menos
    h1: tem tem mais de 0,01

     

ID
318532
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
STM
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Acerca da teoria de probabilidades, julgue os itens subsecutivos.

O número de possíveis retiradas de bolas de uma urna, sem reposição, é menor quando a ordem importa.

Alternativas
Comentários
  • considere uma urna com tres bolas, assim enumeradas: 1, 2 e 3

    suponhamos que eu vá retirar 2 bolas

    sem reposicao, eu posso retirar 2 bolas com o seguinte dispositivo (quando a ordem importa):

    12
    13
    23
    21
    32
    31

    quando a ordem nao importa:

    12
    13
    23

    portanto, quando a ordem importa, temos mais possibilidades

     

  • Errado

    é exatamente a mesmo possibilidade

    Exemplo 1: tenho 30 bolas e quero tirar 3, sem reposição

    1/30*1/29*1/28

    Exemplo2: tenho 30 bolas e quero tirar os números 5, 8 e 12, sem reposição

    1/30*1/29*1/28

  • É só pensar no RLM onde quando a ordem importa a gente usará arranjo, que por sua vez sempre será maior do que quando a ordem não importa, usando- se a combinação nesse ultimo caso

ID
318535
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
STM
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Acerca da teoria de probabilidades, julgue os itens subsecutivos.

Se 80% de uma população pertence ao grupo A e 60%, ao grupo B, e sabendo que a interseção entre os grupos A e B não é vazia, então a probabilidade da interseção de A e B é maior ou igual a 0,4.

Alternativas
Comentários

  • 0,8+0,6-1=0,4

  • P(A∩B)= P(A) X P(B)= 0,8 X 0,6= 0,48

  • Correto

    A interseção de A+B é a soma de A+B, subtraindo os 100%.

    Ou seja 40% ou 0,4

ID
318538
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
STM
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Acerca da teoria de probabilidades, julgue os itens subsecutivos.

Se X = I(A) é uma função indicadora da ocorrência do evento A, então E(X) = P(A), em que E(X) é o valor esperado de X e P(A), a probabilidade de ocorrência do evento A.

Alternativas
ID
318541
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
STM
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Acerca da teoria de probabilidades, julgue os itens subsecutivos.

A distribuição uniforme contínua em [0, 1] é um caso degenerado da distribuição beta.

Alternativas
Comentários

  • Quando a distribuição Beta tem seus parâmetros de forma (a e b) iguais a 1, temos uma Beta degenerada:

    http://www.portalaction.com.br/probabilidades/610-distribuicao-beta

ID
334894
Banca
FGV
Órgão
SEFAZ-RJ
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Assuma que uma distribuição de Bernoulli tenha dois possíveis resultados n=0 e n=1, no qual n=1 (sucesso) ocorre com probabilidade p, e n=0 (falha) ocorre com probabilidade q=1–p. Sendo 0<p<1, a função densidade de probabilidade é

Alternativas
Comentários

  • A função de densidade de probabilidade deve nos dar, para cada valor de n, o valor de sua probabilidade. Sabemos que, na distribuição de Bernoulli,

    P(n = 1) = p

    e

    P(n = 0) = (1 – p)

                   Veja que a equação da alternativa A nos dá exatamente esses dois resultados:

    P(n) = p x (1 – p)

                   Para n = 0 temos:

    P(0) = p x (1 – p)

    P(0) = 1 x (1 – p)

    P(0) = 1 – p

                   E para n = 1 temos:

    P(1) = p x (1 – p)

    P(1) = p x (1 – p)

    P(1) = p

    Resposta: A

  • Apenas tente substituir os valores de n nas fórmulas e veja se o resultado bate:

    a) P(n) = p^n . (1-p)^1-n

    para n=0 : P(0) = p^0 . (1- p)^1 = (1- p) confere!

    para n=1 : P(1) = p^1 . (1 - p)^(1-1) = p confere!

    resposta letra a)

ID
334897
Banca
FGV
Órgão
SEFAZ-RJ
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Quantas combinações existem para determinar o primeiro e o segundo lugares de um concurso com 10 pessoas? (O primeiro e o segundo lugares não podem ser a mesma pessoa).

