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Poisson:
P(X=k) = e^-lâmbida*lâmbida^k / k!
Para k = 0 temos que P(X=0) = 0,1, ou seja:
e^-lâmbida = 0,1 = 1/10
Aplicando Ln em ambos os lados temos que:
Lâmbida = 2,3.>> P(X=1) = 0,23 >> letra c
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Temo que Poisson: P(x) = (e^-y).(y^x)/x!, sendo y a variância e a média ao mesmo tempo, e x a quantidade de ocorrências.
Foi dado que P(0) = 0,1 = e^-y.(y^0)/0! >>>> 0,1 = e^-y >>>>> multiplica por 100 dos dois lados: 10 = 100. (e^-y) >>>> ln10 = ln100 + ln(e^-y) >>>>> ln100 - ln10 = y.lne >>>> ln (100/10) = y >>>>> 2,3 = y.
Pronto, achamos a variância y.
Agora testamos para P(1):
P(1) = e^-2,3. (2,3^1)/1 = 0,100 . 2,3 = 0,23 que está contido no intervalo 0,20 < P(X = 1) < 0,25.
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Como fazer isso sem calculadora?
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Prof Vítor Menezes:
Na distribuição de Poisson, com parâmetro λλ , temos:
P(X=k)=e−λ×λkk!
Fazendo k=0k=0 :
P(X=0)=e−λ×λ00!
0,1=e−λ (I)
Aplicando o logaritmo dos dois lados da igualdade:
ln0,1=−λln0,1=−λ
ln10−1=−λln10−1=−λ
−1×2,3=−λ
λ=2,3 (II)
Devemos lembrar que a variância da distribuição de Poisson é justamente igual a λλ . Portanto:
V(X)=2,3V(X)=2,3
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Como a variância foi menor que 4, então necessariamente o desvio padrão será menor que 4–√=24=2 . Logo, incorreta a letra A.
A esperança de XX também vale λλ , isto é, também vale 2,3. Portanto, incorreta a letra E.
A distribuição de Poisson só assume valores inteiros não negativos (0, 1, 2, 3, 4, ...). Logo, incorreta a letra D.
Na letra B, queremos calcular a chance de X ser maior que 1. Pensando no evento complementar, basta então tomarmos 100% e subtrairmos a chance dos eventos X=0X=0 e X=1X=1 .
P(X>1)=1−P(X=0)−P(X=1)
P(X>1)=1−0,1−P(X=1)
P(X>1)=0,9−P(X=1)
Só obteríamos 0,9 se a chance do evento X=1X=1 fosse nula, o que é absurdo. Incorreta a letra B.
(Obs: na letra C veremos que a probabilidade do evento X=1X=1 vale 23%. Portanto, para quem preferir concluir o cálculo acima, o resultado seria 0,90−0,23=0,670,90−0,23=0,67 )
Por fim, na letra C temos:
P(X=1)=e−λλ11!
Lembre-se de que λλ vale 2,3 (vide equação II).
P(X=1)=e−2,3×2,3
Lembre-se ainda de que e−λ=0,1e−λ=0,1 (vide equação I).
P(X=1)=0,1×2,3
P(X=1)=0,23P
De fato, a chance do evento X+1X+1 está entre 20% e 25%, como afirmado pela letra C.
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Para:
P(X=0) = e^-lâmbda.lâmbda^0/0! = e^-lâmbda
Se P(x=0) = 0,1 então 0,1 é igual a e^-lâmbda
Podemos substituir agora em P(X=1):
P(X=1) = 0,1.Lâmbda^1/1! = 0,1 lâmbda
se 10 lambda é 2,3
1lâmbda é 0,23.!!!
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tome por base esse desenho que fiz pra tentar facilitar: http://sketchtoy.com/69561687 (tente ir controlando a velocidade movimentando a bolinha que fica na parte inferior do desenho, pq passa mt rápido)
primeiro: ln significa logaritmo neperiano. não há nescessidade de aprofundar, mas grave que o ln de 10, (ln10), é o mesmo que o log ₑ¹⁰, que no caso do enunciado log ₑ¹⁰= 2,3. pra quem não ta familiarizado com log, significa que e^2,3=10 (e elevado a 2,3 é igual a 10)
segunda parte: repare que p(x=0)=0,1. ou seja, quando trazemos pra formula de poisson (tá melhor representada no desenho que fiz no link do começo) temos que 0,1=e^-λ. ou ainda, 0,1=1/e^λ (fiz apenas uma operação algébrica pra tirar o expoente negativo, também mostrado no desenho).
terceira parte: se 0,1=1/e^λ (1/e^λ=10%), então 1 = 0,1 x e^λ, logo 10 vai ser igual a =e^λ.
quarta parte: se e^λ=10, e e^2,3=10, então λ=2,3. o que elimina as demais alternativas e nos traz a alternativa C=
0,20 < P(X = 1) < 0,25.
perceba que, P(x=1)=e^-2,3 x λ^1/1
P(x=1)=1/e^2,3 x 2,3
P(x=1)=1/10 x 2,3
P(x=1)=0,23
caso nao tenha entendido, msg