Alternativas
Comentários
  • Existem 10 alternativas para a primeira colocação, como não pode se repetir há 9 alternativas para a segunda colocação, então:
    10 x 9 = 90

  • Ou pela fórmula do arranjo:

    =10!/(10-2)!=
    =(10x9x8!)/8!=   >>>>> (corta 8! de cima com o 8! de baixo)
    =10x9=90
    --------------------------------
    Um arranjo de n elementos dispostos p a p, com p menor ou igual a n, é uma escolha de p entre esses n objetos na qual a ordem importa. Sua fórmula é dada por

    A(n,p) = n! / (n - p)!

    O exemplo mais clássico de arranjo é o pódio: em uma competição de 20jogadores, quantas são as possibilidades de se formar um pódio com os três primeiros lugares? Note que, neste problema, queremos dispor 20 jogadores em 3 lugares, onde a ordem importa, afinal o pódio formado por João, por Marcos e por Pedro não é o mesmo formado por Pedro, por Marcos e por João. 

    FONTE:     http://www.andremachado.org/artigos/440/entenda-a-diferenca-entre-permutacao-arranjo-e-combinacao.html

  • Arranjo
    10! / 8! --> 10 * 9 * 8! / 8! --> 10 * 9 => 90

  • Temos 10 opções para o primeiro lugar e 9 restantes para o segundo lugar, totalizando 10 x 9 = 90 possibilidades.

    Resposta: B

  • Minha contribuição.

    Veja que podemos resolver essa questão sem uso de fórmulas. Temos 10 pessoas disponíveis para a primeira posição e, com isso, sobram 9 pessoas para a segunda colocação, num total de 10x9 = 90 possibilidades.

    Resposta: B

    Fonte: Direção

    Abraço!!!

ID
339598
Banca
COSEAC
Órgão
DATAPREV
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A urna I contém 9 bolas: 3 pretas, 2 brancas e 4 vermelhas. A urna II contém 8 bolas: 4 pretas, 1 branca e 3 vermelhas. A urna III contém 9 bolas: 1 preta, 3 brancas e 5 vermelhas. Escolhe-se uma urna ao acaso e dela extrai-se uma bola também ao acaso, sabendo que a bola sorteada foi branca, a probabilidade de ter vindo da urna II é de:

Alternativas
ID
339616
Banca
COSEAC
Órgão
DATAPREV
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Um dispositivo eletrônico recentemente desenvolvido apresenta vida média de 80 horas. Considerando o comportamento segundo a distribuição exponencial, a probabilidade desse dispositivo durarmais de 100 horas é:

Alternativas
Comentários

  • alpha (A) é o inverso da média.

    ao integrar  ae elevado -ax = -e elevado-ax

    1-(1-e elevado -(100/80)) = e elevado -(100/80)

  • GAB D

    A função densidade de probabilidade de uma distribuição exponencial serve pra indicar valores abaixo de x. A questão quer saber valores acima de x. Basta usar o método complementar.

    Se f(x) = 1 - e^-lambda . x indica valores abaixo

    então f(x) = e^-lambda . x indicará valores acima.

    x da questão = 100

    Para achar o valor do parâmetro lambda: nos valeremos da média que fora dada

    80 = 1/lambda

    lambda = 1/80

    lambda . x = 1/80 . 100 = 100/80. Simplificando -> 5/4

ID
339619
Banca
COSEAC
Órgão
DATAPREV
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A desigualdade de _________ nos permite dizer que para qualquer número k _________ ou igual a 1, pelo menos _________ das medidas no conjunto de dados se encontram a até _________ desvios-padrão de suas médias.

Os termos que completam adequadamente o trecho acima são, respectivamente:

Alternativas
ID
339622
Banca
COSEAC
Órgão
DATAPREV
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

O Teorema central do limite aplica-se a qualquer população com _________ finito(a), _________ da forma da distribuição original. Entretanto, quanto mais a população original se _________ da distribuição normal, _________ é o tamanho da amostra necessário para assegurar a normalidade da distribuição amostral.

Os termos que completam adequadamente o trecho acima são, respectivamente:

Alternativas
ID
339640
Banca
COSEAC
Órgão
DATAPREV
Ano
2009
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

O nível de significância de um teste de hipóteses é a probabilidade de:

Alternativas
Comentários

  • Decorebinha. 

     

    Hipótese verdadeira

    Se aceito - ok (fiz certo)

    Se rejeito -  erro tipo 1 (ou alfa) -  O nível de significância representa a probabilidade de Erro Tipo I, ou seja, é a probabilidade de rejeitarmos uma hipótese verdadeira.

     

    Hipótese falsa

    Se aceito - erro tipo 2

    Se rejeito - ok (fiz certo)

     

ID
347533
Banca
FCC
Órgão
TRT - 8ª Região (PA e AP)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Seja X uma variável aleatória contínua representando os salários dos empregados de uma empresa. Como é desconhecida a distribuição destes salários, utilizou-se o teorema de Tchebyshev para saber qual é a porcentagem dos empregados que ganham mais que R$ 1.600,00 e menos que R$ 2.400,00. O resultado encontrado foi que esta porcentagem foi no mínimo igual a 84%, baseado no fato de que a média de X é igual a R$ 2.000,00. A correspondente variância de X, em (R$)2, é igual a

Alternativas
ID
347560
Banca
FCC
Órgão
TRT - 8ª Região (PA e AP)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

ma amostra de 10 elementos {X1, X2, X3, . . . , X10} provém de uma população com função densidade
f(x) = λe-λx (x ≥ o). Se a soma de todos os elementos da amostra é igual a 625, então, pelo método dos momentos a estimativa de λ apresenta o valor de

Alternativas
ID
347563
Banca
FCC
Órgão
TRT - 8ª Região (PA e AP)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Seja uma população com função densidade f (x) = 1/λ , com 0 < x < λ . Uma amostra de 8 elementos é extraída desta população apresentando o conjunto de valores {1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12}. A média e a variância correspondente foram obtidas pelo método da máxima verossimilhança. O valor da variância relativa, definida como sendo o quociente da divisão da variância pelo valor da média ao quadrado, é

Alternativas
ID
347602
Banca
FCC
Órgão
TRT - 8ª Região (PA e AP)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Relativamente aos salários dos funcionários de um setor de um órgão público, sabe-se que:


- 10% ganham mais do que 10 salários mínimos;
- 40% ganham entre 4(inclusive) e 10(inclusive) salários mínimos;
- e os 50% restantes ganham menos do que 4 salários mínimos.


Quatro funcionários são selecionados aleatoriamente e com reposição deste setor. A probabilidade de que dois funcionários pertençam à classe de maior salário e os outros dois a cada uma das outras duas classes é

Alternativas
ID
347605
Banca
FCC
Órgão
TRT - 8ª Região (PA e AP)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Um caça-níquel tem dois discos que funcionam independentemente. Cada disco tem 10 figuras: 4 triângulos e 6 retângulos. Um jogador paga 10 reais para acionar a máquina. Ele ganha R$ 9,00 se aparecerem 2 triângulos, R$ 15,00 se aparecerem 2 retângulos, e não ganha nada se ocorrer qualquer outro resultado. Supondo que as 10 figuras, nos 2 discos, são equiprováveis, a esperança de lucro do jogador numa única jogada, em reais, é igual a

Alternativas
Comentários

  • Primeiro devemos calcular as probabilidades de cada evento:

    1) 2 triângulos

    4/10 • 4/10 = 16/100 (16%)

    2) 2 retângulos

    6/10 • 6/10 = 36/100 (36%)

    3) Demais possibilidades

    100% - 16% - 36% = 48/100 (48%)

    Agora montamos a tabela de valores e probabilidade:

    x | P(X)

    0 48%

    9 16%

    15 36%

    Em sequência realizamos o cálculo da esperança:

    E(x) = 0 • 48/100 + 9 • 16/100 + 15 • 36/100 = 6,84

    Mas devemos lembrar que é pago 10 reais para usar a máquina, logo a esperança de lucro é:

    10 - 6,84 = 3,16

    GABARITO E

  • kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk Esses examinadores da FCC são a encarnação do mal. Só Pode!!!!

ID
347617
Banca
FCC
Órgão
TRT - 8ª Região (PA e AP)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Um setor de um órgão público recebe em média 96 mensagens de fax em 8 horas de funcionamento. Suponha que a variável aleatória X= número de mensagens recebidas por esse setor, por fax, tenha distribuição de Poisson. A probabilidade de que, em um período de 10 minutos, o setor receba pelo menos uma chamada é


Alternativas
Comentários

  • 96 mensagens / 8 horas = 12 mensagens por hora = 0,2 mensagens por minuto

    Em 10 minutos: 0,2 x 10 = 2 mensagens a cada 10"

    λ = 2

    k = 0 (vamos adotar o método da derrubada, ou seja, o que eu não quero)

    Poisson:

    e^-λ . λ^k / k!

    e-² . 2° / 0!

    e-² (o que eu não quero)

    O que eu quero - o que eu não quero

    1 - e-²

ID
347620
Banca
FCC
Órgão
TRT - 8ª Região (PA e AP)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Um curso de treinamento aumenta a produtividade de certa população de funcionários em 60% dos casos. Cinco funcionários, selecionados aleatoriamente da população, participam desse curso. A probabilidade de exatamente três aumentarem a produtividade é

Alternativas
Comentários

  • Trata-se de uma distribuição binomial:

    P = C n, k . (p)^k . (q)^n-k, em que n é o número total de elementos, k é o número de sucessos desejados, p é a probabilidade de sucesso, q é a probabilidade de fracasso.

    A questão quer a probabilidade de P(X = 3).

    P(X = 3)

    P(X = 3) = C 5,3 . (0,6)^3 . (0,4)^2

    P(X = 3) = 10 . 0,216 . 0,16

    P(X = 3) = 10 . 0,03456

    P(X = 3) = 0,3456

    Gabarito: letra E.

ID
347623
Banca
FCC
Órgão
TRT - 8ª Região (PA e AP)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Dos 10 funcionários, de um órgão público, que se candidataram a uma promoção, 7 têm curso de pós-graduação e os demais não. Selecionando-se aleatoriamente 3 desses candidatos para uma determinada avaliação, a probabilidade de que exatamente 2 tenham curso de pós-graduação é

Alternativas
ID
347626
Banca
FCC
Órgão
TRT - 8ª Região (PA e AP)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 4 clientes (A,B,C e D). Registros anteriores indicam que dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 20% vêm de A, 40% de B, 30% de C e 10% de D. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Usualmente, ocorrem os seguintes percentuais de pedidos inadequados: 1%, 2%, 0,5% e 3% respectivamente de A, B, C e D. A probabilidade de que o processo tenha sido pedido por C, sabendo-se que apresentou erro, é

Alternativas
Comentários

  • GABARITO: Letra D

    Questão de Teorema de Bayes.

    Probabilidade = Quero / Total

    Eu quero que tenha sido pedido por C, sabendo que houve erro. Assim, eu quero = 30*0,5 = 15

    O total é o somatório entre o produto entre os processamentos e seus respectivos erros. Assim, o total é 20*1+ 40*2+30*0,5+10*3

    Colocando na fórmula:

    Probabilidade = 15 / (20*1+ 40*2+30*0,5+10*3) = 15 / 145 = 3/29 (simplificado por 5).

ID
347632
Banca
FCC
Órgão
TRT - 8ª Região (PA e AP)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Suponha que as características de um produto dependam de duas variáveis aleatórias contínuas: X e Y. Sabe-se que a função densidade de probabilidade conjunta de (X,Y) é:         

           
                                                    f(x, y) = x2 + xy/3 , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2. 


A probabilidade de X ser inferior a 0,5, denotada por P(X < 0,5), é

Alternativas
ID
347635
Banca
FCC
Órgão
TRT - 8ª Região (PA e AP)
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Se Z tem distribuição normal padrão, então: 


P(0 < Z < 0,125) = 0,05; P(0 < Z < 0,5) = 0,19; P(0 < Z < 1) = 0,34; P(0 < Z < 1,28) = 0,40; 

                                       P(0 < Z < 1,5) = 0,43; P(0 < Z < 2) = 0,48 

Um estudo mostra que 20% de todos os processos que chegam a um tribunal de justiça são rejeitados por conterem algum tipo de erro de formulação. Usando a aproximação pela distribuição normal, e utilizando o fator de correção apropriado, a probabilidade de que dentre 100 desses processos, selecionados aleatoriamente, exatamente 20 tenham erro de formulação é de
Para responder às questões de números 72 a 74 considere as informações dadas abaixo.

Alternativas
ID
349990
Banca
CESGRANRIO
Órgão
EPE
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Dado que duas pessoas fazem aniversário no mês de junho, a probabilidade de que ambas tenham nascido no dia 08 de junho é de

Alternativas
Comentários

  • RESPOSTA LETRA C

    • Na matemática o mês tem 30 dias!

     

    • Tem que nascer no dia 08 do mês, então só temos uma opção.

     

    Então temos, 1/30, como são duas pessoas, cada uma vai ter a chance 1/30.

    Agora o detalhe principal da questão!!

    Ela quer que ambas nasça no mesmo dia, a palavra ambas significa multiplicação na matemática.

    1/30.1/30 = 1/900

ID
349993
Banca
CESGRANRIO
Órgão
EPE
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Um dado comum foi alterado para que, quando lançado, a probabilidade de obter o número 6 fosse de 50% e a pro- babilidade de obter qualquer um dos demais números fosse de 10%. Logo, a distribuição de probabilidades so- bre os eventos elementares 1, 2, 3, 4, 5 e 6

Alternativas
ID
350512
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
IJSN-ES
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considerando os conceitos associados a probabilidade e estatística,
julgue os itens de 108 a 116.

Com base no espaço amostral S = {1, 2, 3, 4} é correto afirmar que os eventos A = {2 ,4} e B = {1, 4}, não são independentes.

Alternativas
Comentários

  • ERRADO.

    Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um evento não influência a ocorrência do outro evento.

    Por exemplo:

    U = {1, 2, 3, 4}

    { {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}}

    Escolher o {2,4} não influência escolher {1,4}.

    Carlos André Botelho

  • Podem ser independentes A∩B = {2,4} x {1,4}

    A∩B = {4}

ID
350515
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
IJSN-ES
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considerando os conceitos associados a probabilidade e estatística,
julgue os itens de 108 a 116.

Considere que de uma urna contendo 2 bolas azuis e 6 bolas brancas retira-se ao acaso uma bola, anota-se sua cor e repõe-se a bola na urna. Em seguida retira-se novamente uma bola da urna e anota-se sua cor. Nessas condições, a probabilidade das duas bolas retiradas serem azuis é 1/4.

Alternativas
Comentários

  • Gabarito E

    Como a questão pede que as duas bolas sejam azuis, então multiplica-se as probabilidades.

    Logo, 2/8 x 2/8 = 1/16

  • Excelente comentário.

ID
350518
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
IJSN-ES
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considerando os conceitos associados a probabilidade e estatística,
julgue os itens de 108 a 116.

Considere que as bolas de uma urna tenham sido divididas em duas caixas, sendo que a caixa I ficou com 3 bolas brancas e 1 bola preta, enquanto a caixa II ficou com 3 bolas brancas e 3 bolas pretas. Em seguida, uma caixa foi escolhida e dela foi sorteada uma bola. Sabendo que a cor da bola sorteada era branca, a probabilidade de ter vindo da caixa I é de 3/8.


Alternativas
Comentários

  • ERRADO.

    Caixa 1 = { B, B, B, P }

    Caixa 2 = { B, B, B, P, P, P }

    Trata-se de uma Probabilidade Condicional: 

    Sabemos que a bola sorteada é branca, então nosso universo não é mais o total e sim a probabilidade de ser branca.

    Branca - caixa 1 => 1/2(prob de escolher caixa 1) x 3/4 (prob de escolher bola branca da caixa 1) = 3/8

    Branca - caixa 2 => 1/2(prob de escolher caixa 2) x 1/2 (prob de escolher bola branca da caixa 1) = 1/4

    Nosso Universo = 3/8 + 1/4 = 5/8

    P condicional: 3/8 / 3/5

    P condicional: 3/5

    Portanto:

    O item é Errado.

  • 3/6 sobre 6/10

  • Difícil explicar sem desenhar, mas vou tentar pela fórmula:

    P(A/B) = P(B/A).P(A) / P(B)

    P(B)= probabilidade de ser branca

    P(B)= prob de ser branca na caixa 1 + prob de ser branca na caixa 2 = 1/2*3/4 + 1/2*3/6 = 5/8

    P(A) = probabilidade de escolher caixa 1 = 1/2

    P(B/A)= probabilidade de escolher a branca dado q escolheu caixa 1 = 3/4

    P(A/B) = (3/4*1/2) / 5/8 ----> 3/8*8/5 = 3/5

ID
350521
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
IJSN-ES
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considerando os conceitos associados a probabilidade e estatística,
julgue os itens de 108 a 116.

A probabilidade de se obter um número menor que 5 no lançamento de um dado, sabendo que o dado não é defeituoso e que o resultado é um número ímpar, é igual a 2/3.

Alternativas
Comentários

  • CORRETA

    dado = 1,2,3,4,5,6

    impares = 1,3,5 ---> total 3

    probabilidade de sair um impar menor que 5 = 2/3

ID
350527
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
IJSN-ES
Ano
2010
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Considerando os conceitos associados a probabilidade e estatística,
julgue os itens de 108 a 116.

A hipótese nula (H0) é a afirmação feita acerca do valor de um parâmetro populacional e o erro tipo I ocorre quando a hipótese nula é falsa e não é rejeitada.

Alternativas
Comentários

  • Hipótese nula, de fato, tem como base um parâmetro populacional. O erro da questão está na definição do erro tipo 1, pois o conceito é do erro tipo 2.

    ERROS (e poder do teste):

    TIPO 1: Rejeita H0 quando for VERDADEIRA.

    TIPO 2: Aceita H0 quando for FALSA.

    Poder do teste: Rejeita H0 quando for FALSA.

    Gabarito ERRADO.

ID
398128
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
Correios
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Julgue os próximos itens, referentes à probabilidade e às variáveis
aleatórias.

A função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória é sempre uma função decrescente e assume valores no intervalo [0, 1].

Alternativas
Comentários

  • Se trocarmos a palavra decrescente por crescente a assertiva tornaria-se correta.

  • Uma das propriedades da função de distribuição acumulada de uma variável aleatório é que possui função não decrescente

ID
470428
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Transpetro
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A respeito das medidas de tendência central e de dispersão de uma distribuição de probabilidades, verifica-se que a(o)

Alternativas
Comentários
  • A) Não necessariamente moda é maior que média
    B) Não há uma relação exata entre mediana e desvio padrão
    C) Variancia é o desvio padrão elevado ao quadrado
    D) Variancia é uma medida de dispersao
    E) desvio padrão tambem é uma media de dispersão

ID
470437
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Transpetro
Ano
2011
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

A probabilidade de que ocorra o evento X, dado que o evento Y ocorreu, é positiva e representada por P(X/Y). Si- milarmente, a probabilidade de que ocorra Y, dado que X ocorreu, é representada por P(Y/X). Se P(X/Y) = P(Y/X), os eventos X e Y são

Alternativas
Comentários
  • P(Y/X)=P(X interseção Y)/ P(X)

    P(X/Y)=P(X interseção Y)/ P(Y)

    Se P(X/Y) = P(Y/X)
    Logo P(X)=P(Y)

    LOGO SÃO IGUALMENTE PROVAVEIS
    LETRA D
ID
481678
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRT - 5ª Região (BA)
Ano
2008
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Em um local de atendimento ao público chegam, em média,
5 pessoas por hora. Nesse local, há um único servidor que, em
média, atende 10 pessoas por hora. Considerando um modelo fila
simples, sem limite de capacidade, julgue os itens subseqüentes.

A probabilidade de que não haja pessoas na fila em certo horário é superior a 0,4.

Alternativas
Comentários

  • rô = taxa de chegada / taxa de serviço
        = 5 / 10
        = 0,5

    prob de não haver pessoa na fila = 1 - rô = 0,5
     

ID
481681
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRT - 5ª Região (BA)
Ano
2008
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Em um local de atendimento ao público chegam, em média,
5 pessoas por hora. Nesse local, há um único servidor que, em
média, atende 10 pessoas por hora. Considerando um modelo fila
simples, sem limite de capacidade, julgue os itens subseqüentes.

Em determinado horário, a probabilidade de que a fila seja formada por 10 ou mais pessoas é inferior a 0,01.

Alternativas
Comentários
  • probabilidade de n clientes no sistema:

    (1 - rô)*rô^n = 0,0005, pois:

    rô = taxa de chegada / taxa de serviço

    n = 10
ID
481714
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TRT - 5ª Região (BA)
Ano
2008
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Texto para os itens de 74 a 80

Em um presídio, há 500 prisioneiros, dos quais 150 são
réus primários e os 350 restantes são réus reincidentes. Entre os
réus reincidentes, há 170 que cumprem penas de cinco anos ou
mais.
Com relação às informações do texto, julgue os itens a seguir.

Se um réu reincidente for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele estar cumprindo pena de cinco anos ou mais é superior a 0,65.

Alternativas
Comentários

  • GAB. E

    Probabilidade é: Casos favoráveis / Total de casos

    Da questão extraímos:

    • 350 são reincidentes
    • 170 cumprem pena de cinco anos ou mais

    Nosso total será 350, pois escolhemos, ao acaso, dentre os reincidentes.

    O caso favorável é o que queremos descobrir, ou seja, a probabilidade de estar cumprindo pena de cinco anos ou mais.

    Assim, 170/350 = 17/35 = 0,485 = 48,5% aproximadamente.